数列通项公式与求和的常见解法

数列通项公式的十种求法
｛a n ｝的通项公式。

二、累加法
例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3
(n 1)(n 2
n
、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n
， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開
a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2， 得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是
1(n
丐，
3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。

评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
a n
1)3，进而求出数列
-，说明数列
2
解：由a n 1
a n 2n 1 得 a n 1
a n
2n 1则
a n (a
n
[2(n 2[(n 2^
a
n 1
) (a
n
1) 1) 1)n 2 1 a
n 2
)
1] [2(n 2) (n 2)
1] I 2 1] @3 a 2)
L (2 2 1) 1 (a 2 a 1
)
4
1) (2 1 1) 1
(n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式
为
a n
评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1
a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3
a 2) (a ?印)
a 1，即得数列｛a n ｝的通项公
式。

求数列｛a n ｝的通项公式。

1) 1
进而求出 a n
(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L
(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1，即得数列｛a n ｝的通
项公式。

已知数列｛a n ｝满足a n 1 3a n 2 3n 1，a 1
解：a n 1 3a n 2 3 1两边除以3 1，得—— 孑
3
3 3 3
则a n
例3已知数列｛a n
｝
满足a n 1 a n 2 3n
1, a “ 3，求数列｛為｝的通项公式。

n
a n 2 3
1 得 a n 1 a n 23
1
a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L
(a 3 a ?) (a 2 a 1) a 1 (2 3n 1 1) (2 3n 2 1) L (2 32 1) (2 31 1) 3
2(3n 1 3n 2 L 32 31
) (n 1) 3
23(1 3n1
) (n 1) 3
解 由 a n 1 3n 3 n 1 3 n 3 n 1 所以 a n 3n n 1.
评注：本题解题的关键是把递推关系式
n
n
a n 1
a n 2 3 1 转化为 a n 1 a n 2 3
1，
3n a n 2 3n
3 1 1 n 1 ， a n 3n a
n 2)
1 (— (a n 2
(尹
I) L
a 1 3
尹）
六） 2(n 1) 3n 3n 1 3n
2
L
2(n 1)
3
3n 1) 2n 3
3n
Q n
3，求数列｛a n ｝的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
ni 3a n 2 31
转化为罷3
的通项公式，最后再求数列 ｛a n ｝的通项公式。

三、累乘法
解: 因为a n 1
2(n 1)5n a n , 31 3，所以a n
，则也 2(n 1)5n ，故
a n
a
n
a
n 1
1 a
3
a
2
a n
L
a 1
a n 1 a n 2
a 2 a
[2(n 1
1)511 ][2(n 2 1)5n
2
] L [2(2
1) 52][2(1 1) 51] 3
2n1[ n(n 1)L
3 2]
(n 1) (n
5
2) L 2 1
3
n(n 1)
3 2n1 5 2
n!
n(n 1)
所以数列｛a n ｝的通项公式为a n
3 2n 1 n!.
r a n a “ 1
a 3 a 2
出 亠 4 L 3
2
a 1，即得数列｛a n ｝的通项公式。

a n 1 a n 2
a 2 a 1
例6
( 2004年全国I 第15题，原题是填空题)已知数列 ｛a n ｝满足 a 1 1，a n a 1
2a ? 3a 3 L (n 1总 dn 2)，求｛a n ｝的通项公式。

解：因为 a n a-i 2a 2 3a 3 L (n 1)a n "n 2)
①
所以 a n 1 a 1 2a 2 3a 3 L (n 1)a n 1 na *
②
用②式—①式得a n 1 a n na n .
则 a n 1 (n 1)a n (n 2)
a n 1、 ,a n 1
a n 2、
,a n 2
an 3 .,
进而求出(-
3
3n1)
(3n1
(
3n2
尹)L
译3i )
彳，即得数列
a n 3n
例5已知数列
｛令｝满足a n 1
2(n 1)5n
a n ,印3，求数列｛a n
｝的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系
a n 1 2(n 1)5n
a n 转化为
a n 1
a n
2(n 1)5n ，进而求
n 1(n 2)
所以a n
a n
a n 1 a n 1 L
a n 2
a3
a2
a2
n〔
[n(n 1) L 4 3]a2a2.
2
由a n a1 2a2 3a3 L (n 1)a n 1(n 2),取n 2得a? a1 2a2，则a2 a1,又知
a1 1，则a2 1，代入③得a n n! 2
所以，｛a n｝的通项公式为a n
n!
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a n 1
a n 1 (n 1)a n(n 2)转化为——n 1(n 2)，
a n
进而求出电旦」L色a2，从而可得当n 2时，a.的表达式，最后再求出数列｛%｝的a n 1 a n 2 a2 通项公式。

四、待定系数法
例7已知数列｛a n｝满足a n 1 2a n 3 5n，a1 6，求数列a n的通项公式。

解：设a n 1 x 5n 1 2(a n x 5n) ④
将a n 1 2a n 3 5n代入④式，得2a“ 3 5n x 5n 1 2a“ 2x 5n，等式两边消去
2a n，得3 5n x 5n 1 2x 5n，两边除以5n，得3 5x 2x,则x 1,代入④式得
a n 1 5n 1 2(a n 5n) ⑤
1 a 5
n 1
由a1 51 6 5 1 0及⑤式得a n 5n 0，则加—2，则数列®5n｝是以
a n 5
a1 51 1为首项，以2为公比的等比数列，则a n 5n 2n 1，故务2n 1 5n。

评注：本题解题的关键是把递推关系式a n 1 2a n 3 5n转化为am 5n 1 2@ 5n)，
从而可知数列｛a n 5n｝是等比数列，进而求出数列｛a n 5n｝的通项公式，最后再求出数列
｛a n ｝的通项公式。

a n 1 5 2n 1 2 3(a n 5 2n 2)，从而可知数列佝5 2n 2｝是等比数列，进而求
出数列｛a n 5 2n 2｝的通项公式，最后再求数列｛a n ｝的通项公式。

例8已知数列｛a n ｝满足a n 1 3a n 5
2n 4, a i 1,求数列｛a n ｝的通项公式。

解：设a n 1 x
2n1
n
y 3(a n x 2 y)
将 a n 1 3a n 5
2n 4代入⑥式，得
3a n 5 2n 4
2n1
y 3(a n x
2n y)
整理得(5 2x) 2n
n
y 3x 2 3y 。

2x 3x
，则
y 3y
5
，代入⑥式得
2
a n 1
2n1
3(% 5 2n 2)
由a-i
21
1 1
2 1
3 0及⑦式,
得a n
2n
0，则a n1 5 2n1 a n 5 2n
故数列｛a n 5 2n 2｝是以a 1 5 21 1 12
13为首项，以3为公比的等比数列,
因此 a n 5 2n 2 13 3n 1，则 a n
13 3n 1 5 2n 2。

评注：本题解题的关键是把递推关系式
a n 1
3a n 5 2n 4转化为
例9已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n
3n 2 4n 5,
a 1 1，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：设 a n 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(a n xn 2
yn z) ⑧
3 x 2x x 3
解方程组 2x y 4 2y ，则y 10，代入⑧式，得
x y z 5 2z z 18
2 2
a n 1 3(n 1)
10( n 1) 18 2(a n 3n 10n 18)⑨
2 2
由 a 1 3 1 10 1 18 1 31 32 0及⑨式，得 a n 3n 10n 18 0
则
4
1
3(n
1) I 0©
2^? 2，故数列｛a n 3n 2 10n 18｝为以
a n 3n 2 10n 18
2
a 1 3 1 10 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数列，因此 2
n 1 n 4 2
a n 3n 10n 18
32 2 ，则 a n 2 3n 10n 18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式
a n1 2a n 3n 2 4n 5转化为
2 2
a n 1 3(n 1) 10(n 1) 18 2(a . 3n 10n 18)，从而可知数列
2 2
｛a n 3n 10n 18｝是等比数列，进而求出数列｛a . 3n 10n
18｝的通项公式，最后再
求出数列｛a n ｝的通项公式。

五、对数变换法
n
5
例10已知数列｛a n ｝满足a n 1 2 3 a .，印 7，求数列｛a n ｝的通项公式。

2 2
2a n 3n 4n 5 x(n 1)
2
y(n 1) z 2( a n xn
yn z)，则
2
2a n (3 x)n (2x y
2
4)n (x y z 5) 2a n 2xn 2yn 2z 等式两边消去2a n ，得(3 x)n 2
(2x y 4)n (x y z 5)
2xn 2 2yn 2z ,
解：因为a n 1
2 3n a ；, &
7，所以务
n 5
0, a n 1 0。

在a n 1 2 3 a n 式两边取
常用对数得lg a n 1 5lg a n n lg3 Ig 2 ⑩设lga n 1 x(n 1) y 5(lg a. xn y)①
将⑩式代入 (11式，得5lg a n
n Ig3 Ig 2 x(n 1) y 5(lg a n xn y)，两边消去
Ig3 x 5x
，故 x y Ig2 5y
5lg a n 并整理，得(Ig3 x)n x y Ig 2 5xn 5y ，则
代入⑪式，得Ig a n 1 Ig3 4 (n 1) Ig3 16 Ig2 4 5(Ig a n 4 16 4 )
由 igai Ig3 1 4
Ig3 16 Ig2 4 ig7
Ig3
4 lg3 lg2 16
0及⑫式,
得 Ig
a n Ig3 76 Ig2
4
Ig a n 则 - Ig3 16 Ig2 4 Iga n
也必
所以数列｛Ig a n 里
n 4
Ig3 16 g ]是以Ig 7 Ig3 4 Ig3 16 Ig2
为首项，以5为公比的等
4 Ig3 n 4 Ig3 16 晋
(Ig7 4 Ig3 4 Ig3
16 ^)5n 1，因此
4
16 4 Ig a n (Ig 7 Ig3 Ig3 Ig2 n1 Ig 3
n
Ig3 Ig2 4 16 4
4 6
4
1 1 1
n
1
(Ig7 Ig 34 Ig36
Ig24)5[
11
Ig34
Ig 316 Ig2
1 1
1
n
1
1
[Ig(7 34 316 24
)]5n
1
Ig(3 4 316 24 )
1 1
1
n
1 1
Ig(7 34 316 24)5n 1
Ig(34 316 24)
5n1
n
5n 1
1 5n 1
1
Ig(75 n1 3 4
3 16
2 4
)
5n 4n 1
5n 1 1
Ig(75 n 1
3 1
6
2 4
)
比数列，则|ga n 5n 4n 1
5n 1 1
则 a n
75"1 3 16
2丁
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
a n 1 2 3n a ：转化为
Ig3
~4
Ig3 76 Ig2
4
lg a n 1
{lg a n 里
(n 4 lg3 n 4 1) lg3 76 lg3 lg 2 5(lg a n — n 里
―)，从而可知数列 4 16 4 lg3 lg3 lg2 进而求出数列 {lg a n n }的通项
4
16
4
16 4
爭是等比数列, 公式，最后再求出数列 ｛a n ｝的通项公式。

六、迭代法 例11
已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 3(n 1)2
a 1 5，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：因为 a n 1 a ；(n 1)2，所以 a n aj ； 3(n 1)2n 2 3n2 [a n 2 ] 1) n 2(n 2)(n 1) 32(n a n 2
[a 翟 33
(n
a n 3
L
3n 1 2 3L L (n 2) (n 1)n 21 2LL (n 3) (n 2) (n ° a
1 n(n 1) 3n 1 n!
2 2
a
1
2) 2 2)(n
3]32(n 1) n 2
(n 2) (n 1}
1) n 2(n 3) (n 2) (n 1)
又a 1 5，所以数列｛a n ｝的通项公式为a n
n(n 1)
53n1n!2^。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

即先将等式a n1 a n (n1)2"
两边取常用对数得lg a n 1 3(n 1) 2n
lga n ，即
lg a n 1 lg a n
3(n 1)2n ，再由累乘法可推知
lga n
譽
lg a n 1
lg a n 1 L lg a n 2 lga 3 lg a 2
lga
3
n 1
n! 2' lg5
n(n
1)
~2~
，从而a n
5宀呼。

七、数学归纳法 例12已知数列 {a n }满足 a n 1 a n 8(n 1) 2 2 ?
(2n 1) (2n 3)
8
，求数列｛a n ｝的通项公式。

9
8(n 1)
解：由 a n 1 a n
2
2 (2n 1)2(2 n 3)2
及
a 1
8
，得
(2 k 1)2 1 8(k 1) 2 2 2
(2k 1)2
(2k 1)2(2k 3)2
[(2 k 1)2 1](2k 3)2 8(k 1)
(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8(k 1)
(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 (2k 1)2(2k 3)2 (2 k 3)2 1 (2 k 3)2 [2( k 1) 1]2 1 [2( k 1) 1]2
由此可知，当n k 1时等式也成立。

根据(1)，( 2)可知，等式对任何 n N *都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 公式，最后再用数学归纳法加以证明。

八、换元法
a 2 a 1
8(1 1)
8 8 2 24
(2 1 1)2 (2 1
3)2
9 9 25 25
a s a 2
8(2 1)
24 8 3 48 (2 2
2
1) (2 2 3)2
25 25 49 49 a 4
a a
8(3 1)
48 8 4 80 (2 3
2 1) (2
3 3)2 49
49 81
81
往下用数学归纳法证明这个结论。

(1 )当n 1时，印
(2 1 1)2 1
2
(2 1 1)
8
，所以等式成
立。

9
(2)假设当n k 时等式成立，即a k
(2k 1)2 1
(2k 1)2
，则当n k 1时,
a k 1 a k
8(k 1) (2 k 1)2(2k 3)2
2
(2n 1)2
1
2~ (2n 1)
由此可猜测a n
n 项，进而猜出数列的通项
1
(1 4a n 、1 24a n )，a 1，求数列｛a n ｝的通项公式。

彳a ¥
_____ 1
解：令 bn I 1
24a n ，则 a n
(b ； 1)
1
可化为 bn l 3 -(b n 3),
所以｛b n 3｝是以b 3 .厂24印 3
厂24一1 3 2为首项，以£为公比的等比数
列，因此 b n 3 2(|)n 1 (£)n 2，则 b n (1)n 2 3，即 1 24a n g)n 2 3，得
评注：本题解题的关键是通过将
.1 24a n 的换元为b n ,使得所给递推关系式转化
1 3
b n 1 -b n ?形式，从而可知数列
｛b n 3｝为等比数列，进而求出数列｛b n 3｝的通项公式, 最后
再求出数列｛a n ｝的通项公式。

九、不动点法
21a 24
例14已知数列｛a n ｝满足a n 1 ------------------ n ----- ，a 1 4，求数列｛a n ｝的通项公式。

4a n 1
21x 24 2 r 21x 24 ,,
故a n 1 24
(b
n 1
1)
，代入
a
n 1
1
(1 4a n 16 、1
24a n
)
得
丄(b ?1
1) -6[1
1 2
4 (b ； 1) bn]
24
16
24
即
4b ： 1
(b n
3)2
因为0
1
24
a n 0，故
b n 1 ,1
24a
n 1
则 2b n 1 b n 3，即 b n 1
例13已知数列｛a n ｝满足a n 1
bn
1 - 2
a n
2(4)n
(『
解:令x ，得4x 20x 24 0,则x1 2，x2 3 是函数f (x) 的4x 1 4x 1
两个不动点。

因为
a n 1 2
a
n 1
3
21a n 24 2
4a n 1
21a n 24
4a n 1
21a n24 2(4a n1) 13a n26 13 a n 2
21a n24 3(4a n1) 9a n27 9 a
n3
所以数列
a n 2
3
a n
是以勺」
a1 3
2 13
2为首项，以13为公比的等比数列，故
9
a n
a n
2(日1，
9
评注: 本题解题的关键是先求出函数f(x)
21x 24
2
的不动点，即方程x
4x 1
21x 24
的两
4x 1
个根X12,x2 3，进而可推出
a n 1 2
a n 1 3
13 a
n-，从而可知数列a n
3
9 a n a
n
列，再求出数列
a
2
n的通项公式，最后求出数列
a
n
3
｛a n｝的通项公
式。

例15已知数列{a n}满足a n 1
7% 2
2a n 3
，a i 2，求数列｛a n｝的通项公
式。

解：令x
君，得2x23x 1
1是函数f（x）厂的不动点。

因为a n 11
7a n 2
2a n 3
5an 5，所以
2a n 3
2/1\n
a n2(4)
(1)n 1
(2)3。

评注：本题解题的关键是通过将,1 24a n的换元为0 ,使得所给递推关系式转化
b n11b n|形式，从而可知数列｛b n 3｝为等比数列，进而求出数列｛b n 3｝的通项公式,
最后再求出数列｛a n｝的通项公
式。

九、不动点法
例14已知数列｛a n｝满足a n 1
21a n 24
，a〔
4a n 1
4，求数列｛a n｝的通项公
式。

21x 24
2
解：令 x
，得 4x 20x 24 0,则 x , 2, x 2 3 是函数 f (x)
4x 1
亠4的
4x 1
a n 1 2 21a n 4a n 24 1 2 21a n 24 2(4a n 1) 13a n 26 13 a n 2
a n 1
3
21a n 24 3 21a n 24 3(4a n 1) 9a n 27 9 a n 3 4a n 1 两个不动点。

因为 所以数列
4 2 2 2为首项，以 是以旦」 3 13为公比的等比数列，故色 9 a n a n 2 3 4 3
3。

评注: a n 本题解题的关键是先求出函数 f(x) 21x 24 的不动点，即方程x 4x 1 21x 24
的两
4x 1
个根x , 2， x 2
3，进而可推出 a n 1 2 a n 1 3 13 a n -，从而可知数列 a n 3 9 a n
a n
2
-为等比数 3
a 2 列，再求出数列 n
的通项公式，最后求出数列 ｛a n ｝的通项公式。

a n 3 例15已知数列｛a n ｝满足a n 1
7an 2
，a 1 2，求数列｛a n ｝的通项公式。

2a n 3
7x 2
解：令x
，得2x 2 4x 2
0，则x 2x 3
1是函数f (x)
3x 1 4x 7
的不动点。

因为a n 1
1
7a n 2
1
2a n 3
5a n 2a n 5 5
，所以
3
(q 1)
S n
印(1 q n ) a 1 a n q (q 1)
1 q
1 q
［例1］
已知log 3 x
1
求
2
3
x x x n
x
的前n 项和
log 2 3
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
项和，
其中｛ a n ｝、
｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列
、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：S n
数列求和
n®
a n )
n(n 1)d
2
2、等比数列求和公式：
［例3］求和：S n
1 3x
5x 2 7x 3
(2n n 1
1)x
........................
①
解：由题可知， { (2n
1)x
n 1
｝的通项是等差数列 ｛2n - 1｝的通项与等比数列
{x n
1 1｝的通项之积：
设 xS n
1x 3x 2
5x 3 7x 4
(2n 1)x n …②(设制错位)
①—②得
(1 x)S n
1 2x 2x
2 2x
3
2x 4 2x n 1
(2n 1)x n (错
解：由log 3 x
log 2 3
log 3
log 3 2
由等比数列求和公式得:
S n
［例 2］设 S = 1+2+3+ …+n , n € N *,求 f (n)
S n
的最大值.
(n 32) S n 1
解：由等差数列求和公式得
S n
^(n
1
1)
，5
尹
1)(n
2) "f(n)
(n 32)Sn
n
~2
n 341 64
1
c, 64 n 34
n
1
(n —)
50
n
50
即 n = 8 时，f( n)max 50
n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{a n • b n }的前 n
1 x
位相减)再利用等比数列的求和公式得：(1 x )S n 1 2x -
1 x (2n 1)x n
a
a
解: 设S n
(1
1) (1 4) (1 7)
a
a
将 其
/、
每
一 项 拆
S n (1 1 1
2 1
)
(1 4 7
a a
a
1 n 1
3n 2，…
a
(-
1
n 1
3n 2)
a
开
再 重 新
组
合
得
3n 2) （分组）
曲胆二©^卫（分组求和）当a 1时，s n
2 2
(3n 1)n
2
(2n 1)x n 1
(2n 1)x n (1 x) (1 x)2
列相加，就可以得到n 个（6 a n ）.
2 2 2 2 2
［例 6］求 sin 1 sin 2 sin 3
sin 88 sin 89 的值
解：设 S si n 21
si n 22
sin 2 3
sin 2 88 si n 2 89 ................. ①
将①式右边反序得
:S
si n 2 89 si n 288
si n 23
si n 22
sin 21 •-
•…②
又 因 为
sin cos90 x),siin x cos x 1
， ① + ②
得
2S (si r 1 co 2!) ©用2
co s 2) 2 2
(sin89 cos39) = 89
S = 44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
［例4］求数列-,^2
2 2
2n
2"
前n 项的和.解：由题可知,
2n
尹的通项是等差数列｛2n ｝的通项与
等比数列｛ 1
—｝的通项之积
2n
2
4
6
设S n
亠
~3
2 2
23
1 c 2
4
6
S n 2 尹 孑 24
1 c
2 2
2
(1
2
2
22
23
n 2
S
n 4
n 1
2n 2^
2n
②
2n1
2
2 2n
2
4
n
n 1
2 2
①一 ② 得
2* 1
2n 2* 1
n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）
，再把它与原数
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 ［例7］求数列的前n 项和：1
1,- 4,2 7, 当a = 1时，S n
1 1 a
1 n
a a (3n 1)n a 1
2
［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n 项和.
将其每一 -项拆开再重新组合得：
S n =
2
k 3 3 k 2
k 1
k 1
3 3
2(1 2
n 3) 3(1 22 n 2) (1 2 n)
n 2(n 1)2
n(n 1)(2n 1)
n(n 1) 2
=n(n 1) (n 2)
2
2
2
2
n
n
k 1
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后
n
k
k 1
解：设a k k(k
1)(2k 1) 2k 3 3k 2 k S n
n
k(k k 1
1)(2k 1)
n
(2k 3 3k 2
k) 重新组合，使之能消去一些项， 最终达到求和的目的.通项分解(裂项)
如: (1)
a n f(n
1) f(n)
(2) ----------
cosn si n1
cos(n 1)
tan(n 1) tann
(3)
a n
1 n(n 1)
(4)
a n
(2n)2 (2n 1)(2 n 1)
(5)
a n
n(n 1
1)(n
1 I 1)
(n 1)(n 2)]
a n
n(n 1) 2(n 1) n
n(n 1)
1 1
n 1
n
n 2 (n 1)2
，则S
1 (n 1)2n
[例9]
1
求数列 1 .2〔2
.3
, ,
n -、n 1
的前n 项和.
S n
解：设a n
、2 <3
-1) (.3 、2) (• n 1 、n) =、n 1 1
［例10］在数列｛a n ｝中，a n
，又 b n
a n a n -，求数列｛
b n ｝的前n
1
项的和.
解:
a n
b n
8(- n
-^)数 n 1 列{b n }的前n 项和:
1 S n 8[(1 2)
(2 1)
(1 1)
3 4
(丄 n
匕)] n 1 8(1
8n
[例 11]
求证: cosO cos1 cos1 cos2 cos88 cos89
cos1
sin * 21
解:
cosO cos1
cos1 1 cos2
cos88 cos89
sin 1 cos n cos(n 1)
tan(n 1) tan n
S cosO cos1
1
{(tan 1 tanO ) (tan2 sin1
cos1 cos2 cos88 cos89 tan1 ) (ta n3
tan2 ) [tan89 tan 88 ]}
1
(tan 89 sin 1
tanO )=—cot1 si n1
cos1 sin 2
1
原等式成立
（找特殊性质项） S n =
(cos1° + cos179°) + (cos2° + cos178°) +
cos9O ° =O
（合并求和）
[例 13]
数列｛a n ｝ :a 1 1,a 2 3,a 3 2, a n 2
解:设 S 2OO2
=a 1
a 2
a 3
a 2OO2，
由
得
a 4
1, a 5 3, a 6
2,
+ (cos3° + cos177°) + •…+ ( cos89° + cos91 °)
a n 1 a n ，求 S 2OO 2
a 1
1, a 2
3, a 3 2, a n 2 a n 1 a n 可
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找岀数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
a 7 1, a 8
3, a 9
2, a
10 1, a 11 3, a 12
2,……
a 6k 1 1, Os k 2 3 36k 3 2, as k 4 1, a 6k 5 3, a 3k 6 2
a 6k 1
a 6k 2 a 6k 3
a 6k 4 a 6k 5
a 6k
6
S 2002= a 1
a 2 a 3 a 2002
=
(a 1
a 2 a
：
3 a 6 ) (a 7
a 8
a 12 )
(a 6k 1 a 6k 2 a 6k 6 )
(a 1993 a 1994
a 1998
)
a 1999 a 2000 a 2001
a 2002
=
°1999 a 2000 a 2001
°2002
a 6k 1 a 6k 2 a 6k 3 a 6k 4
=5
［例14］在各项均为正数的等比数列中，若
a 5a 6
9,求 log 3
a 1 log 3 a 2
log 3 a 10
的
值。

解：设 S n
lOg 3
a 1
log 3 a 2
log 3 a 10
由等 比数列 的性 质
m n
P q a
m
a n a p a q
和对 数的运
算性
lOg a M log a N log
a
M N
得：
S n
(log 3 a 1 lOg 3 a
10 )
(log 3 a 2 log 3 a 9)
(log 3 a 5
log 3 a 6 )
(log 3
a i a®) (log 3
a 2 a ?)
质
［例16］已知数列{a n }:
a n
(n 1)(n 3)
(n 1
1)(a n
a n 1）的
值.
(lo
g 3 a 5 a 6)= log 3 9 log 3 9
log 3 9 = io
[例 15]
11 111 111 1之和.解：由于111
1
999
9
k 个1
1 k
9(10
1)
1 11 111
111 1
n 个 1
1)
1) 1
(103 1) 9
1)
102 103
1o n
)
9
(1
1)
1 10(10n 1)卫 9 10 1 9
- . _ 1
例计算：I ]斗2
1 +
2 + M
] + 2+弓+"*-亠]00 六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求
S n .
［例 12］ 求 cos1 ° + cos2° + cos3° +•…+ cos178 ° + cos179。

的值.
解：设 S n = cos1 ° + cos2 ° + cos3° + •…+ cos178 ° + cos179°v cos n C0S (18O n )
13 3
8[
(n 2)(n 4)
(n 1)(a n a n 1)
(n
(n 1)佃
a n 1 )
8(n
宀
）
(& 1 1)(n 3)
宀
）
1 (n 2)(n
4)
8K
宀）。