重庆市第八中学高2023届高三(下)全真模拟考试数学参考答案

重庆八中高2023届高三（下）全真模拟考试
数学试题答案
一、选择题：CACD
BDBC
1.C 【详解】：{}|12(0,2]B x x A B =-≤≤∴= ，故选：C .
2.A 【详解】
：21(2i)(1i)(2i)3i z z =+=-+=-，所以，2223(1)10z =+-A .3.C 【详解】：根据题意，()2
85,N ξσ ，且(83870.3P ξ<<=，
则()83850.15P ξ<<=，又由()78830.12P ξ<<=，故()780.50.150.120.23P ξ<=--=，故选：C .
4．D 【详解】：如图所示，AP 为比萨斜塔的中轴线，44AOD ∠=︒，4BAP ∠=︒，则40PAC ∠=︒，即中轴线与赤道所在平面所成的角为40︒．故选：D
．
5.B 【详解】：
的展开式只有第3项的二项式系数2
n C 最大，4n ∴=
，
的第1r +项为()
414
12r
r
r r T C
x x -+⎛=- ⎝
，
，∴
令，解
得：1r =
，
，即：展开式中5
2x 项的系数为32.-故选：B ．
6.D 【详解】：3log 3623236
(0)(log 36)2log 232179
f f -+=++=++=，故选：D ．7.B 【详解】如图建立平面直角坐标系，
则()()33130,0,2,0,,,2222A B C D ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
∴()13132,0,,2222AB AD BC ⎛⎛===- ⎝⎭⎝⎭
，
设(),01BP BC λλ=≤≤ ，1322BP BC λλ=⎛=- ⎝⎭ ，∴13222AP AB BP λ⎛⎫
- ⎪ ⎪=⎝⎭
+= ，
又(
)112,0222x AP xAB y x y y y AD ⎛⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭
，∴1
1222
2x y y
λ⎧-+⎪=⎪，解得112,y x λλ=-=，∴2
2222255211244144555x y λλλλλ⎛⎫++=-+=-+≥ ⎪⎝⎛⎫
=- ⎝⎭⎪⎭
，
即22
x y +的最小值为45.故选：B.
8.C 【详解】：2
y x = ，cos y x =均为偶函数，故函数()f x 为偶函数，
()2sin f x x x '=-+，()2cos f x x ''=-+，
cos [1x ∈- ，1]，()0f x ∴''<，又(0)0f '= ，∴()0f x '<在(0，)+∞恒成立，
故在(0,)+∞函数()f x 递减，函数在(,0)-∞递增.
(1)(1(0,2))11f x f x x ->-⇔-<∈⇔，故选：C ．
二、多项选择题：AC
ABD
ABD
BC
10.ABD 【详解】因为函数1
()sin 2135i f x x i ==
=++-∑
，定义域为R ，
对于A ，()()()
sin 3π3sin 5π5(π)sin π35x x f x x +++=+++
sin 3sin 5sin 35x x
x =---()()()()sin 3sin 5sin 35
x x x f x --=-++=-，
所以函数()f x 的图象关于直线π
2
x =对称，故A 正确；对于B ，()()
()
()sin 3sin 5sin 3sin 5()sin sin 35
35
x x x x
f x x x f x ---=-+
+
=--
-=-
，所以函数()f x 为奇函数，图象关于点()0,0对称，故B 正确；
对于C ，由题知()()()πf x f x f x +=-≠，故C 错误；
对于D ，由题可知()cos cos3cos53f x x x x '=++≤，故D 正确.故选：ABD .11.ABD 【详解】：对于A ，由4a b e e += ，得2a b e + ，22a b ln ∴+ 当且仅当12a b n ==时等号成立，A 正确；
对于B ，由40a b e e =->，得4a b e b b e +=+-且a ，(,ln 4)b ∈-∞，令(ln 4)()4x f x x e x <=+-，则()1x f x e '=-，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,ln 4)上单调递减，所以()(0)3f x f ≤=，即43a b e b b e +=+-≤，B 正确；对于C ，当0,13a b n ==时，01ab =<，C 错误；
对于D ，22222222111
()2()(()8222
a b a b a b a b e e e e e e e e +=⋅+≥+=+=+，D 正确．故选：ABD ．
12.BC 【详解】设(2)n n a =-,则221
134
n n n a a ---=⋅不为非零常数,所以{}
(2)n -不是等方差数列,故A 错误；
由题意2
1(1)n a n p =+-，则42a a ==即1p +=，解得1p =或0p =（舍去）
，
当1p =时，2n a n =,n a =B 正确;
设数列{}n a 为等比数列,不妨设n n a cq =,则11n n a cq --=,所以2222122(1)n n n a c q
q a ---=-,若2222(1)n c q q --为常数,则1q =±,但此时2222(1)0n c q q --=,不满足题意,故C 正确;若数列{}n a 既是等差数列,又是等方差数列
不妨设221n n a a p --=,(*2,,n n p
∈N 为非零数),1(0)n n a a d d --=≠,所以1()n n a a d p -+=,即1n n p a a d -+=,所以2n p a d d
-=,即22n p d a d =+
所以{}n a 为常数列,这与1(0)n n a a d d --=≠,221(0)n n a a p p --=≠矛盾,故D 错误.故选：BC 三、填空题
13.【详解】由定义知2p AM AF =
-，所以22
=p
，4=p .14.【详解】设等比数列的公比为q ，0q >， 在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，
2
53
4a q a ∴==，
解得2q =，3322n n
n a a -∴=⋅=，12(12)2212n n n S +-∴==--，511n S > ，12513n +∴>，当8n =时，1922512n +==，当9n =时，110221024n +==，∴正整数n 的最小值为9．∴使不等式
511n S >成立的正整数n 的最小值为9．故答案为：9．
15.【详解】()f x 存在唯一零点，1x ∴=是()y f x =的唯一零点，则x y e kx =-在(0,)+∞上无零点或有唯一零点1x =，
即x
e k x =在(0,)+∞上无解或有唯一解1
x =令()x e g x x =，则2(()
)1x e x x g x '-=，所以()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
要使x
e k x
=在(0,)+∞上无解或有唯一解1x =，只需min ()(1)k g x g e ≤==.
综上，k e
16．【详解】：正四面体的体积为3
3
2114
323
S ABC a V a a a -=-⨯⨯⨯==
表面积为24S ==表，设正四面体的内切球半径为1r ，则1
243
⨯1r =得11r =．显然内切球心为O ，故O 到面ABC 的距离为11r =，球面与面ABC 相交部分为以
2r ==的圆，
设三角形ABC 的内切圆半径为3r ，圆心为O '，D 为BC 的中点，则30O BD ∠'=︒，BD =，故
3r O D ='=，此时恰好23r r =，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，故当R =时，
圆弧总长度为242r π⨯=．四、解答题：
17．【详解】（1）因为2
23
cos
cos 222C A a c b +=，则()()1cos 1cos 322
a C c A
b +++=，……2分即cos cos 3a
c a C c A b +++=，由正弦定理可得
()()
3sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin B A C A C A C A C A C =+++=+++()sin sin sin πsin sin sin A C B A C B =++-=++，
因此，sin sin 2sin A C B +=.…………5分
（2）因为sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得24a c b +==，由平面向量数量积的定义可得cos 3AB AC cb A ⋅==
，…………7分
所以，22222
42322
b c a c a c bc +-+-⋅==，可得222c a -=，
即()()()42c a c a c a -+=-=，所以，12c a -=，则94c =，7
4
a =，
18.【详解】：（1）n a ，n S ，2n a 为等差数列，2
2n n n S a a ∴=+，且，0n a >当1n =时，2111122S a a a ==+，可得11a =；当2n 时，22
1112()2n n n n n n n S S a a a a a ----==+--，…………2分
则22
1111()()()n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-，由10n
n a a -+>，故11n n a a --=，…………4分所以{}n a 是首项为1，公差均为1的等差数列，故n a n =．…………6分
（2）由2n a m >，即2n m >，即21m n =-所以21n b n =-，………9分
所以{}n b 的前50项和为()
501991359925002
+++++== ．………12分19.（1）由题意得：()()()819991,,100101010P A P B P B +=
===，()()981
,100100
P AB P AB ==……….2分
()()
()()181
,10100P AB P B A P AB P A ∴===，()
()()910
P AB P B A P A =
=….……4分()()
1
9
P B A L P B A
∴=
=
….……….…….…….…6分（2）()()1109010
P X P X ≤=≥=
()14109012105P X <<=-⨯
= ，则43,5Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
………………7分Y ∴可能的取值为0,1,2,3，
()()3
2
131114120,1512555125P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1
2
3
2
3
14484642,3,
551255125
P Y C P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Y ∴的分布列为：………………11分（错一个扣1分）
Y 0
1
2
3
P
1125121254812564125
∴数学期望()412355
E Y =⨯
=………………12分20.【详解】：（1）设AC 的中点为O ，连接1OA ，OB ，因为AB BC =,所以AC OB ⊥，
又因为1AC A B ⊥，因为1,A B OB ⊂平面1OBA ，
且1A B OB B = ，所以AC ⊥平面1OBA …………………（2分）
因为1OA ⊂平面1OBA ，所以1AC OA ⊥，
又因为O 是AC 中点，所以11
AA AC =……………………（4分）
（2）112A A AC ==，在△ABC 中，由余弦定理求得AC =1
2AO BO ==，又因为AC ⊥平
面1OBA ，二面角1A AC B --的大小为
3π，则13AOB π∠=，.…………………（6分）由（1）知，则以,OB OC
所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得坐标
如下：111133313
(),3,0),(3,),(,23,(1,0,0).222222
A C
B
C B .……………（7分）
设平面11ACB 的法向量为(,,)m x y z =
，11113(3,(1
3,0).22
AC A B =-= 13
30(3,1,3)2
30x z m x ⎧-=⎪⇒=--⎨⎪=⎩
.…………………（9分）设平面11BB C C 的法向量为(,,)n a b c = ，113(3,(13,0).
22
BB BC ==-
13
30(3,1,3)2
230a b c n a b ⎧+
=⎪⇒=-⎨⎪-=⎩
.………………………………（11分）记平面11ACB 与平面11
BCC B 的夹角为|319|11
,cos .13
1313θθ=.………………（12分）21.【详解】：（1）2()[ln (1)ln 1],
f x x a x x =-++⋅22ln 1
()[
][ln (1)ln 1]x a f x x x a x x x
+'∴=-+-++2ln (1)ln x a x a =+--(ln )(ln 1)x a x =-+则两根分别为121
,a x e x e
==
………………………2分1︒当1a =-时，()0f x '≥在(0,)+∞恒成立，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；2︒当1a >-时，则当1x e <
或a x e >时()0f x '>，当1
a x e e
<<时()0f x '<，所以()f x 单调递增区间为1(0,),(,)a e e +∞，单调递减区间为1
(,)a e e ；
3︒当1a <-时，则当a x e <或1x e >
时()0f x '>，当1
a e x e
<<时()0f x '<，所以()f x 单调递增区间为1(0,),(,)a e e +∞，单调递减区间为1
(,a e e
………………………5分
（2）由（1）知，若1a =-，则2()[ln 1],
f x x x =+⋅2()(ln 1)0f x x '∴=+≥，()f x ∴的在区间(1,)+∞单调递增.
又12x x >，所以221212()()()f x f x m x x -<-对12,(1,)x x ∀∈+∞恒成立
221212()()()f x f x m x x ⇔-<-对12,(1,)x x ∀∈+∞恒成立221122()()f x mx f x mx ⇔-<-对12,(1,)x x ∀∈+∞恒成立
………………………………………………7分
令2()()h x f x mx =-，则()h x 在(1,)+∞上单调递减，则()0h x '≤在(1,)+∞上恒成立，……9分又2()(ln 1)2h x x mx '=+-，且1,
x >2(ln 1)2x m x +≥在(1,)+∞上恒成立，2
max (ln 1)2[]x m x +≥…………………………………………………10分令2
(ln 1)()x g x x
+=，则2(ln 1)(1ln )()x x g x x +-'=
令()0g x '>得(1,)x e ∈，令()0g x '<得(,)x e ∈+∞，()g x ∴在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，
所以max 42()()m g x g e e
≥==2
m e
∴≥
…………………………………………………12分
22.【详解】（1）因为实轴长为4，即24a =，2a =，又2c
a
=，所以22222,4c b c a ==-=，
故C 的方程为22
144
y x -=；…………………………4分（2）由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=，又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠，
故1
tan tan tan ANM MOP OMP
∠=∠=∠，
即1
AN OM
k k -=-，所以1AN OM k k ⋅=，……………………6分
设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，(M M x ，)M y ，
由题意可知(0,2)A -，则直线1
1
2
:2y AG y x x +=-，直线22
2
:2y AH y x x +=-，因为M 在直线l ，所以M y t =，
代入直线AG 方程，可知11(2)2M t x x y +=+，故M 坐标为1
1(2)(,)2t x t y ++，……………………7分
所以11(2)(2)OM t y k t x +=+，又22
2
AN AH y k k x +==，
由1AN OM
k k ⋅=，则1
2(2)21(2)t y y t x x ++⋅=+，整理可得12(2)(2)
2y y t t x x +++=，…………………………9分
当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，
故设直线GH :y =kx +t ，代入双曲线方程：22
144y x -=中，
可得222
(1)240k x ktx t -++-=，所以212122224,11kt t x x x x k k --+==--，…………………………10分又1212(2)(2)(2)(2)
y y kx t kx t ++=++++222
2
2
2
1212222
42(2)(2)()(2)(2)(2)111
t kt t k x x k t x x t k k t t k k k ---+=+++++=⋅++⋅++=---，所以
2
221222122
(2)(2)(2)2(2)(2)1(20)4421
t y y t t t k t t t x x t t k -++++-+-+-====+≠----，故2t t =-，即1t =，所以点P 坐标为(0,1)．…………………………12分。