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[初一数学]一次函数教案+例题+习题+答案一次函数
一、知识回顾
1.函数的定义:一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x与y，并且对
于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量，y是x的函数，如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量为a时的函数值。

(练一练1:函数的判断)
可简单记忆为:“当其中一个变量x随便取定一个值时，另一个变量y都有唯
一确定的值与之相对应”。

表示方法:(1)解析式法:用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数
的解析式。

(2)列表法:函数关系用一个表格表达出来的方法。

(3)图像法:用图象表达两个变量之间的关系。

2.对于函数的意义，应从以下几个方面去理解:
(1)函数不是数，而是两个变量之间一种对应的关系;
(2)对于变量x允许取的每一个值，集合在一起组成了x的取值范围。

(3)判断两个变量之间是否有函数关系不仅要看它们之间是否有关系式，还要
看对于x允许取的每一个
值，y是否都有唯一确定的值与它相对应。

(4)两个函数是同一函数至少具备两个条件:?函数关系式相同(或变形后相同);?自变量x的取值
范围相同。

否则，就不是相同的函数。

而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x的取
值范围有时容易忽视，这点应注意。

(练一练2:求自变量x的取值范围)
3.区分函数与函数值:
一个函数可能有许多不同的函数值，例如当时，函数的函数值等于;当时，函数的函数值等于。

4.函数的图像:如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

注:函数的解析式是一个二元方程，这个方程的解分别是这个函数图象上点的横坐标、纵坐标;
函数图象的画法:列表、描点、连线。

练一练1.判断下列关系式和图象中，其中y是否是x的函数?
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
(1)， y是x的函数，因为根据函数定义，对每一个x的可取值解:
都存在唯一确定的y值与之相对应。

同样根据函数的定义可验证，y不是x的函数
(2)只有第二个关系式y不是x的函数，其它三个关系式y都是x的函数，理由同上;
(3)y是x的函数，理由同上;
(4)y是x的函数，理由同上;
(5)y不是x的函数，因为由图可以看出，有许多x值都与两个y值相对应。

练一练2.求下列函数中自变量x的取值范围。

(1);(2);(3)。

思路点拨:(1)要使分式有意义，则分母，所以;(2)要使被开方数有意义，则，所以;(3)分母且，则有。

解:(1)自变量的取值范围是的实数;
(2)自变量的取值范围是;
(3)自变量的取值范围是。

总结升华:自变量的取值范围必须使整个解析式有意义。

练一练3:一辆汽车由A地驶向相距240千米的B地，它的平均速度为30千米,时，求汽车距B地的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系式，并画出这个函数图象。

思路点拨:路程=速度×时间(
解:由题意可知s=240-30t(0? t ?8)(
列表:
t 0 2 4 8
s 240 180 120 0
画函数图象如图所示(
总结升华:画图象前先列表，令t为某值，代入函数式后可求出相应函数值(函数的三种表示方法。

二、知识要点:
1. 一次函数与正比例函数的概念
(1)形如y,kx，b(k，b是常数，k?0)，那么y叫做x的一次函数.
(2)形如y,kx(k是常数，k?0)，那么y叫做x的正比例函数.
注:一次函数y,kx，b(k?0)中，当b,0时，就成了正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数. (例1:区别一次函数与正比例函数)
例1. 下列函数中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数,
,5x，3x2(1)y,,(2)y,，2(3)y,3，1(4)y,3x，1(5)y, 2x3
2(6)y,3(x,1)(7)y,3x,x(2，3x)，1.
分析:关键看给出的解析式能否化为y,kx，b(k、b为常数，k?0)的形式，若其中b,0时，就是正比例函数.
解:(1)、(5)、(6)、(7)是一次函数，其中(1)也是正比例函数.
评析:判断一个函数是不是一次函数，首先应对式子进行化简，然后看自变量是否在分母中，是否在根号里，次数是否为1.
2. 正比例函数y,kx(k?0)的图象和性质
(1)正比例函数y,kx(k?0)的图象是过点(0，0)与(1，k)的一条直线. 在图1中画出y,2x的图象.
(2)正比例函数y,kx(k?0)的图象和性质.
?如图2，k,0时，y随x的增大而增大;
?如图3，k,0时，y随x的增大而减小.
54321
-5-4-3-2-112345-1-2-3-4-5
图1
3. 一次函数的图象和性质
(1)一次函数的图象
一次函数的图象是一条直线，因此一次函数y,kx，b的图象也称为直线y,kx，b.
说明:一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线，其中正比例函数的图象是过原点的直线. 一次函数的图象是一条直线，但直线不一定是一次函数的图象. 如x,a，y,b分别是与y轴、x轴平行的直线，就不是一次函数的图象.
(2)一次函数的图象的画法:作图时通常取两点(0，b)、(1，k，b)连直线;
(3)一次函数的图象和性质
?如图4，k,0，b,0时，图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大;
?如图5，k,0，b,0时，图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大;
?如图6，k,0，b,0时，图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小;
?如图7，k,0，b,0时，图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小.
例2. (1)(2008年福州)一次函数y,2x,1的图象大致是 ( )
(2)(2008年湖南郴州)一次函数y,,x,1不经过的象限是 ( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
(3)已知一次函数y,kx，b，y随x的增大而减小，且kb,0，则在直角坐标系内它的大致图象是 ( )
分析:(1)因为k,2，k,0，所以直线y,2x,1呈上升趋势，又因为b,,1，b,0，所以直线与y轴交点在原点的下方，所以正确选项是B. (2)可以判断直线y,,x,1经过哪几个象限，根据k,,1,0，b,,1,0，得此直线经过二、三、四象限，所以不经过第一象限. (3)在y,kx，b中，y随x的增大而减小，说明k,0，从而图象呈下降趋势，而kb,0，则b,0，说明交于y轴的正半轴. 应选A.
解:(1)B(2)A(3)A
评析:直线y,kx，b的位置由k和b的符号确定，k决定直线的上升趋势和下降趋势，可形象地称为“撇”和“捺”，b是直线与y轴交点的纵坐标，当k,0时，y随x的增大而增大，函数图象为“撇”;当k,0时，y随x的增大而减小，函数图象为“捺”，当b,0时，函数图象与y轴正半轴相交;当b,0时，函数图象经过原点;当b,0时，函数图象与y轴交于负半轴，我们可以综合k、b的符号来判断图象的位置.
4. 一次函数y,kx，b与正比例函数y,kx的图象的关系:
y,kx，b的图象由y,kx(k?0)的图象平移得到.:
(1).当b,0时，y,kx(k?0)的图象沿y轴向上平移b个单位便得到y,kx，
b(k?0，b,0)的图象;
(2).当b,0时，y,kx(k?0)的图象沿y轴向下平移,b,个单位便得到y,kx，
b(k?0，b<0)的图象.
下图是三组一次函数的图像关系: 问:你可以从下图中发现什么规律,
yy=2x+45
4y=2x
3y=2x-32
1
0x-4-3-2-11234-1
-2
-3
-4
结论:
两个一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2
已知:L1?L2 结论:k1=k2,b1?b2
反之，已知:k1=k2,b1?b2 结论:L1?L2
例3. (2008年上海)如图，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析式为_______
___.
y
2P
Ox1
分析:设直线OP的解析式为y,kx，因为其过点P(1，2)，所以k,2. 则其解析式为y,2x. 向下平移3个单位后，k不变，直线与y轴的交点下移到(0，,3)，即b,,3，所以平移后直线的解析式为y,2x,3.
解:y,2x,3
评析:直线y,kx向上、向下平移时比例系数k不变，只是增加了常数项. 若向上平移b个单位得到直线y,kx，b，若向下平移b个单位，则得到y,kx,b. 注意平移的方向是向上还是向下，从而决定是加还是减b个单位.
5. 一次函数解析式的确定
待定系数法:要确定一次函数的解析式，先设出函数的一般形式y,kx，b，再找到k，b应满足的两个条件，列出关于k，b的二元一次方程组，解出k与b，从而确定一次函数的解析式，这种方法就是待定系数法.
说明:用待定系数法解函数解析式共分四步:?设，根据题意设出函数解析式; ?代，即把适合的点的坐标代入，组成方程(组);?解，解出所列方程(组)的解;?还原，把求得的字母的值代入解析式，从而确定函数解析式.
函数解析式选取满足条件的两定点画出一次函数的图象
y=kx+b 解出 (x1，y1)与(x1，y2) 选取直线L
例4.已知一次函数图象过点(3，5)与(-4，-9)，求这个一次函数的解析式
分析:求一次函数解析式，关键是求出k、b值(因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式(由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得( 解:设这个一次函数解析式为y=kx+b(
35kb，,, 因为y=k+b的图象过点(3，5)与(-4，-9)，所以 ,,，,,49kb,
k,2, 解之，得 ,b,,1,
故这个一次函数解析式为y=2x-1。

该函数的图像是, 概括阐述一次函数解析式与图象
转化的一般过程(
例5. 某汽车在加油后开始匀速行驶. 已知汽车行驶至20km时，油箱剩油58.4L;行驶至50km时，油箱剩油56L. 如果油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间的关系是一次函数关系，请你求出这个一次函数的表达式，并写出自变量x的取值范围.
分析:由题意得两组x、y的对应值，(20，58.4)和(50，56)，且y是x的一次函数. 对于自变量的取值范围要考虑汽车的最小行程x?0和最大行程x，要使油箱中的余油量不能为负数，故有y?0，得到x的取值
解:设所求一次函数表达式为y,kx，b，
由题知函数过点(20，58.4)，(50，56)，
,,58.4,20k，bk,,0.08,,,,代入得，解得 ?y,,0.08x，60(0?x?750).
56,50k，bb,60,,,,
评析:由y?0可确定x的最大值
例6.下图 l1 l2 分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象.根据图象可以知道: (1)这一次是米赛跑;(2)表示兔子的图象是 ;
(3)当兔子到达终点时，乌龟距终点还有米;
(4)乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑米;
(5)乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑分钟.
s /米
120
0 100 2
80
60 1
40
20
O -4 -3 -2 -1 19 11 18 t /分 1 2 3 4 5 6 7 0 2 6.一次函数与一元一次不等式
试一试:我们来看下面两个问题有什么关系,
,(解不等式5x+6>3x+10(
,(当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0,
在问题,中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，解这个不等式得x>2( 解问题,就是要解不等式2x-4>0，得出x>2时函数y=2x-4的值大于0(因此这两个问题实际上是同一个问题(
那么，是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢,它在函数图象上的表现是什么,
如何通过函数图象来求解一元一次不等式,先观察函数y=2x-4的图象(
可以看出:当x>2时，直线y=2x-4上的点全在x轴上方，即这时y=2x-4>0(
由此可知，通过函数图象也可求得不等式的解为x>2(
由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x•在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系，实质上是同一个问题( 结论:由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数，a?0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0时，•求自变量相应的取值范围(
例7.用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10(
方法一:原不等式可以化为3x-6<0，画出直线y=3x-6的图象，可以看出，当
x<2时这条直线上的点在x轴的下方(即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为:x<2(
方法二:将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线
y=2x+10可以看出，它们交点的横坐标为2(当x>2时，对于同一个x，直线
y=5x+4•上的点在直线y=2x+10上的相应点的下方，这时5x+4<2x+10，•所以不等
式的解集为:x<2(
以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低(
7.用一次函数解决二元一次方程(组)
(1).探究一次函数与二元一次方程的关系:.
填空:二元一次方程可以转化为 358xy+=y=
38思考:?、直线上任意一点一定是方程的解吗, xy,358xy+=()yx=-+55
?、是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式,
?、是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解, (2)探究一
次函数与二元一次方程组的关系:
38(1)在同一坐标系中画出一次函数和的图象，观察两直线yx=-21yx=-+55
?=358xyïï的解,并探索:是否任意两个一次函数的交点坐标的交点坐标是否是
方程组íï21xy-=ïî
都是它们所对应的二元一次方程组的解,
归纳一:从“形”的角度看～解方程组相当于确定两条直线交点的坐标
38(2)当自变量x取何值时，函数与的值相等,这个函数值yx=-21yx=-+55
?=358xyïï是什么,这一问题与解方程组是同一问题吗, íï21xy-=ïî
归纳二:从“数”的角度看～解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的
值相等～以及这个函数值是何值。

例7:我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式,以每分,.,元的价
格按上网时间计费;方式,除收月基费20元外再以每分0 .05元的价格按上网时间计费。

如何选择收费方式能使上网者更合算,
x解法,:设上网时间为分，若按方式,则收元;若按方式,则收yx=0.1
元。

然后在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象，计算出交点坐标
yx=+0.0520
，结合图象，利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当一个月(400,40)
内上网时间少于400分时，选择方式A省钱;当上网时间等于400分时，选择
方式A、B没有区别;当上网时间多于400分时，选择方式B省钱。

x解法2: 设上网时间为分，方式B与方式A两种计费的差额为元，得到一次
函数:y
x，即，然后画出函数的图象，计算出直线与yxx=+-(0.0520)0.1yx=-+0.0520 轴的交点坐标，类似地用点位置的高低直观地找到答案。

试一试:画出题设中一次函数的图像,
注意:所画的函数图象都是射线。

8.一次函数在实际生活中的应用
例8 小芳以200米,分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米,分，又匀速跑10分钟(试写出这段时间里她跑步速度y(米,分)随跑步时间x(分)变化的函数关系式，并画出图象(
分析:本题y随x变化的规律分成两段:前5分钟与后10分钟(写y随x•变化函数关系式时要分成两部分(画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围( 解:y=
20200(05)xx，,,,
,300(515),,x,
我们把这种函数叫做分段函数(在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际(
【方法总结】
1. 牢牢把握一次函数的性质，会用待定系数法求一次函数的解析式.
2. 在解决与一次函数的性质有关的题目时，注意数形结合思想的使用.
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一. 选择题
1. 若正比例函数y,(4m,3)x的图像上有两点A(x，y)，B(x，y)，且x,x，
y1122121,y，则m的取值范围是( ) 2
33 A. m, B. m, C. m,0 D. m,0 44
2. (2008年广州)一次函数y,3x,4的图象不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3. 对于一次函数
y,(2m，3)x,m，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是( ) 333 A. m,0 B. m,, C. m,, D. ,,m,0 2224. (2008年陕西)如图，直线AB对应的函数表达式是( )
3322 A. y,,x，3 B. y,x，3 C. y,,x，3 D. y,x，3 2233
5. (2007年福州)已知一次函数y,(a,1)x，b的图象如图所示，那么a的取值范围是( )
A. a,1
B. a,1
C. a,0
D. a,0
*6. (2007年上海)如果一次函数y,kx，b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么( )
A. k,0，b,0
B. k,0，b,0
C. k,0，b,0
D. k,0，b,0
二. 填空题
7. (2008年河南)图象经过(1，2)的正比例函数的表达式为__________. 8. 如果一次函数y,(m,1)x，(n,2)的图象不经过第一象限，则m的取值范围是
__________，n的取值范围是__________.
9. 已知一次函数y,3x,6，它的图象与坐标轴围成的三角形的面积为
__________. 10.(2006年安徽)一次函数的图象过点(,1，0)，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式:__________.
三. 解答题
13. (2008年北京)如图，已知直线y,kx,3经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标.
*14. 已知一次函数y,(2k,1)x，(3,2k)，y随x的增大而减小. 求实数k的取值范围，并确定此时直线过哪几个象限.
四. 实际应用题
*15. 将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽度为3cm.
(1)求5张白纸粘合后的长度;
3cm
30cm
(2)设x张白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x之间的函数关系式，并求当x,20时y的值.
**16. 观察如图所示的图象，并根据你所获得的信息回答问题.
(1)折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合图象意义的应用题;
(2)根据你所给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标;
(3)求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围.
【试题答案】
一. 选择题
1. A
2. B
3. B
4. A
5. A
6. B 二. 填空题
7. y,2x 8. m,1，n,2 11. 6 12. y,,x，1等
三. 解答题
313. 直线与x轴的交点坐标为(,，0)，与y轴的交点坐标为(0，,3) 2
13314. 解:2k,1,0，即k,，当3,2k,0时，k,(不可能)，当3,2k,0时，k,，222
1故k,时，直线过第一、二、四象限. 2
四. 实际应用题
15. (1)138cm(2)y,30x,3(x,1),27x，3，当x,20时，y,543(cm). 16. 如:
(1)小明从家骑车去离家800米的学校，用了5分钟，到校后，发现课本落在家里了，又立即用了10分钟步行回到家中.
(2)此时x轴表示时间，y轴表示离家的距离，A点坐标为(5，800)，B点坐标为(15，0).
,5k，b,800,,(3)设AB的解析式为y,kx，b，则，解得k,,80，b,1200.
15k，b,0,,
?y,,80x，1200(5?x?15).。