高中数学排列与组合练习 (8)

高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
题型三
涂色问题
涂色问题曾在历届高考题中多次出现，下面举几例以期抛 砖引玉． 例3 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选 择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)
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(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个 球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空 盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球” 是一回事．故也有144种方法． (4)先从四个盒子中任取两个有C42种，问题转化为：“4个 球，两个盒子，每盒必放球，有几种方法？”从放球数目看， 可分为(3，1)，(2，2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然 后放入指定的一个盒子中即可，有C43·C21种方法；第二类：有 C42种方法．因此共有C43·C21＋C42＝14(种)．由分步乘法计数 原理得“恰有两个盒子不放球”的方法有C42·14＝84(种)．
3．重复计数 例3 几种？ 【错解1】 排在排头的有除甲之外的A61种情形，排在排尾 7个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有
的也有除乙之外的A61种情形，两端排好后余下的排中间有A55种 情形，所以不同的排法有A61A61A55＝4 320种． 【错解2】 头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人
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探究1 解排列组合问题的“16字方针”是：有序排列、无 序组合；分类为加，分步为乘．
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思考题 1
(1)将 5 名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿 )
舍至少安排 2 名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( A．10 C．30 B．20 D．40
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(2)先从乙、丙、丁、戊4人中选2人参加“围棋苑”，有C42 种方法，然后将剩下的3人分配到其他3个社团中，有A33种方 法，这时共有C42A33种参加方法． 综上，共有C41C42A33＋C42A33＝180种参加方法． 【答案】 180
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修D，E五人站成一排，如果B必须站在A的 右边(A，B可以不相邻)，那么不同的站法有( A．24种 C．90种 B．60种 D．120种 )
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【错解】
把A，B“捆绑”为一个元素(B在A的右边)，与
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2．排列组合混淆 怎样界定排列与组合问题？唯一的标准是“顺序”，“有 序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存 时，一般采用先组合后排列的方法． 例2 7位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最 高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有多少 种？
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【解析】
(1)一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可
有4种独立的方法，由分步乘法计数原理知，方法共有44＝ 256(种)． (2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意 拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有C42种分法；然后 再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全 排列即可．由分步乘法计数原理知，共有方法 C41·C42·C31·A22＝144(种)．
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题型二
分组问题
例2 (2018· 河北沧州七校联考)有5个大学保送名额，计划 分到3个班级每班至少一个名额，有多少种不同的分法？
【解析】 一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少
1个名额，即将名额分成3份，每份至少1个．(定份数) 将5个名额排成一列产生6个空，中间有4个空．(定空位) 即只需在中间4个空中插入2个隔板， 隔板不同的方法共有C42＝6种．(插隔板)
(4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需 要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是 要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确 定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔 板数，一般来说，两端不能插隔板．
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C42C21＝12种方法；取3种花来种，则有C43C31C21C21＝48种方 法；取4种花来种，则有C41C31C21＝24种方法，故共有12＋48＋ 24＝84种方法． 【答案】 B
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例4 如图所示，用6种不同的颜色给图中4个格子 涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两 个格子颜色不同．则不同的涂色方法共有________种(用数字作 答)．
1．两个原理混淆 两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关． 例1 某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各
年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的 场数为( ) B．C62＋C52＋C82 D．C192
A．C62C52C82 C．A62A52A82
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的情况，因此重复计算了5A55种情形．对于错解2中甲在排尾且 乙在排头已包含在甲在排尾或乙在排头的情形中，因此重复计 算了A55种排法． 【正解1】 在错解1中，减去重复数，应为A61A61A55－
5A55＝3 720种排法． 【正解2】 在错解2中，减去重复数，应为A52A55＋2A66－
A55＝3 720种排法．
【错解】
依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，
高三比赛有C82场，由分步计数原理，得共需要进行比赛的场数 为C62C52C82，选A. 【剖析】 结合题意，各年级之间进行的比赛是分类计
数，而不是分步计数． 【正解】 依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，
高三比赛有C82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数 为C62＋C52＋C82，选B.
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思考题3
如图所示，一环形花坛分成A，
B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在 每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不 同的种法总数为( A．96 C．60 ) B．84 D．48
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【解析】
根据题意可分情况讨论．取2种花来种，则有
来排，有A52种排法，余下的人排中间有A55种排法，所以甲、乙 不在排头、排尾的排法有A52A55种；又甲、乙分别在排尾、排头 的排法各有A66种，因此不同的排法共有A52A55＋2A66＝3 840种.
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【剖析】
对于错解1中排排头的6种情形也有乙不在排尾
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【错解1】 最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学 中选取3位同学，有A63种，剩下的3位同学也有A33种，故共有 A63A33＝720种． 【错解2】 最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学 中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C63种；剩下的3 位同学也按从高到矮的顺序站在另一边，有C33种．又两边可以 交换，故共有C63C33·A22＝40种．
(2)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员 2 名，1 名， 1 名，现从 10 名应聘人员中招聘 4 人到甲、乙、丙三个部门，那 么不同的招聘方法共有( A．1 260 种 C．2 520 种 ) B．2 025 种 D．5 040 种
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【解析】 (2)先从 10 人中选 2 个去甲部门，再从剩下的 8 人中选 2 人去乙、丙两个部门，有 C102A82＝2 520 种不同的招聘 方法． 【答案】 (1)B (2)C
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1.2
第八课时
排列与组合
排列组合的综合应用(二)
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课 时 学 案
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题型一
较复杂的排列组合问题
例1 有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒 内． (1)共有多少种方法？ (2)恰有一个盒子不放球，有多少种方法？ (3)恰有一个盒内放2个球，有多少种方法？ (4)恰有两个盒子不放球，有多少种方法？
【解析】 最多使用3种颜色，且相邻两格颜色不同，可分为
使用两种或三种颜色两类，使用两种颜色有A62种方法，使用三种 颜色有C63C31A32种方法，故共有A62＋C63C31A32＝390种，故填390. 【答案】 390
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自 助 餐
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【正解】
设5名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题
意，甲不参加“围棋苑”，所以有下列两种情况： (1)先从乙、丙、丁、戊4人中选1人参加“围棋苑”，有C41 种方法，然后从剩下的4人中选2人组成一组，与剩下的2人分配 到其他3个社团，有C42A33种方法，这时共有C41C42A33种参加方 法．
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例5 (2018· 湖北天门中学月考)某省高中学校自实施素质教 育以来，学生社团得到迅速发展．某校高一新生中的5名同学打 算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围 棋苑”4个社团．若每个社团至少有1名同学参加，每名同学须 参加1个社团且只能参加1个社团，且同学甲不参加“围棋 苑”，则不同的参加社团的方法的种数为________．
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探究1 隔板法的解题步骤 (1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的 数量． (2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数． (3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔 板，利用组合数求解不同的分法种数．
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C，D，E一起全排列，有A44＝24种站法，故选A. 【剖析】 解． 【正解1】 按A的位置分为四类：A排第一、二、三、四 审题不严，未注意到“A，B可以不相邻”而漏
位时的排法数分别是A44，3A33，2A33，A33，所以共有A44＋3A33 ＋2A33＋A33＝60种排法，选B. 【正解2】 利用对称关系(注意到A在B左边与A在B右边的 A55 排列情形是对称相同的)，故有 2 ＝60种，选B.
思考题2
体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3
的三个箱子中，要求每个箱子放入的球的个数不少于其编号， 则不同的放球方法有( A．8种 C．12种 ) B．10种 D．16种
【解析】 先往2号箱子里放1个球，再往3号箱子里放2个球， 从剩下的6个足球间隔2个板有C52＝10种． 【答案】 B
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【解析】
本小题在各类教辅资料上都能找到影子，但所
给图形变化后，需要同学们有敏锐的观察力．本题能较深刻地 测试逻辑思维能力．因区域1与其他四个区域都相邻，宜先考 虑．区域1有4种涂法．若区域2，4同色，有3种涂色，此时区域 3，5均有两种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48种；若区域2， 4不同色，先涂区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法．此时区 域3，5也都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24 种．因此涂法共有48＋24＝72种． 【答案】 72
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【剖析】 本题看似排列问题，其实是组合问题． 【正解】 最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中 选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C63种，则剩下三位 同学的位置已定．故共有C63＝20种．
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