2020-2021西北工业大学附属中学高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(及答案)

2020-2021西北工业大学附属中学高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(及答
案)
一、选择题
1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）
A ．1
B ．221-
C ．22
D ．2
2．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．
643
B ．32
C ．54
D ．64
3．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）
A ． 22
B ． 42
C ．4
D ．8 4．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=
B ．4x 2y 5-=
C ．x 2y 5+=
D ．x 2y 5-=
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
6．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．
||αγαββγ⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
B ．
||m l l m ββ⎫
⇒⊥⎬⊥⎭ C ．||||||m m n n γγ⎫
⇒⎬⎭
D ．
||m m n n γγ⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
7．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．
72
π B ．56π
C ．14π
D ．64π
8．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5 B ．10 C ．25
D ．210 9．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
①若，，则
； ②若，，则； ③若，
，
，则
④若
，
，
，则.
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
10．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130
B ．140
C ．150
D ．160
11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=
1
2
．则下列结论中正确的个数为
①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；
③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．64
B ．
643
C ．16
D ．
163
二、填空题
13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 14．如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1
O2的体积为V1 ,球O的体积为V2
，则1
2
V
V的值是
_____
15．直线与圆交于两点，则________．16．已知菱形ABCD中，2
AB=，120
A
∠=o，沿对角线BD将ABD
△折起，使二面角A BD C
--为120o，则点A到BCD
V所在平面的距离等于．
17．如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥底面
,,//,2,1
ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB
⊥====，若E为棱PC上一点，满足BE AC
⊥，则
PE
EC
=__________．
18．如上图所示，在正方体1111
ABCD A B C D
-中，,
M N分别是棱
1
AB CC
、的中点，1
MB P
∆的顶点P在棱
1
CC与棱
11
C D上运动，有以下四个命题：
A．平面1
MB P
1
ND
⊥； B．平面
1
MB P⊥平面
11
ND A；
C．∆1
MB P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；
D．∆1
MB P在侧面
11
D C CD上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________. 19．已知点()
1,0
A-，()
2,0
B，直线l：50
kx y k
--=上存在点P，使得22
29
PA PB
+=成立，则实数k的取值范围是______.
20．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD内接于底面圆O，则四棱锥P ABCD
-侧面积为__________．
三、解答题
21．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，
AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =，244AB BE AD ===.
（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论； （2）求证：AC ⊥平面BCE ；
（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值.
22．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；
（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 23．如图，已知四棱锥
的底面
是菱形，
平面
，点为
的中点.
（1）求证：∥平面
；
（2）求证：
.
24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，
90ADC ∠=︒，1
2
BC AD =
，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．
（1）求证：//PA 平面MNB ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ． 25．已知圆2
2
:20M x y x a +-+=
（1）若8a =-，过点(4,5)P 作圆M 的切线，求该切线的方程；
（2）当圆22:(1)(23)4N x y ++-=与圆M 相外切时，从点(2,8)Q -射出一道光线，经过y 轴反射，照到圆M 上的一点R ，求光线从点Q 经反射后走到点R 所走过路线的最小值.
26．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .
（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.
【详解】
由圆的一般方程可得2
2
(2)(2)1x y -+-=，
圆心到直线的距离
d =
=
所以圆上的点到直线的距离的最小值为1. 故选B. 【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】
正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，
设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .
则2
OA =
,1PO ⊥ 平面ABCD .
则22211OO O A OA +=,即()2
22
33h ⎫+-=⎪⎪
⎝⎭
，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()
2211
12233
V a h h h h =⨯=- 令()(
)2
122f h h h
h =-，则()2
246f h h h
'=-
当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()
f h 单调递减.
所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：(
)
2
1
641242443
3
⨯⨯-⨯⨯=
. 故选：A
【点睛】
本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．
3．C
解析：C 【解析】
分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.
详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为1
2442
S =⨯⨯=. 选C.
点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．
即：2
2
1244x x y y +-++-
229612x x y y =+-++-，
化简得：425x y -=． 故选B ．
5．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为
，故选C ．
考点：几何体的三视图及体积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．
6．D
解析：D 【解析】
试题分析：A.
}r r
ααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m β
β⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.
}m r
m n n r
⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

考点：本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。

点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。

7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】
设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
所以()
2
36abc =，于是213a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
8．A
解析：A 【解析】
(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=
的距离为d =
=
A.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】
由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：
在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；
在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．
10．D
解析：D 【解析】
设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线1
19,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得2
21
156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =
-==，
因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211
()()1450822
AB AC BD =
+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
11．B
解析：B 【解析】
试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
12．D
解析：D 【解析】
根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积
1244
2S =⨯⨯=，所以该多面体的体积116
4433
V =⨯⨯=，故选D.
二、填空题
13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案 解析：
3
【解析】 【分析】
棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ. 【详解】
因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，
所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，
设棱长为：1，1
26,2AO AO ==，易知2
32sin 6θ==
故答案为：
3 3
【点睛】
本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.
14．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常
解析：3 2
【解析】
设球半径为r ，则
2
1
3
2
23
42
3
V r r
V r
π⨯
==
π
．故答案为
3
2
．
点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
15．22【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根
解析：
【解析】
【分析】
首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.
【详解】
根据题意，圆的方程可化为，
所以圆的圆心为，且半径是，
根据点到直线的距离公式可以求得，
结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.
【点睛】
该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.
16．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝12 0°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60
解析：
32
【解析】 【分析】 【详解】
设AC 与BD 交于点O ．
在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1． 过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求． 由题得，∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60°． 在RT △AOE 中，AE ＝AO•sin ∠AOE ＝
3
．
17．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定
解析：1
3
【解析】 【分析】
过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE
EC
的值. 【详解】
过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故
AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π
1,4
AB BAF =∠=，所以22
AF AB =
=
，而22AC =:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.
【点睛】
本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.
18．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A 当动点P 与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A 为假命题；对于B 易证所以平面所以平面⊥平面故B 为真命题；对于C 在底面上的射影图形的面积为定值 解析：BC
【解析】
由正方体的几何性质对4个命题进行判断，对于A ，当动点P 与点1D 重合时，MNP ∆以等腰三角形，PM 与1ND 不垂直，所以不能得出平面11MB P ND ⊥，A 为假命题；对于B ，易证11111ND MB MB A D ⊥⊥，，所以1MB ⊥平面11ND A ，所以平面1MB P ⊥平面
11ND A ，故B 为真命题；对于C ，∆ 1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值，
因为1MB P ∆在底面ABCD 的射影是三角形，底边是MB ，点P 在底面的射影在CD 上，到
MB 的距离不变，若正方体棱长为a 时，则射影面积为
2
14
a 为定值，所以C 为真命题；对于D ，当P 点与点1C 重合时，则点1B 与点P 的投影重合，此时∆ 1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是线段，不是三角形，故D 是假命题。

真命题有BC.
点睛：本题主要考查面面之间的关系以及投影的概念，属于中档题，解决本题的关键是对正方体中的点线面之间的关系有比较透彻的了解，对其中的空间位置比较熟悉。

19．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直
解析：1515,1515⎡-⎢⎣⎦
【解析】 【分析】
先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】
解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；
设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，
∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=
化简得：2200020x y x +-=，
因此点p 为2
2
20x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．
所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径
∴
1
解得：[k ∈
故答案为[k ∈ 【点睛】
本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
20．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答
解析：
5
. 【解析】
分析：设圆锥底面半径为r ，则高为2r ，
由圆锥侧面积为π，可得2r =
a =，利用三角形面积公式可得结果.
详解：设圆锥底面半径为r ，则高为2h r =， 因为圆锥侧面积为π，
r ππ∴⨯=，25
r =
，
设正方形边长为a ，则2224,a r a ==
，
=，
∴正四棱锥的侧面积为21462a r ⨯⨯==，
故答案为
5
. 点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面
积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.
三、解答题
21．（1）在BE 上取点F ，使得1
4
BF BE =
；证明见解析；（2）证明见解析；（3）
3
【解析】 【分析】
（1）在BE 上取点F ，使得1
4
BF BE =
，根据直线和平面平行的判定定理即得；（2）由线面垂直的判定定理即得；（3）取BE 中点G ，连接AG ，CG ，由//DE AG ，可知AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角，已知AC ⊥平面BCE ，根据所给条件计算即得. 【详解】
（1）如图，在BE 上取点F ，使得1
4
BF BE =， 理由如下：
OF 是ABG V 中位线，//,//OF AG FO DE ∴∴，
OF ⊄平面CDE ，//OF ∴平面CDE . （2）已知AD ⊥平面ABC ，
又//AD BE Q ，BE ∴⊥平面ABC ，BE AC ∴⊥， 又AC CB ⊥AC ∴⊥平面EBC .
（3）取BE 中点G ，连接AG ，CG ， //DE AG Q ，
∴AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角，又AC ⊥平面BCE ， AGC ∴∠是AG 与平面CBE 所成的角，
在Rt ABC ∆中，4AB =，AC =BC ∴=
∴在Rt BCG ∆中，3CG ==，
∴在Rt ACG ∆中，tan AC AGC CG ∠==，
即直线DE 与平面CBE 所成角的正切值为
3
.
【点睛】
本题考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的判断定理，以及求直线和平面所成的角的正切值，属于中档题.
22．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0- 【解析】 【分析】
（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；
（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标. 【详解】
（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为12
3122
y x --=---，即240x y +-=. （2）224225BC =
+=，A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为24
5
m n d +-=
，由于A 在直线2360x y -+=上，故17
2
2360
ABC S BC d m n ∆⎧
=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即247
2360
m n m n ⎧+-=⎨
-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】
本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.
23．（1）详见解析；（2）详见解析。

【解析】
试题分析：(1)设BD 与AC 交于点O,利用三角形的中位线性质可得,从而证明平面;(2)由平面,得
,根据菱形的性质可得
,从而证得
平面
,进而
. 试题解析：（1）连结交
于，连结，点，分别为的中点，所以
为
的中位数，，又面
，面
，所以
面. （2）在菱形
中，
，又因为
面，
面
，所以
，又，面，所以面，又面，所以
.
24．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；
（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论. 【详解】
（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ． 因为//AM BC ，1
2
AM AD BC =
=， 所以四边形ABCM 是平行四边形， 所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点， 所以//NQ PA ，
因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ， 所以//PA 平面MNB ；
（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥， 因为//MD BC ，MD BC =， 所以四边形BCDM 是平行四边形，
所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥， 因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ， 所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PMB ． 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能
力.
25．（1）815430x y -+=或4x =;（2
2. 【解析】 【分析】
（1）把8a =-代入圆的方程中，可得圆心坐标和半径，当直线斜率不存在时，可得
:4l x =，此时和圆相切符合题意；当直线斜率存在时，由点斜式设出直线方程，由圆心
3=，进而可求出8
15
k =
，则切线方程可求. （2）由两圆外切可知圆心距为半径之和，即可求出a 的值，从而可得
22:(1)4M x y -+=，求出点Q 关于y 轴对称的点为(2,8)Q -'-，求出Q M '的值，即可
求出所求路线的最小值. 【详解】
解：（1）当8a =-时，圆22:280M x y x +--=，即22
(1)9x y -+=，
当切线斜率不存在时，直线:4l x =，点()1,0M 到直线l 距离为3，等于半径r ，符合题意.
当切线斜率存在时，设直线:5(4)l y k x -=-，即450kx y k --+=， 由题意点M 到直线l 距离等于半径r
3=，解得815
k =
. 843
:1515
l y x ∴=
+，整理得815430x y -+=. 综上：切线方程为815430x y -+=或4x =.
（2）圆22
:(1)1M x y a -+=-，则圆心为(1,0)M
，半径)11r a =<.
圆22:(1)(4N x y ++-=
，则圆心(N -，半径22r =.
Q 圆M 和圆N 相外切，12MN r r ∴=+
2=，
3a ∴=-.
此时圆22
:(1)4M x y -+=，圆心(1,0)M ，半径12r =.
由点Q
关于y 轴对称的点为(2,8)Q -'-
，Q M '=
Q ∴所走路线的最小值为
2.
【点睛】
本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了圆圆的位置关系的应用.由直线和圆相切可得等量关系为，圆心到直线的距离等于半径；由圆圆外切可得等量关系为，圆心距为两圆的半径之和.本题的易错点是，在求第一问的切线方程时，没讨论直线斜率不存在的情况. 26．（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=I ；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析 【解析】
【分析】
（1）根据题意，作出示意图即可； （2）根据题意，作出示意图即可. 【详解】
（1）l α⊂；m α⊄；m A α=I ；A l ∉；示意图如下：
（2）如图，直线IL 即为所求.
【点睛】
本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.。