(学习指导) 古典概型的应用(二)Word版含解析

2.2古典概型的应用(二) 学习目标核心素养

1.掌握较复杂的古典概型问题的求解方法．(重点、易混点)

2．掌握概率和统计综合问题的解决方法．(重点、难点)1．通过对古典概型概率问题的求解，培养数学抽象素养．

2．通过解决概率和统计综合问题，培养数学建模素养．

【例1】甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．

(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；

(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．

[解](1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.

(2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，

3)，共5种，甲胜的概率为P1＝5

12，乙胜的概率为P2＝

7

12，因为

5

12

＜7

12，所以此

游戏不公平．

游戏公平性的标准及判断方法

(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平．

(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．

[跟进训练]

1．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

[解]由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P＝40

50

＝4

5，

女顾客对该商场服务满意的概率P＝30

50＝3 5.

古典概型的综合应用

【例2】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

(1)求A1被选中的概率；

(2)求B1和C1不全被选中的概率．

[解](1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18个样本点组成．由于每一个样本点被抽取的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的．

用M表示“A1恰被选中”这一事件，则

M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，

(A1，B3，C2)}，事件M由6个样本点组成，因而P(M)＝6

18

＝1

3.

(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，

事件N由3个基本事件组成，所以P(N)＝3

18＝1

6，由对立事件的概率公式得P(N)

＝1－P(N)＝1－1

6＝5 6.

使用古典概型的概率计算公式的三个关键点

(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键．(关键词：不重不漏)

(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧．(关键词：简单的数字和字母)

(3)“正难则反”原则：在解决古典概型的概率问题时，如果从正面分解一个事件的情况比较多时，可以考虑利用它的对立事件的概率求解．

[跟进训练]

2．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．

5

6[从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2).设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件N表示“A1和B1全被选中”，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，

所以P(N)＝2

12＝1

6，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P(N)＝1－

1

6

＝5

6.]

概率与统计的综合应用问题

【例3】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

[思路点拨](1)根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；

(2)①用列举法求出基本事件数；

②用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；

[解](1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，

由于采用分层抽样从中抽取25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；

(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，