一元二次方程培优专题(适用120分以上)

一元二次方程专题复习

根与系数的关系及其应用

1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a b x x -=+21， a c x x =∙21，；补充公式a

x x ∆=-21 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙+++x x x x x x

3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

++=++ 【典型例题】

应用一：求根的代数式的值

不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所

给的代数式经过恒等变形，化为含，的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有： ① ②

③

④ ⑤ 例1： 已知二次方程x 2-3x ＋1=0的两根为α，β，求：

（1）

βα11+ （2）22βα+ (3)α3＋β3

例2： 已知α，β分别是方程x 2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值．

说明： 此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．

例3：已知、是方程

的两个实数根，求的值。

应用二：与两根之比有关的问题； 例1： 已知x 1，x 2是一元二次方程 4x 2-(3m-5)x-6m 2＝0的两实数根，且

2

3x x 21 ，求m 的值.

应用三：构造新的二次方程

例1： 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。

例2：已知：21a +1a －1=0，b 4+b 2－1=0，且1a ≠b 2，求21ab a

的值．

若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a ＋b 、a ·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．

例3 若实数x 、y 、z 满足x ＝6－y ，z 2＝xy －9．求证：x ＝y ．

应用四：求方程中某些待定字母系数的值

例1：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。

（1）用含m的代数式表示；

（2）当时，求m的值。

点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。

例2：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。

应用五：判断一元二次方程根的符号

例1：已知方程0

+

-

-）

（.m为何值时，方程有两个正根.

x2=

-

7

m

x

m

1

例2：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，

应用六：关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理

例1：m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．

例2：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。