绝对值不等式专题

绝对值不等式专题
[题目]：简单绝对值不等式研究进阶
[重点]：对不等式性质的深入研究
[难点]：多绝对值符号不等式
[内容]
一、对于下例我们通常采取“几何意义”法
例1．求解关于x的不等式：1<|x-2|≤3
分析：将不等式的几何意义翻译如下：“求数轴上到2这点距离绝对大于1又小于等于3的点。

”
显然画出数轴我们有：
原不等式的解集[-1,1)∪(3,5]。

同样使用几何意义方法分析可以方便解决的问题还有下例这样的双绝对值不等式：
例2：求解关于x的不等式：|x+10|+|x-2|>4
分析：用几何意义翻译如下：“求数轴上到-10与到2的距离和小于4的点。

”
看数轴
-10，2将数轴分成3部分，各点到这两点距离之和以[-10，2]区间上的取值最小，为12。

因此我们知道不等式左侧的最小值为12，恒大于4，由此我们有：原不等式的解集为R。

深入一步我们会想这样的问题：如果现在左侧是三个绝对值符号（或更多），这样的不等式我们能不能解呢？答案是肯定的，对于处理绝对值符号的基本方法：分区间确定符号在这里仍然有效，无非是n个一次零点将数轴分成n+1段，逐段讨论。

当然这里n较大时讨论的计算量也随之加大。

那我们有没有简单直接的方法呢？
首先我们有如下共识：不等式f(x)>0的解集是函数y=f(x)图象在x轴上方对应的x的集合。

进而：不等式f(x)>m
(m∈R)的解集是函数y=f(x)图象在直线y=m上方对应的x的集合。

当然，f(x)<m情形类似，只是考虑在直线y=m下方的x。

所以求解不等式
|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|+……+|x-x n|>m
其中xi(i=1,2,……,n)是常数的问题就转化成了，求作左侧函数图象的问题。

这里我们不妨作
出几个草图，从中观察一些规律。

函数y1=|x-2|
草图：
函数y2=|x-2|+|x+1|
草图：
函数y3=|x-2|+|x+1|+|x-1|
草图：
函数y4=|x-2|+|x+1|+|x-1|+|x+2|
草图：
函数y5=|x-2|+|x+1|+|x-1|+|x+2|+|x-3|
草图：
简单观察上述函数与其草图，加上对这些图象外观的思考，我们不难发现如下的一些规律：函数y=|x-x1|+|x-x2|+……+|x-x n|的图象
①宏观上看呈“”型
②当n=2k (k∈Z+)时，图象为“平底”型，即在一个区间上取最小值；
当n=2k+1 (k∈Z+或k=0）图象为“尖底”型，即在某个点取最小值。

③在相邻两个xi和xj之间图象为线段，我们称之为“分段线性”。

所以，求不等式的问题已经转化成“”型图象与直线y=m相互关系的问题。

对于不等式y>m，若方程y=m有两个根，则解集仍满足所得“大于在两边，小于在中间”的规律。

对于多绝对值符号不等式的研究我们暂告段落，看下面一个例子：
例3：求解关于x的不等式：||<3
分析一：将绝对值符号内的分式当作一个整体来分析，转化为最简绝对值不等式|X|<3,故有：
-3<<3，而这是一个分式不等式组，对其求解我们没有研究过。

分析二：||=<3
将之视为多绝对值问题，将数轴按0，分成三段：
或或
或或
∴x<-1<x≤x>
∴原不等式解集{x<-1或x>}。

分析三：当x≠0时,|x|>0不等式两边同乘|x|
|2x-1|<3|x| 两边平方
(2x-1)2<(3x)2
(2x-1-3x)(2x-1+3x)<0
(-x-1)(5x-1)<0
画二次函数草图：
∴二次不等式解集即原不等式解集为：{x|x<-1或x>}。

[本周练习]
1．求解下列不等式：
|x-2|+|x+2|<10
|x-3|-|x+3|>2
2．如果关于的不等式|ax+1|≤b的解集是-≤x≤,求a, b。

3．解关于x的不等式|ax-2|<4。

二．解绝对值不等式
例1：解不等式
分析和解：为了去掉不等式左端的绝对值符号，我们应首先找到使每个绝对值等于零的x 值，解|x-1|=0得x=1，解|x+2|=0得x=-2。

综合上述，不等式|x-1|+|x+2|<5的解是-3<x<2。

小结：含有两个和两上以上绝对值式子的不等式的解法是：
1、找零点，分区间；
2、在每个区间上解去掉绝对值符号的不等式；
3、把各个区间上的解拼在一起（即求它们的并集），就得到原不等式的解。

例2：求|X-1|+|X+2|的最小值。

分析和解：根据绝对值的意义，|X-1|就是数轴上表示X点到表示1点的距离；
就是数轴上表示X的点P和表示-2的点A的距离与这个表示X的点P和表示1的点B的距离之和。

易知，表示-2的点A与表示1的点B的距离是3，当表示X的点P落在线段AB的外部（即点P在B点的右侧或P点在A点的左侧）时，P、A距离与P、B的距离之和大于A、B的距离；当点P东落在线段AB的内部时，P、A的距离与P、B的距离之和恰好等于A、B的距离。

∴对数轴上任意一点P总有PA+PB≥AB，当P在线段AB内部（包括端点）时取等号。

小结：
解含有绝对值符号的不等式的基本思路是想办法去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式。

去掉绝对值的方法很多，我们讲了以下两种：
1、根据绝对值的意义|x-a|就是数轴上表示x的点P与表示a的点A之间的距离。

2、根据去掉绝对值符号的法则：正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数。

即
在解决具体的问题时，可从上述两种方法中选取对某个题来说是较方便的一种，无论哪种方法，与数轴相联系，都会使问题或它的解变得直观，有利于思考。

绝对值不等式练习：
1、解不等式
2、解不等式
3、解不等式
4、解不等式
答案或提示：
3、全体实数
4、无解
解一元二次不等式
【教学目的】：熟悉一元二次不等式与一元二次方程及二次函数之间的自然联系，并利用这种联系会讨论含有字母系数的一元二次不等式的解集问题。

【重点】：掌握含有字母系数的一元二次不等式的求解问题。

【难点】：分类讨论的原则及方法的掌握。

因一元二次不等式的解集与一元二次方程及二次函数的性质密切相关，则解一元二次不等式的标准形式，可以利用判别式和函数的图象进行。

本节主要讨论含有字母系数的一元二次不等式的求解问题，并通过对实例的分析解答，归纳出解决系数含有字母的一元二次不等式的求解方法步骤。

例1、解关于x的不等式
分析：本题所给不等式的形式虽表面上是一元二次不等式的一般形式，但未必一定是一元二次不等式，因a未限定,若a=0时,便不是一元二次不等式了,因此分为
为一元二次不等式,利用判别式并结合图形便可获得解集。

解：a＞0可分为3种情形：
（1）当的两个根
（2）当有两个相等实根，此时，
（3）当根。

不等式的解集为：
a＞0时所对应的图象如下：
a＜0也分为三种情形：
（4）当的两个根。

（5）当
不等式的解集为。

a＜0所对应的图象如下：
a=0时，不等式可化为：bx＜－c
若b＞0时，不等式解集为：
若
若b=0时，不等式变为0＞－c。

当c＞0时，不等式解集为
当。

评述：1、解一元二次不等式要习惯于结合二次函数的图象，这样可简化求解过程采用它来验证结果的准确性。

2、若a=0时则转化成含有字母系数的一元一次不等式型的不等式的求解问题，此时，不可轻易下结论，认认真真地对待每一个字母取值的分类。

例2、解关于x的不等式
解：若
（1）当
此时
∴不等式的解集为
（2）当。

（3）当。

（4）当
此时
若a=0时，不等式为：1＞0为绝对不等式，解集为。

评述：因本题中系数只含有一个字母，因此在确定不等式的解集时一定要先确定出字母的取值范围。

例3、解关于x的不等式
分析：先将所给不等式化成一元二次不等式的标准形式，然后，看看能否分解因式，若能，则先分解因式。

因为若能分解因式的话，对于一元二次方程的判别式为大于等于零。

解：原不等式可化为
分解因式
相应方程的两根为a与。

当a=0或1时，解集为
当
评论：这是一个比较特殊的一元二次不等式，即二次项系数为1，而且能分解因式，这给解题带来很大方便。

归纳：总结上面实例，归纳出讨论一般含有字母系数：一元二次方程解集基本步骤：
（1）定型：化成标准形式；
（2）定开口：看最高次项系数的取值范围；
（3）根的判别式：若能分解因式的话，则可以不考虑判别式，因此时的判别式必大于等于零；
（4）比较根的大小；
（5）结合图象写出解集。

注意：解含有字母系数：一元二次不等式，必定要伴随着分类讨论，而“分类讨论”是学生难以把握的，因此，在使用中要反复重申“分类讨论”的基本原则，其一是能不分就不分；其二是若不分类则无法进行下去。

使分类讨论问题变成一种非常自然而然的解题程序。

例4：已知ax2+2x+c>0的解为-<x<，试求a,c,并解不等式-cx2+2x-a>0。

解：解为-<x<的不等式是
(x-)(x+)<0，即x2-x-<0,
两边同乘以(-12)得:-12x2+2x+2>0。

该不等式与ax2+2x+c>0同解,
将这两个不等式比较系数后得:a=-12,c=2。

∴不等式-cx2+2x-a>0,
即-2x2+2x+12>0。

解得-2<x<3。

例5：设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<b}(0<a<b),试求不等式cx2+bx+a<0的解集。

分析:如图,因为不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<b},根据二次函数的图象可以推断,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,并且与x轴相交于x=a与x=b两点。

解：因为ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<b}(0<a<b),所以a<0,并且a,b是方程ax2+bx+c=0的两个正根,于是有
a+b=->0, ab=>0；
并可推得b>0,c<0。

∴>0, >0。

故恰好是方程cx2+bx+a=0的两个正根,并且0<<。

故不等式cx2+bx+a<0的解集是{x|x<}∪{x|x>}。

练习：
1、实数k在什么范围内取值时，不等式的解集是实数R？
略解：。

评述：若将此题稍加改造在解集不变的情况下，可改造成这样的题目：k为何值时，使函数的定义域为实数R?
2、已知不等式的解集为
求不等式的解集。

答案：。

3、设全集I=R，已知
，试求a的取值范围，使。

答案：。