河南省长葛市2017届九年级数学寒假作业试题图形的相似

C
B
图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D 、 E 、F 是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ） A ．1:6 B ．1:5 C ．1:4 D ．1:2
2．下列四图中的两个三角形是位似三角形的是（ ）
图① 图② 图③ 图④
A ．图③、图④ B．图②、图③ 、图④ C．图②、图③ D．图①、图② 3．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）
A ．
AB AD = AC AE B ．AB AD = BC
DE C ．∠B =∠D D ．∠C =∠AED 4．若23a b =，则a b b +的值等于（ ）
A ．53
B ．25
C ．5
2
D ．5
5．如图，在 ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DE ：EC=2:3， 则S △DEF :S △ABF =（ ）
A. 2：3
B. 4：9
C. 2：5
D. 4：25
6．如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，E 为AB 上一点，分别以ED ，EC 为折痕将两 个角（∠A，∠B）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处．若AD=4， BC=7， 则EF 的值是（ ）
A ．72
B ．74
C ．62
D ．64
7．如图，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处， 连接DE ．若DE ：AC=3：5，则
AD
AB
的值为
B
A A ．
12 B C ．23
D 8．如图，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米．他继续往前走3米到达点
E 处（即CE ＝3米），测得自己影子E
F 的长为2米．高是1.5 米，那么路灯A 的高度AB 是（ ）
A 4.5米
B 6米
C 7.2米
D 8米
9．如图，点D 在△ABC 的边AB 上，连接CD ，下列条件：（1）B ACD ∠=∠；（2）ACB ADC ∠=∠；（3）AB AD AC ⋅=2；（4）BC AC CD AB ⋅=⋅，其中能判定△ACD∽△ABC 的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现
将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ．设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
11．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是图 _________．
12．如图，在△ABC 中，∠C=900
，D 是AC 上一点，DE⊥AB 于点E ，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD 的长为（ ） A ．3
B
．
4
C ．5
D ．6
13．如图，P 是ABC Rt ∆的斜边BC 上异于C B 、的一点，过P 点作直线截ABC ∆，使截得的三角形与ABC ∆相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
15．如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm 2
，那么较大三角形的面积为 cm 2
． 16．若
5
1
27==b a ，则32b a -= ．
17. 在平面直角坐标系中，ABC △顶点A 的坐标为(23)，，若以原点O 为位似中心，画ABC △的 位似图形A B C '''△，使ABC △与A B C '''△的相似比等于1
2
，则点A '的坐标为 ．
18．如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，，CP:BP=1:2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AO ⋅AP=OB 2
．其中正确的序号是_______________．（把你认为正确的序号都填上）
19．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD=3m ，标杆与旗杆的水平距离BD=15m ，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF=2m ，则旗杆AB 的高度 m ．
20．如图，矩形OABC ，B(9，6)，点A,点C 分别在x 轴，y 轴上. D 为BC 上一点，把⊿OCD 沿OD 对折，C 点落在直线y=2x-6上，则D 点坐标为 .
三、解答题
21．．如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点B ，连结OB ．将OB 绕点O 按顺时针方向旋转90°并延长至A ，使OA ＝2OB ，且点A 的坐标为（4，2）． （1）求过点B 的双曲线的函数关系式；
（2）根据反比例函数的图像，指出当x ＜－1时，y 的取值范围；
（3）连接AB ，在该双曲线上是否存在一点P ，使得S △ABP ＝S △ABO ，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
22. 如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C 【解析】
试题分析：因为DEF △与ABC △位似，所以△DEF ∽△ABC ，又D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，所以OD:OA=1：2，所以DEF △与ABC △的面积比=1:4,故选;C ． 考点：图形的位似． 2．B ． 【解析】
试题分析：位似的三角形的对应的顶点的连线或延长线一定交于一点，因而位似三角形是（2）、（3）和（4）． 故选B ．
考点：位似变换． 3．B 【解析】
试题分析：∵∠1=∠2 ∴∠DAE=∠BAC
∴A ，C ，D 都可判定△ABC ∽△ADE
选项B 中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选B ．
考点: 相似三角形的判定 4．A 【解析】由32=b a 得b a 32=，所以3
5
3/2=+=+b b b b b a 5．D. 【解析】
试题分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF ∽△BAF ，从而DE ：AB=DE ：DC=2：5，所以S △DEF :S △ABF =4：25
试题解析:∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，BA=DC
∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE ，
∴△DEF ∽△BAF ， ∴DE ：AB=DE ：DC=2：5， ∴S △DEF ：S △ABF =4：25，
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质． 6．A ． 【解析】
试题分析：∵分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处，∴EA=EF ，BE=EF ，DF=AD=4，CF=CB=7，∴AB=2EF ，DC=DF+CF=11，作DH ⊥BC 于H ，∵AD ∥BC ，∠B=90°，∴四边形ABHD 为矩形，∴DH=AB=2EF ，HC=BC ﹣BH=BC ﹣AD=7﹣4=3，在Rt △DHC 中，
74，∴EF=
1
2
DH=72．故选A ．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理． 【答案】A 。

【解析】∵矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处， ∴∠BAC=∠EAC ，AE=AB=CD 。

∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ，∴∠DAC=∠BAC ∴∠EAC=∠DAC 。

设AE 与CD 相交于F ，则AF=CF 。

∴AE －AF=CD －CF ，即DF=EF 。

∴DF EF
FC AF
=。

又∵∠AFC=∠EFD ，∴△ACF ∽△EDF ，∴DF DE 3
FC AC 5
==。

∴设DF=3x ，FC=5x ，则AF=5x 。

在Rt △ADF 中，22
AD AF DF 4x =-=
=。

又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x ，∴
AD 4x 1
AB 8x 2
==。

故选A 。

8．B 【解析】
试题分析：如图：
CD BD =
==考点：相似三角形的判定与性质. 9．C 【解析】
试题分析：由图可得△ACD 与△ABC 有一个公共角∠A ，再结合相似三角形的判定方法依次分析即可.
（1）B ACD ∠=∠，（2）ACB ADC ∠=∠，（3）AB AD AC ⋅=2
，均能判定△ACD∽△ABC；
（4）BC AC CD AB ⋅=⋅，不能判定△ACD∽△ABC； 故选C.
考点：相似三角形的判定
点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握. 10．C.
【解析】
试题解析：由翻折的性质得，∠CPD=∠C ′PD ， ∵PE 平分∠BPC 1， ∴∠BPE=∠C ′PE ， ∴∠BPE+∠CPD=90°， ∵∠C=90°， ∴∠CPD+∠PDC=90°， ∴∠BPE=∠PDC ， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△PCD ∽△EBP ，
∴
BE PB
PC CD =， 即
53y x x =-， ∴y=13x （5-x ）=-13（x-52）2+2512
，
∴函数图象为C 选项图象． 故选C ．
考点：1.动点问题的函数图象；2.翻折变换（折叠问题）；3.相似三角形的判定与性质． 11．②． 【解析】
然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．
试题解析：根据勾股定理，=
所以，夹直角的两边的比为
1
2
=， 观各选项，只有②选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 考点：相似三角形的判定． 12．A
【解析】如图，连接OE ，
∵AD 与圆O 相切，DC 与圆O 相切，BC 与圆O 相切， ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°， ∴DA=DE ，CE=CB ，AD ∥BC 。

∴CD=DE+EC=AD+BC 。

结论②正确。

在Rt △ADO 和Rt △EDO 中，OD=OD ，DA=DE ，∴Rt △ADO ≌Rt △EDO （HL ） ∴∠AOD=∠EOD 。

同理Rt △CEO ≌Rt △CBO ，∴∠EOC=∠BOC 。

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC ）=180°，即∠DOC=90°。

结论⑤正确。

∴∠DOC=∠DEO=90°。

又∠EDO=∠ODC ，∴△EDO ∽△ODC 。

∴
OD DE DC OD
=
，即OD 2
=DC•DE。

结论①正确。

而ABCD 11
S AB AD BC AB CD=CD OA 22
=⋅⋅+=⋅⋅⋅梯形（），结论④错误。

由OD 不一定等于OC ，结论③错误。

∴正确的选项有①②⑤。

故选A 。

13．C 【解析】
试题分析：再Rt △ABC 中，先根据勾股定理求得AB 的长，再证得△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质即可求得结果. ∵∠C=900
，AC=8，BC=6 ∴1022=+=
BC AC AB
∵∠C=900，DE ⊥AB ，∠A=∠A ∴△ABC ∽△ADE ∴
DE BC AD AB =，即3
610=AD ，解得5=AD
故选C.
考点：勾股定理，相似三角形的判定和性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.
【答案】C
【解析】过点D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
解：过点P 作AB 的垂线，或作AC 的垂线，或作BC 的垂线共三条直线，
故选C ．
本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．
15．9
【解析】
试题分析：∵两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较小三角形的面积为4cm 2，
那么较大三角形的面积为9cm 2，
故答案为9．
考点：相似三角形的性质．
16．15
【解析】 试题分析：因为
5127==b a ，所以a=75，b=25，所以32b a -=15. 考点：比例的性质
17．∠ ADE =∠ C,或∠ AED=∠ B 或AB AE =AC AD
, 任选一种情况均可
【解析】欲证△ADE ∽△ABC ，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠A=∠A ，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
解：∵∠A=∠A ，
∴当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AC AE =AB
AD 时，△ADE ∽△ABC ． 本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．
18．（1，3/2）或（-1，-3/2）
【解析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC 和△A ′B ′C ′以原点为位似中心，相似比是k ，△ABC 上一点的坐标是（x ，y ），则在△A ′B ′C ′中，它的对应点的坐标是（kx ，ky ）或（-kx ，-ky ）． ∵在△A ′B ′C ′中，它的对应点的坐标是（kx ，ky ）或（-kx ，-ky ）
∴A'的坐标为（1，3/2）或（-1，-3/2）．
19．（-2，0）
【解析】
试题分析：因为点E 的坐标为（﹣1，2），所以点D 的坐标为（0，2），又点B 的坐标为（2，4），所以12
PO OD PA AB ==,所以PO=OA=2，所以点P 的坐标为（-2，0） 考点：图形的位似.
20．①②③
【解析】
试题分析：由条件设，AB=2x ，就可以表示出CP=33x ，BP=3
32x ，用三角函数值可以求出∠EBC 的度数和∠CEP 的度数，就可以求出∠CEP=∠BEP ，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF 、EF 的值，从而可以求出结论．
设，AB=2x ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC ，CD=AB ，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC ∥AB ，
∴，CD=2x ，
∵CP ：BP=1：2，
∴CP=33x ，BP=3
32x ∵E 为DC 的中点，
∴CE=2
1CD=x ，
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∴∠CEB=60°，
∴∠PEB=30°，
∴∠CEP=∠PEB，
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴BE．BF=BP．EF．
∵∠F=BEF，
∴BE=BF，
∴BF2=PB•EF
∴△ABP∽△ECP
则正确的序号是①②③.
考点：矩形的性质，相似三角形的判定及性质，特殊角的正切值，勾股定理，直角三角形的性质
点评：本题综合性强，难度较大，是中考常见题，学生需熟练掌握平面图形的基本性质.
21．13.5．
【解析】
试题分析：利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB=EF=1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出=，把相关条件代入即可求得AH=11.9m，得出AB的长即可．
解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB
∴△CGE∽△AHE
∴=
即：=，
∴=，
解得：AH=11.9
∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m）．
故答案为：13.5．
考点：相似三角形的应用．
22．(3,6)
【解析】过点P作OA于N，交BC于M，设P（x，2x-6），
Rt△OPN中，ON2+PN2=OP2，
即x2+（2x-6）2=36，
解得：x1=0，x2=24/ 5 ，
∴ON=24/5 ，
PN=2x-6=18/5 ，
∴PM=6-PN=12/5 ，
易证△DPM∽△PON，
∴DM/PN =PM/ON ，
∴DM=9/5 ，
∴CD=CM-DM=ON-DM=24/5 -9/5 =3，
∴D（3，6）．
23．①、②、④.
【解析】
试题分析：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD；故①正确，
②AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=4
5
，∴BC=2ABcosB=2×10×
4
5
=16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC，
在△ABD 与△DCE 中，∠BAD ＝∠CDE ∠B ＝∠C AB ＝DC ∴△ABD ≌△DCE （ASA ）． 故②正确， ③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC=∠AED ，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD ⊥BC ，
∵AB=AC ，∴BD=CD ，∴∠ADE=∠B=α且cos α=45
，AB=10，BD=8． 当∠CDE=90°时，易△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cos α=
45．AB=10， ∴cosB=AB BD =45 ∴BD=252
． 故③错误． ④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，设BD=y ，CE=x ，∴AB BD DC CE = ∴1016y y x =- 整理得：2y -16y+64=64-10x ， 即2(8)y -=64-10x ， ∴0＜x ≤6.4． 故④正确．
考点：（1）、三角形全等；（2）、三角形相似.
24．（1）相等，理由见试题解析；（2）y x =（01x ≤≤）；（3）AE=
12
． 【解析】
试题分析：由SAS 定理可判断△BEA ≌△BGC ，∴AE=CG ，可得（1）（2）问的结论；由△BCG ∽△EDH 和△BEA ≌△BGC 所得结论进行等量代换，最后三角形相似的判定定理进行证明．
试题解析：（1）∵BG=EB ，BC=AB ，∠CBA=∠EBG ，∴∠EBA=∠GBC （同角的余角相等），
∴△BEA ≌△BGC ，∴AE=CG ；
（2）由（1）知AE=CG ，∴y=x （0≤x≤1）；
（3）∵△BEA ≌△BGC ，∴∠A=∠BCG=90°，∴∠D=∠BCG=90°，
∵∠FEB=90°，∴∠DEH+∠EAB=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠EBA ，∴∠DEH=∠GBC ，∵∠D=∠BCG ，∴△BCG ∽△EDH ，又∵△BEA ≌△BGC ，∴△BAE ∽△EDH ，∴△BCG ∽△EDH ，∴EH ：EB=DE ：AB ，∴当E 为DA 中点时，EH ：EB=EA ：AB 且∠HEB=∠A ，即当E 为DA 中点时△BEH ∽△BAE ．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质．
25．（1）双曲线的函数关系式为y=﹣
x 2； （2）当x ＜﹣1时，0＜y ＜2；
（3）存在；点P 坐标为（﹣
21，4）． 【解析】
试题分析：（1）作AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ，由相似三角形的判定定理得出△AOM ∽△OBN ，OA=2OB ，再根据OA=2OB ，点A 的坐标为（4，2）可得出B 点坐标，进而得出反比例函数的关系式；
（2）由函数图象可直接得出结论；
（3）根据AB 两点的坐标可知AB ∥x 轴，S △ABP =S △ABO =5，再分当点P 在AB 的下方与当点P 在x 轴上方两种情况即可得出结论．
试题解析：（1）作AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ，
∵OB ⊥OA ，∠AMO=∠BNO =90°，
∴∠AOM=∠NBO ，
∴△AOM ∽△OBN ．
∵OA=2OB ， ∴2
1==AM ON OM BN ， ∵点A 的坐标为（4，2），
∴BN=2，ON=1，
∴B （﹣1，2）．
∴双曲线的函数关系式为y=﹣x
2； （2）由函数图象可知，当x ＜﹣1时，0＜y ＜2；
（3）存在．
∵y A =y B ，
∴AB ∥x 轴，
∴S △ABP =S △ABO =5，
∴当点P 在AB 的下方时，点P 恰好在x 轴上，不合题意舍去；
当点P 在x 轴上方时，点P 在第二象限，得21AB •（y P ﹣2）=5，即2
1×5×（y P ﹣2）=5，解得y P =4，
∴点P 坐标为（﹣2
1，4）．
考点：1、相似三角形的判定与性质；2、待定系数法；3、函数大小的比较；4、反比例函数
26．（1）见解析；（2）结论∠ABC=∠ACN 仍成立；理由见解析；（3）∠ABC=∠ACN ．
【解析】
试题分析：（1）利用SAS 可证明△BAM ≌△CAN ，继而得出结论；
（2）也可以通过证明△BAM ≌△CAN ，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN ，从而判定△ABC ∽△AMN ，得到=，根据∠BAM=∠BAC ﹣∠MAC ，∠CAN=∠MAN ﹣∠MAC ，得到∠BAM=∠CAN ，从而判定△BAM ∽△CAN ，得出结论．
（1）证明：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，
∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN ，
∵在△BAM 和△CAN 中，
∴△BAM ≌△CAN （SAS ），
∴∠ABC=∠ACN ．
（2）解：结论∠ABC=∠ACN 仍成立；
理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，
∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN ，
∵在△BAM 和△CAN 中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）解：∠ABC=∠ACN；
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴=，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
27．（1）（x，3
4 x）；
（2）当x=2时，S有最大值，最大值是3
2
；
（3）x的值是2秒或64
41
秒．
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式PN OP ON
AB OA OB
==，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；
（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；
（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；
②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．
试题解析：解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1．25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：=，
作NP⊥OA于P，如图1所示：
则NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
∴PN OP ON AB OA OB
==，
即
1.25 345
PN OP x
==，
解得：OP=x，PN=3
4 x，
∴点N的坐标是（x，3
4 x）；
（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=3
4 x，
∴S=1
2
OM•PN=
1
2
（4﹣x）•
3
4
x=﹣
3
8
2
x +
3
2
x，
∴S与x之间的函数表达式为S=﹣3
8
2
x+
3
2
x（0＜x＜4），
配方得：S=﹣3
8
2
x2（﹣）+
3
2
，
∵﹣3
8
＜0，
∴S有最大值，
当x=2时，S有最大值，最大值是3
2
；
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：
则MN∥AB，
此时OM=4﹣x，ON=1．25x，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴OM ON OA OB
=，
即4 1.25
45
x x -
=，
解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，
此时OM=4﹣x，ON=1．25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，
∴OM ON OB OA
=，
即4 1.25
54
x x -
=，
解得：x=64 41
；
综上所述：x的值是2秒或64
41
秒．
考点：相似形综合题（相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值）
28．解：（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，
∴DC=5，OC=4，OB=3，
∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，∴DC∥BP。

∵PC∥DC，∴四边形DBPC是平行四边形。

∴DC=BP=5。

∴OP=5﹣3=2。

∵2÷1=2，∴当t为2秒时，PC∥BD。

（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，∴∠COP=∠COB=∠BCP=90。

∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°。

∴∠CPO=∠BCO。

∴△PCO∽△CBO。

∴OC OP
BO CO
=，即
4OP
34
=，解得
16
OP
3
=。

∵16
3
÷1=
16
3
，∴当t为
16
3
秒时，PC⊥BC。

（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：
①当⊙P与直线DC相切时，
如图1，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，
则PM=OC=4=OP，
∵4÷1=4，∴t=4秒。

②如图2，当⊙P与BC相切时，
∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，∴由勾股定理得：BC=5。

∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，∴△COB∽△PBM。

∴CO BC
PM BP
=，即
45
R3R
=
+
，解得R=12。

∵12÷1=12，∴t=12秒。

③如图3，当⊙P 与DB 相切时，
根据勾股定理得：BD ，
∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM
∴△ADB ∽△MPB 。

∴AD DB PM BP
=，即4R =，解得R 12=。

∵（12）÷1=12，∴t 12秒。

综上所述，当⊙P 与△BCD 的边（或边所在的直线）相切时，t=4秒或12秒或t=12秒。

【解析】（1）过D 点分别作DA 、DC 垂直于x 轴，y 轴，垂足分别为A 、C 两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC 是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可。

（2）证△PCO ∽△CBO ，得出4OP 34=，求出16OP 3
=即可。

（3）设⊙P 的半径是R ，分为①当⊙P 与直线DC 相切时，②当⊙P 与BC 相切时，③当⊙P 与DB 相切时三种情况讨论即可。