高中物理奥林匹克竞赛专题：第11章 机械波

yA eitk xAiekexit
经典波：波函数表示实在物理量，只有取实部 才有意义，但可以使计算方便。
量 子：波函数本身一般就是复数.
29
§11.3 波的能量 波的强度 一、机械波的能量 能量密度
1. 机械波的能量
每个质元振动所具有的动能 每个质元形变所具有的势能
EEkEP
F u2
•导出折射定律
折射波传播方向
BC u1ΔtAC s iin 得
AD u2ΔtAC s irn
sin i u1 sin r u2
42
绝对折射率定义
n1

c u1
，n2

c u2
sin i n2
即
sin r n1
n1s iinn2s irn折射定律
给定方程：
yx,t0.02 co2s t x
0.010.4
标准方程： yx,tAc o2sT t x
比较得： A0.02m
0.4m
T0.01 s u0.4 40m/s
T 0.01


1 T
100Hz
0
22
解法2 由物理量的物理意义求各物理量
2

2
解法二：画波形曲线 27
由图可知： 2m xut0.521m
ym
0.5
t 2s u
t =0s时的波形比 t =2s 时的波形倒退1m
o
1
由图知：t =0 s时：
x0 y 0
0 0

2
o点的振动表达式为：
ym t 0s
0.5
u
o
1
一维平面简谐波的波函数 18
讨论
1. yAcost2πx
负(正)号表示向x 轴正(负)向传播
2.波函数的物理意义
• 当坐标 x 确定
表达式变成 y－t 关系,表达了 x 点的振动
如图： y
x点的振动曲线
o T
t
19
• 当时刻 t 确定 表达式变成 y-x关系, 表达了 t 时刻空间
球面波
柱面波
平面波
5
（1) 波面与波射线的关系：波射线垂直波面 （2) 波射线是波的能量传播方向 （3) 平面谐振波是最理想的波（一维问题 能
量不发散）
波形图：
某时刻，各点振动的位移 y (广义：任 一物理量)与相应的平衡位置坐标 x 的关系 曲线。
6
§11.2 平面简谐波的波函数
一、波函数
fr,t yfx,t
各点位移分布－－波形图
y t 时刻的波形曲线
o
x
λ （空间周期）
• 当坐标x 和时刻 t 都变化
表达式变成 y=f(x,t)关系, 反映了波形
的传播－－行波
20
例题1 一横波在弦上传播，其波方程是
y x ,t 0 . 0 c 2 o 5 x 2 st 0 S 0 I
求 振幅、波长、频率、周期和波速。
x
34
4.波的强度（也称平均能流密度）
I P wu 1 u A2 2 1 Z2 A2
S
2
2
单位
W/m2
讨论 1.机械波的特性阻抗 Z u 作业 两介质比较： Z 较小者称波疏介质 11.5
Z 较大者称波密介质
11.6
光波： 折射率较大者称光密介质
11.10
11.11
2. 任意谐波
了波的传播问题，称为惠更斯原理。 菲涅耳在光学方面做了重要发展， 称惠－菲原理 经基尔霍夫在数学上描述 发展成“光传播”的重要计算手段
所以说：在研究波的传播问题中 波动方程和惠更斯原理同等重要，相互补充。37
2、惠更斯原理 基本内容： •子波概念 波面上任一点都是新的振源
发出的波叫子波 •子波面的包络线 -- 新波面
a点与b点相距为l,则b点的振动函数是 f (t- l /u)。
u
a
b
x
同样，若b点的振动形式是函数 f (t)，a点与b点
相距为l ，则a点的振动函数是 f (t+l /u).
周期性的体现 普遍的结论
16
三、平面简谐波的波函数
设波沿着x 轴的正方向传播， 波源o 的 振动形式为
yoA co t s0
t 时刻各子波波面的公共切面（包络面） 就是该时刻的新波面 作用：已知一波面就可求出任意时刻的波面
38
例：
t 时刻波面 t+t时刻波面
· 波传播方向
u
· ·
·
·
ut
t + t
·······t ········
在各向同性介质中传播
39
二、惠更斯原理的应用 1.原理给出：一切波动都具有衍射现象 衍射---偏离原来直线传播的方向 所以：衍射是波动的判据
简谐波的能量密度
w E2A 2s i2n tkx
V
31
讨论
（1） wK wP 适用于各种谐波
（2）平均能量密度 w1Twdt 1A22
T0
2
普适结论 wA2
（3）机械谐波w最大值出现在形变最大处
32
波 的 能波量的能量
现象 将一软绳（弹性媒质）划分为多个小质元
A不 变 A0.02m
?
同一时刻t 波线上
位相差为 2的两点之间的距离
5 x 2 2 t 0 5 x 0 1 2 t 0 2 0
u
x1
x2
x2x1
x 0.4m
23
u ? 波速指位相传播的速度
质元 t1 时刻的位相 = 质元 t2 时刻的位相
第十一章
机械波
1
第十一章 机械波
§11.1 §11.2 §11.3
机械波的产生和传播 平面简谐波的波函数 波的能量 波的强度
§11.4 惠更斯原理与波的反射和折射
§11.5 波的叠加 波的干涉 驻 波
§11.6 多普勒效应
2
§11.1 机械波的产生和传播
一、机械波产生的条件
波源（振源） 弹性介质（媒质） 电磁波 只需振源 可在真空中传播
之和
m
2.能量密度 波场中单位体积的能量
ΔE
wVwk wP
30
如果介质中传播的是平面简谐波
则波的表达式为： yA co ts kxk 2
介质质元 mV中的能量
Ek EP1 2A22Vs i2n tkx
EEkEPA 2 2 V s2 i n t kx
波线上任意一点 P 坐标为 x
u
o
x
P
由相位关系,P点相位落后波源o的振动相位：
2π
Po

17
所以，就在o点振动表达式的基础上改变相位 因子，就得到了P 的振动表达式。
yAcost02πPo
yAco st02πx
或
yAcostuxt0
yo
0.5cost
2 2
m
2 xm
2xm
28
五、平面简谐波的复数表示法
yAeitkx A co t k s ix s A i t n k
y A cot sk x 取 实 A i( e t k部 )x R eA i e t kx
二、一维平面简谐波的波函数
平 面: 波面是平面(一维、能量不损失)
简谐波: 各点均作简谐振动
以绳上横波为例 说明波的传播特征
y
u
x
1 4 7 1013 7
无外界干扰时各质点均处在自己的平衡位置处 y
1 4 7 1013 x
t 0 第1个质点受一干扰，准备离开自己的
平衡位置向正方向振动。
振动 y 0
状态 0
o
π 2
y
8
t T 4
y
第4个质点准备……
o 1y
π 2
4
1 4 7 1013 x
t T 第7个质点准备…… 2
y
1
o
Hale Waihona Puke Baidu
4
π
y
2
7
1 4 7 1013 x
9
t 3T 4
y
第10个质点准备……
4
1
7
1 4 7 1013x 10
t T 第13个质点准备……
衍射物
衍射物
平面波 经小孔 衍射成 球面波
40
衍射是否明显？ 视衍射物（包括孔、缝）的线度与波长相比较 对一定波长的波
线度小衍射现象明显 线度大衍射现象不明显
41
2.用惠更斯作图法导出了光的折射定律
作图步骤：
入射波 u1
媒质1
折射率 i
法线 B
E
u1t C
· ·· · n媒1质2
A
· 折射率n2 u2t r D
物质波 物质的固有性质
横波
二、横波 纵波
纵波
x
横波：各振动方向与波传播方向垂直
纵波：各振动方向与波传播方向一致 3
三、波阵面 波射线 波射线(或波线)：波传播的方向射线 波阵面(或波面)：某时刻，同一波源向外传 播的波到达的各空间点连成的面(同相面)。
波阵面 波面
4
在各向同性介质中 点源：波面是球面 所以称为球面波 线源：波面是柱面 所以称为柱面波 面源：波面是平面 所以称为平面波
• 相距一个波长的两
7
点，相位差是2.
4
10 y
如第13点和第1点
1 13
或说振动时间差1个周 x
期则相位差为2.
相差是 2π
13
•相距 x 的任意两点的相位差 Δ 2π Δx
u

ab x
任意两质元间距为 x
图中b点比 a点的相位落后:
ba 2x
14
（2) 从两质元振动的重复性看
I A2
35
§11.4 惠更斯原理与波的衍射 反射和折射
一、惠更斯原理
1.物理上的定性和半定量方法
要解决波的传播问题
原则：列出波动方程 然后解方程
从而得到运动的表述
但大多数情况是很难写出波动方程的，所 以物理上通常采用定性和半定量的方法加以 补充（实际上是相当重要的补充）。
36
惠更斯原理就是非常成功的定性和半定量方法 1678年惠更斯提出：简洁的作图法定性解决
y
7
4
10
1 13
1 4 7 1013x
10
当第1个质点振动1个周期
7
后，它的最初的振动相位传
到第13个质点。
4
10
从相位来看，第1个质点领
1 13
先第13质点 2π 。
结论
1. 波是振动状态的传播，不是质点的 流动。各点均在自己的平衡位置附近 作振动。
2. 波长 波的周期 频率 波速
T u 11
波长：波线上相位差为2的相邻两点间的距离 波的周期：一个完整的波通过某点所需的时间 波的频率：单位时间内通过某点完整波的数目 波速：振动状态传播的速度
1
13 某点

波长 波速与频率之间的关系
u/T 12
3.波射线上各点振动相位(振动状态)的关系 （1) 同时看波线上各点 沿传播方向，各点相位依次落后。
t 时刻 第13质元的振动是第1质元在t–T 时刻的振动；
第1点和第13点之间： 间距: x
振动时间差： t T 相位差: Δ2π
间距为任意x 的两点的关系：
在波线下方b点，t 时刻的振动是前方a点在
t x T t x 时的振动。

u
15
一般关系：
若已知波传播a点的振动形式可用函数f (t)表示，
Tt2 t1
T0.01 s
25
例题2 沿x轴负方向传播的平面简谐波在t =2s
时的波形曲线如图所示，设波速u=0.5m/s,求
原点o的振动表达式。
解：由t=2s时的波形图
ym
0.5
t 2s u
2m
T /u 2 /0 .5 4 s
o
1
2 xm
2/T/2 rad/s
上
下
形变最小
振速 最小
形变最大 抖
动
振速 最大
时刻波形
未起振的体积元
波动中各小质元产生不同程度的 弹性形变
33
二、波的强度 1.能流 单位时间内通过介质中某面积的能量
P E wS x wSu
S
t
t
t
2.平均能流 PwSu
x
3.能流密度
单位时间内垂直通过单位面积的能量
即通过单位面积的能流 P wu S
解：将给定方程与标准方程比较,求出各物理量
标准方程： yx,tAc o2sT t x
给定方程： y x ,t 0 .0c 2o 5 x s2t0 0
0 .0c 2o 2s t0 5 x 0
0 .0 c 2 2 o 1s t0 2 .5 0 x 21
1
o
x1
2
x2
x
5 x 1 2t1 0 0 5 x 2 2t2 0 0
ux2x1 t2t1
250040m/
s
24
T ? 周期指位相传播一个波长所需要的时间
5 x 1 2t1 0 0 5 x 2 2t2 0 0
x2 x1
（看下一时刻的波形曲线）
t2, x0y0
0
3 2
y
A
t=2s时在原点x=0处的位相：
3
2
26
由波的传播特性可知：
o点质元在t=0时的 位相与t=T/2=2s时的
位相相差
ym
0.5
t 2s u
o
1
2 xm
初位相
0
3
2

2
o点的振动表达式为：
y0
0.5cost