初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解33 相似形(解析版)
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初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解
专题33相似形
【知识要点】
考点知识一相似图形及比例线段
相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形.
相似多边形:若两个边数相同的多边形,它们的对应角相等、对应边成比例,则这两个多边形叫做相似多边形。
特征:对应角相等,对应边成比例。
比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如a:b=c:d,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段。
考点知识二相似三角形
相似图形的概念:形状相同的图形叫做相似图形。
相似图形的概念:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”,读作“相似于”。
相似比的概念:相似三角形对应边的比叫做相似比
相似三角形的判定:
判定方法(一):平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法(二):如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
判定方法(三):如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
判定方法(四):如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
判定方法(五):斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的性质:
1.相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;
2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比;
相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比.
3.相似三角形的面积比等于相似比的平方.
相似三角形与实际应用:
关键:巧妙利用相似三角形性质,构建相似三角形求解。
考点知识三位似
位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
注意:
1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。
2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点,位似图形的对应边互相平行或者共线。
位似中心的位置:形内、形外、形上。
画位似图形的步骤:
1.确定位似中心.
2.确定原图形的关键点.
3.确定位似比.
4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比,作出关键点的对应点,再按照原图的顺序连接各点( 对应点都在位似中心同侧,或两侧) .
在直角坐标系中的位似图形坐标关系:在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画一个与原图形的位似图形,使它与原图形的相似比为k,若原图形上点的坐标为(x,y),则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).
平移、轴对称、旋转、位似的区别:
1.平移:和原图形一模一样(和原图形全等且能与原图形重合)
2.轴对称:面积和原图形一样也是全等,和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合,虽然它们全等)
3.旋转:面积和原图形一样,也是全等,和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形,而旋转可以旋转出无数个。
4.位似:位似出的图形只和原图形的角相等边就不一定相等了。
【考点题型】
考点题型一相似图形的概念和性质
典例1.(2020·贵州毕节市·中考真题)已知a2
b5
=,则
a+b
b
的值为()
A.2
5
B.
3
5
C.
2
3
D.7
5
【答案】D
【提示】将
2
5
a
b
=代入
a b
b
+
=
a
b
+1中即可求出结论.
【详解】∵
2
5
a
b
=,∴
a b
b
+
=
a
b
+1=
2
5
+1=
7
5
.故选D.
变式1-1.(2020·甘肃金昌市·中考真题)生活中到处可见黄金分割的美,如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感,若图中b为2米,则a约为()
A .1.24米
B .1.38米
C .1.42米
D .1.62米
【答案】A 【提示】根据a :b ≈0.618,且b =2即可求解.
【详解】由题意可知,a :b ≈0.618,代入b =2,∴a ≈2×0.618=1.236≈1.24.故答案为:A 变式1-2.(2020·辽宁营口市·中考真题)如图,在△ABC 中,DE ∥AB ,且
CD BD =32,则CE CA 的值为( )
A .35
B .23
C .45
D .32
【答案】A
【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.
【详解】
解:∵DE //AB ,∴
32CE CD AE BD == ∴CE CA 的值为35
.故答案为A . 考点题型二平行线分线段成比例定理
典例2.(2020·四川成都市·中考真题)如图,直线123////l l l ,直线AC 和DF 被1l ,2l ,3l 所截,5AB =,6BC =,4EF =,则DE 的长为()
A .2
B .3
C .4
D .103
【答案】D 【提示】根据平行线分线段成比例定理得出比例式,代入已知线段得长度求解即可.
【详解】
解:∵直线l 1∥l 2∥l 3,∴
AB DE BC EF =.∵AB=5,BC=6,EF=4,∴564
DE =.∴DE=103.故选:D .
变式2-1.(2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题)如图,在ABC 中,点D 在BC 上,连接AD ,点E 在AC 上,过点E 作//EF BC ,交AD 于点F ,过点E 作//EG AB ,交BC 于点G ,则下列式子一定正确的是()
A .AE EF EC CD =
B .EG EF AB CD =
C .AF BG F
D GC = D .
CG AF BC AD = 【答案】C
【提示】根据由平行线易得△AEF ∽△ACD ,△CEG ∽△CAB ,再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可.
【详解】
解:∵//EF BC ,
∴△AEF ∽△ACD ,
∴
AE EF AF AC CD AD
==,故选项A 错误; ∴EC CD EF FD AC CD AD -==, ∵//EG AB ,
∴△CEG ∽△CAB , ∴
EG CG EC AB BC AC
==, ∴EG CD EF AB CD -=,故选项B 错误;CG FD BC AD =,故选项D 错误; ∵//EF BC , ∴AF AE FD EC
=, ∵//EG AB , ∴
BG AE CG EC
=, ∴AF BG FD CG =,故选项正确C . 故选:C .
变式2-2.(2019·四川内江市·中考真题)如图,在ABC ∆中,//DE BC ,9AD =,3DB =,2CE =,则AC 的长为( )
A .6
B .7
C .8
D .9
【答案】C 【提示】根据平行线分线段成比例定理,由DE ∥BC 得
AD AE DB EC
=,然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可
【详解】∵//DE BC , ∴AD AE DB EC =,即932
AE =,
∴6AE =,
∴628AC AE EC =+=+=.
故选C .
变式2-3.(2019·内蒙古赤峰市·中考真题)如图,D E 、分别是ABC 边,AB AC 上的点,ADE ACB ∠=∠,若2,6,4AD AB AC ===,则AE 的长是().
A .1
B .2
C .3
D .4
【答案】C 【提示】根据分线段成比例定理,列出比例式求解即可得到答案.
【详解】解:∵,ADE ACB A A ∠=∠∠=∠,
∴ADE ACB ∽, ∴AD AE AC AB =,即246
AE =, 解得,3AE =,
故选C .
考点题型三相似三角形的判定
相似三角形的判定:①有两个对应角相等的三角形相似;②有两个对应边的比相等,且其夹角相等,则两个三角形相似;③三组对应边的比相等,则两个三角形相似,熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键.
典例3.(2019·四川雅安市·中考真题)如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与111A B C ∆相似的是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】B
【提示】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.
【详解】解:因为111A B C ∆中有一个角是135°,选项中,有135°角的三角形只有B ,且满足两边成比例夹角相等,
故选B .
变式3-1.(2020·浙江绍兴市模拟)如图,已知DAB CAE ∠=∠,那么添加下列一个条件后,仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是()
A .A
B A
C A
D A
E = B .AB BC AD DE = C .B D ∠=∠ D .C AED ∠=∠
【答案】B
【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解.
【详解】解:∵∠DAB=∠CAE ,∴∠DAE=∠BAC ,
A 、若
AB AC AD AE
=,且∠DAE=∠BAC ,可判定△ABC ∽△ADE ,故选项A 不符合题意; B 、若AB BC AD DE =,且∠DAE=∠BAC ,无法判定△ABC ∽△ADE ,故选项B 符合题意; C 、若∠B=∠D ,且∠DAE=∠BAC ,可判定△ABC ∽△ADE ,故选项C 不符合题意;D 、若∠C=∠AED ,且∠DAE=∠BAC ,可判定△ABC ∽△ADE ,故选项D 不符合题意;故
选:B.
变式3-2.(2020·浙江台州市模拟)如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠D,要使△ABC 与△ADE相似,还需满足下列条件中的()
A.AC AB
AD AE
=B.
AC BC
AD DE
=C.
AC AB
AD DE
=D.
AC BC
AD AE
=
【答案】C
【提示】本题中已知∠BAC=∠D,则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似,结合各选项即可得问题答案.
【详解】解:∵∠BAC=∠D,AC AB AD DE
=
∴△ABC∽△ADE.
故选C.
变式3-3.(2020·浙江杭州市模拟)如图.在△ABC中,DE∥BC,∠B=∠ACD,则图中相似三角形有()
A.2对B.3对C.4对D.5对
【答案】C
【提示】根据相似三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】∵∠B=∠ACD,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴△ACD∽△ADE,
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠DCB,
∵∠B=∠DCE,
∴△CDE∽△BCD,
故共4对,
故选:C.
考点题型四相似三角形的性质
典例4.(2020·云南昆明市·中考真题)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,△ABC是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个),这样的格点三角形一共有()
A.4个B.5个C.6个D.7个
【答案】C
【提示】根据题意,得出ABC的三边之比,并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形,并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来.
【详解】解:ABC的三边之比为AB:AC:
如图所示,可能出现的相似三角形共有以下六种情况:
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个,
故选:C.
变式4-1.(2020·黑龙江大庆市·中考真题)已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m
+的值为()
和6,8,n,且这两个直角三角形不.相似,则m n
A.
10+5+B.15
C.10+D.15+
【答案】A
【提示】
判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边,再根据勾股定理计算出m、n的值,最后根据题目中两个三角形不相似,对应边的比值不同进行判断.
【详解】
解:在第一个直接三角形中,若m是直角边,则m==
若m是斜边,则5
m==;
在第二个直接三角形中,若n是直角边,则n===
若n是斜边,则10
n==;
又因为两个直角三角形不相似,故m=5和n=10不能同时取,
即当m=5,n=5
+=+,
m n
当m =n =10,10m n +=,
故选:A .
变式4-2(2020·四川内江市·中考真题)如图,在ABC ∆中,D 、E 分别是AB 和AC 的中点,15BCED S =四边形,则ABC S ∆=( )
A .30
B .25
C .22.5
D .20
【答案】D
【提示】 首先判断出△ADE ∽△ABC ,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积.
【详解】
解:根据题意,点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点,则DE ∥BC 且DE=12
BC ,故可以判断出△ADE ∽△ABC ,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可知ADE S ∆:ABC S ∆=1:4,则BCED S 四边形:ABC S ∆=3:4,题中已知15BCED S =四边形,故可得ADE S ∆=5,ABC S ∆=20 故本题选择D
变式4-3.(2020·贵州遵义市·中考真题)如图,△ABO 的顶点A 在函数y =k x
(x >0)的图象上,∠ABO =90°,过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q .若
四边形MNQP 的面积为3,则k 的值为( )
A .9
B .12
C .15
D .18
【答案】D 【提示】由,////AN NM OM NQ PM OB ==得到相似三角形,利用相似三角形的性质得到三角形之间的面积关系,利用反比例函数系数的几何意义可得答案.
【详解】
解:,////,AN NM OM NQ PM OB ==
,,ANQ AMP AMP AOB ∴∽∽
2
1,4ANQ
AMP S AN S AM ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 四边形MNQP 的面积为3,
1,34ANQ
ANQ S S ∆∆∴=+ 1,ANQ S ∆∴=
4,AMP S ∆∴=
,AMP AOB ∽
2
4,9
AMP AOB S AM S AO ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 9,AOB S ∆∴=
218.AOB k S ∆∴==
故选D .
变式4-4.(2020·贵州铜仁市·中考真题)已知△FHB ∽△EAD ,它们的周长分别为30和15,且FH =6,则EA 的长为( )
A .3
B .2
C .4
D .5 【答案】A
【提示】根据相似三角形的周长比等于相似比解答.
【详解】解:∵△FHB 和△EAD 的周长分别为30和15,
∴△FHB 和△EAD 的周长比为2:1,
∵△FHB ∽△EAD , ∴
2FH EA
=, 即6EA =2, 解得,EA =3,
故选:A .
变式4-5.(2020·新疆中考真题)如图,在△ABC 中,∠A=90°,D 是AB 的中点,过点D 作BC 的平行线,交AC 于点E ,作BC 的垂线交BC 于点F ,若AB=CE ,且△DFE 的面积为1,则BC 的长为()
A .
B .5
C .
D .10
【答案】A 【提示】利用D 为AB 的中点,DE//BC ,证明DE 是中位线,求得ADE ∆的面积,利用相似三角形的性质求解ABC ∆的面积,由勾股定理可得答案.
【详解】解://,DE BC D 是AB 的中点,
DE ∴是ABC ∆的中位线,
1,,,ADE DEF S S ADE ABC AE CE ∆∆∴==∆∆=∽
21(),4
ADE ABC S AD S AB ∆∆∴== 4,ABC S ∆∴=
,AB CE =
2,AC AB ∴=
90,A ∠=︒
14,2
AB AC ∴•= 124,2
AB AB ∴•= 0,AB >
2,4,AB AC ∴==
BC ∴=
故选A .
考点题型五利用相似三角形解决实际问题
【河宽问题】
典例5.如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A ,在近岸取点B ,C ,D ,使得AB ⊥BC ,CD ⊥BC ,点E 在BC 上,并且点A ,E ,D 在同一条直线上.若测得BE=20m ,EC=10m ,CD=20m ,则河的宽度AB 等于()
A.60m B.40m C.30m D.20m 【答案】B
【解析】
∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴AB∥DC.∴△EAB∽△EDC.∴CE CD BE AB
=.
又∵BE=20m,EC=10m,CD=20m,∴1020
20AB
=,解得:AB=40(m).故选B.
变式5-1.如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A、B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12m,由此他就知道了A、B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是()
A.AB=24m B.MN∥AB
C.△CMN∽△CAB D.CM:MA=1:2
【答案】D
【提示】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB,MN=1
2 AB,
再根据相似三角形的判定解答.【详解】
∵M、N分别是AC,BC的中点
∴MN ∥AB ,MN=12
AB , ∴AB=2MN=2×12=24m
△CMN ∽△CAB
∵M 是AC 的中点
∴CM=MA
∴CM :MA=1:1
故描述错误的是D 选项.
故选D .
变式5-2.为测量某河的宽度,小军在河对岸选定一个目标点A ,再在他所在的这一侧选点B ,C ,D ,使得AB ⊥BC ,CD ⊥BC ,然后找出AD 与BC 的交点E ,如图所示.若测得BE =90 m ,EC =45 m ,CD =60 m ,则这条河的宽AB 等于( )
A .120 m
B .67.5 m
C .40 m
D .30 m
【答案】A
【解析】 ∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,
∴△ABE ∽△DCE, ∴AB BE CD CE
=. ∵BE =90m ,EC =45m ,CD =60m , ∴()906012045
AB m ⨯==
故选A.
【物高问题】
典例6.(2018·黑龙江哈尔滨市·中考模拟)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是( )
A.6米B.8米C.18米D.24米
【答案】B
【提示】
由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD,结合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP,
接下来,由相似三角形的三边对应成比例可得AB CD
BP DP
=,至此,本题不难求解.
【详解】
解:由镜面反射原理知∠APB=∠CPD. ∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP,∠APB=∠CPD,∴△ABP∽△CDP,
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米,BP=1.8米,DP=12米,AB CD BP DP
=,
∴CD= 1.212
1.8
⨯
=8(米).
故该古城墙的高度是8米.
故选B.
变式6-1.(2018·河北保定市·中考模拟)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DF=50cm,EF=30cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=20m,则树高AB为()
A.12m B.13.5m C.15m D.16.5m
【答案】D
【提示】
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB.
【详解】
∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D,
∴△DEF∽△DCB,
∴BC DC EF DE
=,
∵DF=50cm=0.5m,EF=30cm=0.3m,AC=1.5m,CD=20m,∴由勾股定理求得DE=40cm,
∴
20 0.30.4 BC
=,
∴BC=15米,
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5(米).
故答案为16.5m.
变式6-2.如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下,树高是()
A.3.25m B.4.25m C.4.45m D.4.75m
【答案】C
【解析】
试题提示:此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影长的比值是相同的.所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值是相同的,利用这个结论可以求出树高.试题解析:如图,设BD是BC在地面的影子,树高为x,
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,得:
1
0.8 CB
BD
而:CB=1.2 ∴BD=0.96
∴树在地面的实际影长为:0.96+2.6=3.56.
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,得:
1 3.560.8 x
∴x=4.45
∴树高是4.45m.
故选C.
变式6-3(2020·北京西城区·九年级一模)如图,在数学实践活动课上,小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度,阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m,在同一时刻测量树的影长时,他发现树的影子有一部分落在地面上,还有一部分落在墙面上,他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m,落在墙面上的影长CD为1.0m,则这棵树的高度是()
A.6.0m B.5.0m C.4.0m D.3.0m
【答案】C
【提示】
根据在同一时刻物高和影长比值相同,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可.
【详解】
解:延长AC交BD延长线于点E,
根据物高与影长成正比得:
1
09
CD
DE.
=,∵CD=1,
∴
11
09 DE.
=
解得:DE=0.9,则BE=2.7+0.9=3.6米,∵AB∥CD,
∴△ABE∽△CDE,∴AB BE
CD DE
=,即
36
109
AB.
.
=,解得:AB=4,即树AB的高度为4米,
故选:C.
【路灯下影长变化】
典例7.(2019·深圳市模拟)如图,路灯距地面8m,身高1.6m的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时,人影长度()
A.变长3.5m B.变长2.5m C.变短3.5m D.变短2.5m
【答案】C
【提示】
小明在不同的位置时,均可构成两个相似三角形,可利用相似比求人影长度的变化.【详解】
解:设小明在A处时影长为x,AO长为a,在B处时影长为y.
∵AC∥OP,BD∥OP,
∴△ACM∽△OPM,△BDN∽△OPN,
∴AC MA
OP MO
,
BD BN
OP ON
,
则
1.6
8
x
x a
,
1.6
148
y
y a
∴x=1
4
a,y=
1
4
a-3.5,
∴x−y=3.5,
故变短了3.5米.
故选:C.
变式7-1.(2020·内蒙古包头市模拟)如图,小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时,测得自身影子CD的长为1米,他继续往前走3米到达E处(即CE=3米),测得自己影子EF的长为2米,已知小明的身高为1.5米,那么路灯A的高度AB是()
A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米
【答案】B
【提示】
由MC∥AB可判断△DCM∽△DAB,根据相似三角形的性质得AD
EF
1.51
1
AB BC
=
+
,同理
可得1.52
32
AB BC
=
++
,然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长.
【详解】
由题意知:MC∥AB,∴△DCM∽△DAB,
∴DC
DB
=
MC
AB
,即
1.5
AB
=
1
1
BC+
,
∵NE∥AB,∴△FNE∽△F AB,
∴NE
AB
=
EF
BF
,即
1.5
AB
=
2
32
BC++
,
∴
1
1
BC+
=
2
32
BC++
,解得:BC=3,
∴1.5
AB
=
1
13
+
,解得:AB=6,
即路灯A的高度AB为6米,
故选B.
变式7-2.如图,一人站在两等高的路灯之间走动,GB为人AB在路灯EF照射下的影子,BH为人AB在路灯CD照射下的影子.当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是()
A.先变长后变短B.先变短后变长
C.不变D.先变短后变长再变短
【答案】C
【提示】
连接DF,由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH,可得DF AD
GH AH
=.又AB∥CD,
得出AB AH CD DH =,设AB AH CD DH ==a,DF=b (a,b 为常数),可得出11DH AD AH AD AH a AH AH
+===+,从而可以得出
AD AH ,结合DF AD GH AH =可将DH 用含a,b 的式子表示出来,最后得出结果. 【详解】
解:连接DF ,已知CD=EF ,CD ⊥EG,EF ⊥EG,
∴四边形CDFE 为矩形.
∴DF ∥GH, ∴.DF AD GH AH
= 又AB ∥CD ,∴
AB AH CD DH =. 设AB AH CD DH
==a ,DF=b, ∴11DH AD AH AD AH a AH AH
+===+, ∴
11,AD AH a =- ∴11,DF AD GH AH a
==- ∴GH=11a DF ab a a =--, ∵a,b 的长是定值不变,
∴当人从点C 走向点E 时两段影子之和GH 不变.
故选:C.
典例8.(2019·安徽模拟)如图,放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中的图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高度为( )
A.6cm B.12cm C.18cm D.24cm
【答案】C
【解析】
设屏幕上图形的高度xcm,为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得206
60x
,解得
x=18cm,即屏幕上图形的高度18cm,故选C.
变式8-1.
(2020·河北邢台市模拟)如图,△ABC是一块锐角三角形材料,高线AH长8 cm,底边BC长10 cm,要把它加工成一个矩形零件,使矩形DEFG的一边EF在BC上,其余两个顶点D,G分别在AB,AC上,则四边形DEFG的最大面积为( )
A.40 cm2B.20 cm2
C.25 cm2D.10 cm2
【答案】B
【提示】
设矩形DEFG的宽DE=x,根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG,再根据矩形的面积列式整理,然后根据二次函数的最值问题解答即可.
【详解】
如图所示:
设矩形DEFG的宽DE=x,则AM=AH-HM=8-x,∵矩形的对边
DG∥EF,∴△ADG∽△ABC,
∴AM DG AH BC
=,
即8
810
x DG
-
=,
解得DG=5
4
(8-x),四边形DEFG的面积=
5
4
(8-x)x=-
5
4
(x2-8x+16)+20=-
5
4
(x-4)2+20,所以,当x=4,即DE=4时,四边形DEFG最大面积为20cm2.故选B.变式8-2.(2019·重庆沙坪坝区二模)《九章算术》记载“今有邑方不知大小,各中开门.出北门三十步有木,出西门七百五十步见木.问邑方有几何?”意思是:如图,点M、点N 分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点,ME⊥AD,NF⊥AB,EF过点A,且ME=30步,NF=750步,则正方形的边长为()
A.150步B.200步C.250步D.300步
【答案】D
根据题意,可知Rt△AEM∽Rt△FAN,从而可以得到对应边的比相等,从而可以求得正方形的边长.
【详解】
解:设正方形的边长为x步,
∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点,
∴AM=1
2
AD,AN=
1
2
AB,
∴AM=AN,
由题意可得,Rt△AEM∽Rt△FAN,
∴ME AM AN FN
,
即AM2=30×750=22500,
解得:AM=150,
∴AD=2AM=300步;
故选:D.
变式8-3(2020·福建省模拟)我国古代数学《九章算术》中,有个“井深几何”问题:今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸(1尺=10寸),问井深几何?其意思如图所示,则井深BD的长为()
A.12尺B.56尺5寸C.57尺5寸D.62尺5寸
【提示】
根据平行证△ABC∽△ADE,再根据相似三角形的性质即可求AD的长,最后减去AB的长即可得到井深.
【详解】
∵BC∥DE,
∴△ABC∽△ADE,
∴AB:AD=BC:DE,
即5:AD=0.4:5,
解得AD=62.5,
BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺.
故选C.
变式8-4.(2020·山东济南市模拟)如图所示,某同学拿着一把有刻度的尺子,站在距电线杆30m的位置,把手臂向前伸直,将尺子竖直,看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm,已知臂长60cm,则电线杆的高度为()
A.2.4m B.24m C.0.6m D.6m
【答案】D
【解析】
试题解析:作AN⊥EF于N,交BC于M,
∵BC ∥EF ,∴AM ⊥BC 于M ,∴△ABC ∽△AEF ,∴BC AM EF AN =,∵AM=0.6,AN=30,BC=0.12,∴EF=•0.12300.6
BC AN AM ⨯==6m .故选D . 考点题型六位似图形的概念与性质
典例9.(2020·河北中考真题)在如图所示的网格中,以点O 为位似中心,四边形ABCD 的位似图形是()
A .四边形NPMQ
B .四边形NPMR
C .四边形NHMQ
D .四边形NHMR
【答案】A
【提示】 以O 为位似中心,作四边形ABCD 的位似图形,根据图像可判断出答案.
【详解】
解:如图所示,四边形ABCD 的位似图形是四边形NPMQ .
故选:A
变式9-1.(2020·重庆中考真题)如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别是A,(1,1)
(1,2)
C,以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF,使DEF与ABC B,(3,1)
成位似图形,且相似比为2:1,则线段DF的长度为()
A B.2 C.4 D.
【答案】D
【提示】
把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标,然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长.
【详解】
解:∵以原点为位似中心,在原点的同侧画△DEF,使△DEF与△ABC成位似图形,且
相似比为2:1,
而A(1,2),C(3,1),
∴D(2,4),F(6,2),
∴DF=
故选:D.
变式9-2.(2020·重庆中考真题)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心.已知OA∶OD=1∶2,则△ABC与△DEF的面积比为()
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5
【答案】C
【提示】
根据位似图形的性质即可得出答案.
【详解】
由位似变换的性质可知,//,//
AB DE AC DF
∴
1
2 OA OB OD OE
==
1
2 AC OA
DF OD
∴==
∴△ABC与△DEF的相似比为:1∶2
∴△ABC与△DEF的面积比为:1∶4
故选C.
变式9-3.(2020·河北邯郸市模拟)图中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是()
A.点P B.点D
C.点M D.点N
【答案】A
【解析】
试题提示:根据位似变换的定义:对应点的连线交于一点,交点就是位似中心.即位似中心一定在对应点的连线上.
解:∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上,点M、N为对应点,所以位似中心在M、N所在的直线上,
因为点P在直线MN上,
所以点P为位似中心.
故选A.
考点题型七平面直角坐标系与位似图形
典例10.(2020·浙江嘉兴市·中考真题)如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,
0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的位似比为1 3
的位似图形△OCD,则点C坐标()
A.(﹣1,﹣1)B.(﹣4
3
,﹣1)C.(﹣1,﹣
4
3
)D.(﹣2,﹣1)
【答案】B 【提示】
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系,把A点的横纵坐标都乘以
1
3
-即可.
【详解】
解:∵以点O为位似中心,位似比为1
3
,
而A(4,3),
∴A点的对应点C的坐标为(
4
3
-,﹣1).
故选:B.
变式10-1.(2020·浙江绍兴市·中考真题)如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2:5,且三角板的一边长为8cm.则投影三角板的对应边长为()
A.20cm B.10cm C.8cm D.3.2cm
【答案】A
【提示】
根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.
【详解】
解:设投影三角尺的对应边长为xcm,
∵三角尺与投影三角尺相似,
∴8:x=2:5,
解得x=20.
故选:A.
变式10-2.(2019·湖南邵阳市·中考真题)如图,以点O为位似中心,把ABC放大为原图形的2倍得到A'B'C',以下说法中错误的是()
∽B.点C、点O、点C′三点在同一直线上A.ABC A'B'C'
=D.AB A'B'
C.AO:AA'1:2
【答案】C
【提示】
直接利用位似图形的性质进而分别提示得出答案.
【详解】
∵以点O为位似中心,把ABC放大为原图形的2倍得到A'B'C',
∽,点C、点O、点C′三点在同一直线上,AB A'B',
∴ABC A'B'C'
AO:AA'1:3
=,
∴C选项错误,符合题意.
故选C.。