2021高一数学寒假作业同步练习题函数的基本性质含解析20210222166

函数的基本性质
1．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与2
(22)f a a ++的大小
关系是（ ）
A ． 2
(1)(22)f f a a ->++ B ．2
(1)(22)f f a a -<++ C ．2(1)(22)f f a a -≥++ D ． 2
(1)(22)f f a a -≤++
【答案】C
【解析】因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，
又22
22(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，
所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2
(22)(1)f a a f ++≤-.故选：C
2．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x ⎧-≤⎪
=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值X 围为（ ）
A ．115,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．4,215⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．41,152⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ D ．152,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【解析】易知函数1
32y a x
=
-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减， 则函数2
2y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥，
当2x =时，2244x ax a -=-，
11
3324
a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减， 还必须14434a a -≥-，即15
4a ≤，所以1524
a ≤≤.故选：D ．
3．已知函数2()1
x
f x x =+，则下列结论正确的是（ ）
①()f x 为奇函数；②()f x 为偶函数；③()f x 在区间[]1,1-上单调递增；④()f x 的值域为11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
.
A ．①③④
B ．②④
C ．①③
D ．②③④
【答案】A
【解析】易知()f x 定义域为R ，且()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，故①正确②错误；
任取1x ，2x R ∈，且12x x <，则()()()()()()
121221
212222
211211111
x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， ∵12x x <∴120x x -<.显然当1x ，()20,1x ∈时1210x x -<.21()()0f x f x ->，
则()f x 在()0,1上单调递增.同理可得()f x 在(1,)+∞上单调递减，结合()f x 为奇函数且定义域为R ，可得()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递减；在(1,1)-上单调递增，故③正确； 又0x >时，2()01x f x x =
>+，0x <时，()0f x <，所以min
1()(1)2
f x f =-=-，max 1()(1)2f x f ==，所以()f x 的值域为11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦，故④正确.故选：A 4．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且0x >时，2
()1f x x =+，则()()10f f -+=（ ）
A ．1
B ．0
C ．-2
D ．2
【答案】C
【解析】因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数， 所以(
)
2
(0)0,(1)(1)112f f f =-=-=-+=-， 所以(1)(0)2f f -+=-.故选：C.
5．已知偶函数()y f x =的定义域为R ．且在(,0)-∞上为增函数，比较3
()4
m f =-与(
)
2
1n f a a =-+ 的
大小（ ） A ．m n = B ．m n ≤
C ．m n <
D ．m n ≥
【答案】D
【解析】因为偶函数()y f x =的定义域为R ．且在(,0)-∞上为增函数，
所以()y f x =在(0,)+∞为减函数，且33()()44
m f f =-=，
又因为2
2133
1()244a a a -+=-+
≥，根据()y f x =在(0,)+∞为减函数，
所以()2
31()4
f a a f -+≤，即m n ≤，故选：D
6．下列函数中，既是奇函数又是定义域内减函数的是（ ） A ．3
()f x x x =--
B ．()1f x x =-
C ．3
()f x x
=-
D ．2
()1x x f x x
-=
- 【答案】A
【解析】对于A 选项，函数的定义域为R ， ()()3
f x x x f x -=+=-，故函数是奇函数，且函数
3,y x y x =-=-均为定义域内的减函数，故函数3()f x x x =--在定义域内是减函数，故A 正确；
对于B 选项，函数定义域为R ，()()1f x x f x -=+≠-，故函数不是奇函数，故B 选项错误； 对于C 选项，函数定义域为{}
0x x ≠，()()3
f x f x x
-=
=-，故函数是奇函数，但函数在,0和
0,
上单调递增，在定义域内不具有单调性，故C 选项错误；
对于D 选项，函数的定义域为{}
1x x ≠，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性，故D 选项错误.故选：A.
7．若函数()()21225,012,1b
b x f x x x b x x -⎧-+<<⎪
=⎨⎪+-≥⎩
对于任意的实数12x x ≠，都有()()()12120
x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数b 的取值X 围为（ ）
A ．1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．[)4,+∞
C ．[]1,4
D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】对任意的正实数1x 、2x ，当12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 不妨设12x x >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，
所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，
则()()
120212122512b b b b b -<⎧⎪-⎪
≤⎨⎪--+≤+-⎪⎩，解得14b ≤≤. 因此，实数b 的取值X 围是[]1,4.故选：C. 8．已知函数1()ln 1x
f x x x
+=+-，若()(1)0f a f a ++>，则实数a 的取值X 围是___________. 【答案】1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】由101x
x
+>-，解得:11x -<<， 又
11()ln
ln ()11x x f x x x f x x x -+⎛
⎫-=-+=-+=- ⎪+-⎝⎭
，∴()f x 为奇函数， 且1(1)22()ln
ln ln 1111x x f x x x x x x x +--+⎛⎫=+=+=+-+ ⎪---⎝
⎭为()1,1-上的增函数， ()(1)0f a f a ++>，即(1)()()f a f a f a +>-=-，∴1a a +>-，
解得：1
2
a >
，又()f x 的定义域为()1,1-，1211111a a a ⎧
>⎪⎪
∴-<<⎨⎪-<+<⎪⎩，
解得：10a -<<，∴1
02
a -
<<， 即实数a 的取值X 围是1,02⎛⎫-
⎪⎝⎭.故答案为：1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
9．已知函数121
()22
x x f x --=+，某同学利用计算器，算得()f x 的部分x 与()f x 的值如下表：
x
4- 3-
2- 1-
1 2 3 4
()
f x 0.4697-0.4412-0.3889-0.30
-0.1667-00.16670.300.3889
请你通过观察，研究后，写出关于()f x 的正确的一个性质______.（不包括定义域） 【答案】关于点()1,0对称
【解析】由表格中的数据可得()()020f f +=，()()130f f -+=()()240f f -+=， 可得出()()20f x f x +-=，所以，函数()f x 的图象关于点()1,0对称. 故答案为：关于点()1,0对称.
10．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2
2f x g x x x -=++，则
()()11f g +=______.
【答案】2
【解析】令1x =-可得()()111122f g ---=-+=，由()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数可得()()11f f -=，()()11g g -=-，则()()112f g +=. 故答案为：2.
11．已知函数(),y f x x R =∈，下列说法不正确的是（ ）
A ．若对于x R ∀∈，都有()()0f a x f b x --+=（,a b 为常数），则()f x 的图象关于直线2
a b
x +=对称 B ．若对于x R ∀∈，都有()()0f a x f b x -++=（,a b 为常数），则()f x 的图象关于点(,0)2
a b
+对称 C ．若对于,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 是奇函数
D ．若对于,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=⋅，且()0f x ≠，则()f x 是奇函数 【答案】D
【解析】A. 对于x R ∀∈，都有()()()()0f a x f b x f a x f b x --+=⇔-=+（,a b 为常数），
则函数()f x 的图象关于()()2
2
a x
b x a b x -+++=
=对称；
B. 若对于x R ∀∈，都有()()()()0f a x f b x f a x f b x -++=⇔-=-+（,a b 为常数）， 则函数()f x 的图象关于,02a b +⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，故B 正确； C.令0x y ==，则()00f =，再令y x =-，则()()()00f x f x f +-==，即()()f x f x -=-， 则()f x 是奇函数，故C 正确； D. 令0x y ==，则()()()2
0000f f
f =⇒=或()01f =，因为()0f x ≠,所以()01f =，
根据奇函数的性质可知，若函数在0x =处有定义，则()00f =，而()01f =， 所以不是奇函数，故D 错误.故选：D
12．定义,min(,),a a b a b b a b
≤⎧=⎨>⎩，例如：min(1,2)2--=-，min(2,2)2=，若2
()f x x =，
2()46g x x x =--+，则()min((),())F x f x g x =的最大值为（ ）
A ．1
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C
【解析】由2246x x x <--+得2230x x +-<，31x -<<，
所以()22,31
46,31
x x F x x x x x ⎧-<<=⎨--+≤-≥⎩或，
所以()F x 在(,3)-∞-和(0,1)上都是增函数，在(3,0)-和(1,)+∞上都是减函数，
(3)9F -=，(1)1F =，所以max ()9F x =．故选：C ．
13．已知函数2
2()t
f x x t x
=-+
的最小值是与t 无关的常数，则t 的X 围是_______．
【答案】[1,)+∞
【解析】0t ≤时，2
2
()t f x x t x =-+
，令2
u x =，则0>u ，t y u t u
=+-在(0,)u ∈+∞时是增函数，无最小值．
0t >时，令2u x =，0>u ，,0()(),t u t u t t u
f x
g u u t t u u t u t u
⎧-++<<⎪⎪==-+=⎨
⎪
+-≥⎪⎩， 0u t <<时，()t
g u u t u
=-+
+是减函数，∴()11g u t t >-++=， u t ≥
时，()t g u u t t t u =+-≥=
，当且仅当u =时等号成立，
t ≤即1t ≥时，()g u 在[,)t +∞上递增，min ()()11g u g t t t ==-++=，
∴min ()1g u =
t >，即01t <<
时，min ()g u t =与t 有关，故答案为：[1,)+∞． 14．已知函数()()2
211f x x a x =+-+，若对于区间()2,+∞内的任意两个不等实数1x ，2x ，都有
()()
1212
110f x f x x x --->-，则实数a 的取值X 围是______.
【答案】12
a ≥-
【解析】函数()()2
211f x x a x =+-+，
若对于区间()2,+∞内的任意两个不等实数1x ，2x ，都有
()()
1212
110f x f x x x --->-，
即
()()
()()
12112211,1110,111f x f x x x x x ->->----->-，可得：函数()f x 在区间()1,+∞上是增函数，二次函数的
对称轴为：21
2
a x -=-
，可得：2112a --≤，解得：12a ≥-， 故答案为：1
2
a ≥-.
15．已知定义域为R 的函数12()2x
x b f x a
+-=+是奇函数
（1）求a ，b 的值；
（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．
（3）若对于任意t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的X 围．
【答案】(1)2a =，1b =；
（2）证明见解析；（3）1
3
k <-. 【解析】(1)因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，102即b a -=+，所以1b =，所以112
()2+-=+x
x f x a
， 由(1)(1)=--f f ，得1
112241a a
-
-=-++，解得2a =，
经检验：当2a =,1b =时，函数()f x 为R 上的奇函数，所以2a =,1b =.
(2)由(1)知1
12112122()12221221x x x x x f x +--⎛⎫==⋅=⋅-+ ⎪++⎝⎭，任取12,x x R ∈，且12x x <，则 ()()()()
2112121212121211221122122121212121
x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫
-=⋅--⋅-=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，
因为12x x <，所以21220x x ->，1210x +>，2210x +>，所以12())0(f x f x ->， 所以12()()f x f x >，所以()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．
(3) 因为对于任意t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，所以2
2
(2)(2)f t t f t k -<--，
因为()f x 是奇函数，所以22
(2)(2)f t t f k t -<-，
因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2222t t k t ->-，即232k t t <-恒成立，
而2
2
11
132333
3t t t ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以13k <-.。