人教版高中数学选修4-5《3.2 一般形式的柯西不等式》
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五. 当堂检测:
[练1](1)已知2 x 3 y 4z 10, 求x 2 y 2 z 2最小值;
(2)若9 x 2 12 y 2 5z 2 9, 求x 6 y 5z的最大值.
[练2]设x1 , x2 ,..., xn是正数, 求证 : 1 1 1 2 ( x1 x2 ... xn )( ... )n x1 x2 xn
三、归纳推理,形成新知:
3、三维形式的柯西不等式:
(a1b1 a2b2 a3b3 ) (a a a )(b b b )
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
当且仅当 与共线时, 等号成立.
【探究】根据二维、三维形式的柯西不等式, 若 ( a1 , a 2 , a 3 ,...,a n ), (b1 , b2 , b3 ,...,bn )
3.2一般形式的柯西不等式
选修4-5
一、温故知新:
1、柯西不等式的向量形式: 【定理2】设 , 是两个向量, 则| | | | | |
将平面向量的坐标 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )代入, 则上述 不等式可化简为:
2、二维形式的柯西不等式: 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 适用范围: 对任意实数都成立.
六.课堂小结: 基础 三维形式 知识:
一般形式
证明不等式
柯西不等式
求最值
基本思想方法: 1.探究方法:从特殊到一般. 2.思维方法:观察→归纳→证明. 七.课后作业: 1.巩固性作业:P41 习题3.2 第1,2, 4,6. 2.探究作业: 小组合作证明一般形式的柯西不等式.
谢谢
是空间中的n维向量,
你能归纳出一般形式(n维)的柯西不等式吗?
4、n维形式的柯西不等式:
2 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ... anbn )2 (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn )
当且仅当 与共线时,等号成立 .
我们知道归纳推理的结论不一定正确,需给出证明. 请同学们课后,小组合作给出证明方法。
【技巧传播】
①变形凑成柯西不等式的结构特征,是利用柯 西不等式求解的先决条件; ②利用不等式解决最值问题时, 通常设法在不 等式的一边得到一个常数,这也是运用柯西不等 式解题的技巧; ③有些问题需要多次利用柯西不等式才能达到 目的,但在运用过程中,每运用一次前后等号成 立的条件必须一致,不能自相矛盾. 多次反复运 用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.
当且仅当 与共线时, 即a1b2 a2b1时, 等号成立.
二、引导探究,发现规律:
y
(b1 , b2 )
( a1 , a 2 , a 3 )
z
(b1 , b2 , b3 )
(a1 , a2 )
o
x x
o
y
平面向量
空间向量
[思考]将空间向量的坐标 (a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 ) 代入, 则上述不等式可化简为 ?
四. 典例剖析:
上一节课,我们学习了二维形式的柯西不等式: 主要用途: ①求最值;②证明不等式.
例2.已知a, b, c, d是不全相等的实数, 证明: (a 2 b 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da)2 .
【分析】①变形凑成柯西不等式的结构特征, 是利用柯西不等式求解的先决条件; ②构造出两个向量,找出取等号的条件.
四. 典例剖析:
上一节课,我们学习了二维形式的柯西不等式: 主要用途: ①求最值;②证明不等式.
例3.已知x 2 y 3z 1, 求x 2 y 2 z 2最小值.
【分析】①变形凑成柯西不等式的结构特征, 是利用柯西不等式求解的先决条件; ②利用不等式解决最值问题时,通常设法在不等 式的一边得到一个常数。 ③构造出两个向量,找出取等号的条件.
四. 典例剖析:
上一节课,我们学习了二维形式的柯西不等式: 主要用途: ①求最值;②证明不等式.
例1.已知a1 , a 2 ,...,a n 都是实数, 求证 : 1 2 2 2 (a1 a2 ... a n ) 2 a1 a2 ... a n . n
【分析】①变形凑成柯西不等式的结构特征, 是利用柯西不等式求解的先决条件; ②构造出两个向量,找出取等号的条件.
学生解答,及时反馈
Байду номын сангаас
五. 当堂检测:
[练习2]P 41第3题: 设x1 , x 2 ,..., x n是正数, 求证 : 1 1 1 ( x1 x 2 ... x n )( ... ) n2 x1 x 2 xn
解 : 设 ( x1 , x 2 ,..., x n ), 1 1 1 ( , ,..., ),由柯西不等式 x1 x2 xn 1 ( x1 x1 1 1 2 x2 ... x n ) x2 xn 1 1 1 ( x1 x2 ... xn )( ... ) x1 x2 xn