数学八年级苏科版(上册)第3章勾股定理综合测评及解析

第3章 勾股定理综合测评（一）
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.如图1，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的边长为（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．64
图1 图2
2.下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A.0.3，0.4，0.5
B.6，8，10
C.53，54，1
D.4，5，6 3.历史上对勾股定理的一种证法采用了图2所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（ ）
A.S △EDA =S △CEB
B.S △EDA +S △CEB =S △CDE
C.S 四边形CDAE =S 四边形CDEB
D.S △EDA +S △CDE +S △CEB =S 四边形ABCD
4.图3所示的各直角三角形中，边长x 的值为5的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
图3
5.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图4，张明家（记作A ）在成都东站（记作B ）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C ）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（ ）
A. 4000米
B. 5000米
C. 6000米
D. 7000米
图4 图5 图6 图7
6．如图5，一圆柱高8 cm ，底面半径为2 cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）
A. 20 cm
B. 10 cm
C. 14 cm
D. 无法确定
7.如图6，每个小正方形的边长均为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
8.若直角三角形的两边长分别为3和4，则以第三边长为直径的圆的面积为（ ）
A.47π
B.425π
C.7π或25π
D.47π或4
25π 9.如图7，在4×5的方格中，A ，B 为两个格点，再选一个格点C ，使∠ACB 为直角，则满足条件的点C 的个数为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
10．如图8，在△ABC中，D是边BC上的一点，AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面积是（）A．30 B．36 C．72 D．125
图8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=．
图9 图10 图11
12．如图10，已知△OAB，以OB为边作△OBC，再以OC为边作△OCD.若∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2的值等于_____________.
13.探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，
可发现:4=
21
32-
，12=
21
52-
，24=
21
72-
，…，请写出第5个数组：．
14. 现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．图11是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．
15.如图12，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为________.
图12 图13
16.如图13，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为______.
三、解答题（本大题共6小题，共52分）
17.（6分）如图14，已知AD是△ABC的角平分线，AB=AC=13 cm，AD=12 cm．求BC的长．
图14 图15
18. （8分）如图15，已知四边形ABCD中，∠A为直角，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，求四边形ABCD 的面积．
19.（8分）图16是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B的位置时，点B离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
图16 图17
20.（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图17摆放时，可以用“面积法”来推导说明a2+b2=c2．请你写出推导过程．
21.（10分）如图18，沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向130 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=50 km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
①②
图18 图19
22.（12分）（1）如图19-①，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图19-②，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3 cm的点A 处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
附加题（20分，不计入总分）
23.在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c. 若∠C 为直角，则由勾股定理得a 2＋b 2＝c 2.
（1）若∠C 为锐角，试说明：a 2＋b 2＞c 2；
（2）若∠C 为钝角，试判断a 2＋b 2与c 2的关系，并进行验证.
参考答案：
一、1.B 2.B 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8.D 9.D 10.B
二、11.2 12.7 13.11，60，61 14. 50 20 15.75 16.5
三、17.解：因为AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以AD ⊥BC ，BD=CD ．
因为在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，AB=13，AD=12，所以BD 2=AB 2－AD 2＝132－122＝25，所以BD=5.
所以BC=10 cm ．
18.解：因为∠A 为直角，AD=12，AB=16，所以BD 2=AD 2+AB 2=400，所以BD=20.
因为BD 2+CD 2=202+152=625=BC 2，所以△BDC 是直角三角形，且∠CDB 为直角.
所以S △ABD =21×16×12=96，S △BDC =2
1×20×15=150. 所以四边形ABCD 的面积为96+150=246．
19.解：设AD=x m ，则由题意得AB=（x-0.5）m ，AE=（x-1）m.
在Rt △ABE 中，AE 2+BE 2=AB 2，即（x-1）2+1.52=（x-0.5）2，解得x=3．
所以秋千支柱AD 的高为3 m.
20.解：因为S 五边形ABCDE =S 梯形AEDF +S 梯形BCDF =S 正方形DEPC +2S △AEP ，即
21（b+a+b ）•b+21（a+a+b ）•a=c 2+2×2
1ab ，整理得a 2+b 2=c 2．
21.解：在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=1302-502=14 400，所以BD=120 km.则120÷15=8（h ）. 所以台风中心经过8 h 从B 点移到D 点.
如图1，因为距台风中心30 km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，所以人们要在台风中心到达E 点之前
撤离.BE=BD-DE=120﹣30=90（km ），=6（h ）.所以游人在接到台风警报后的6 h 内撤离才可脱离危险．
图1
22.解：（1）如图2，由题意知能放入木棒的最大长度为DF 的长.
由题意得DB 2= AB 2+AD 2=42+32=25， DF 2= DB 2+FB 2=25+122=169，所以DF=13.
所以该长方体中能放入木棒的最大长度是13 cm ．
图2 图3
（2）将容器侧面展开，如图3所示，作点A 关于EF 的对称点A′，则A′B 的长度即为蚂蚁爬行的最短路径．
由题意A′D=5 cm ，BD=12﹣3+AE=12（cm ）.
由勾股定理，得A′B 2= A′D 2 +BD 2=169，所以A′B=13 cm ．
所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是13 cm.
23. 解：（1）如图4，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝BC －CD ＝a －CD.
在Rt △ABD 中，AB 2－BD 2＝AD 2；在Rt △ACD 中，AC 2－CD 2＝AD 2，所以AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，即
c 2－（a －CD ）2＝b 2－CD 2，整理得a 2＋b 2＝c 2＋2a•CD. 因为a ＞0，CD ＞0，所以a 2＋b 2＞c 2.
图4 图5
（2）a 2＋b 2＜c 2.验证如下：如图5，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，则BD ＝BC ＋CD ＝a ＋CD. 在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2；在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2，所以AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，即c 2－
（a ＋CD ）2＝b 2－CD 2，整理得a 2＋b 2＝c 2－2a•CD.
因为a ＞0，CD ＞0，所以a 2＋b 2＜c 2.
第3章 勾股定理综合测评（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6 cm 和8 cm ，则斜边的长为（ ）
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 10 cm
D. 14 cm
2. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AB=13，BC=12.若以AC 为边长作正方形（图中阴影部分），则这个正方形的面积为（ ）
A. 5
B. 10
C. 20
D. 25
3. 若三角形的三边长分别为3 cm ，4 cm 和5 cm ，则这个三角形的最大内角的度数是（ ）
A. 45º
B. 90º
C. 135º
D. 150º
图 4
图 3 图2 图1 B
4. 从5，9，12，13，17这5个数中选取3个数，可以作为勾股数的一组是（ ）
A. 5，9，12
B. 5，9，13
C. 5，12，13
D. 9，12，17
5．下面说法正确的是（ ）
A ．在Rt △ABC 中，∠A ，∠
B ，∠
C 所对的边分别为a ，b ，c ，则a 2+b 2=c 2
B ．在Rt △AB
C 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=3，b=4，则c=5
C ．直角三角形的两直角边长都是5，那么斜边长为10
D ．直角三角形中，斜边最长
6. 图2的虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，AC=3 cm ，BC=2.5 cm ，现将4个直角三角形中边长为3 cm 的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长是（ ）
A. 26 cm
B. 34 cm
C. 36 cm
D. 38 cm
7. 如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90º，点D 在BC 上，连接AD ，且AD=BD ，若BD=10，BC=16，则AC 的长为（ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
8. 图4所示是一个十字路口，O 是两条公路的交点，点A ，B ，C ，D 分别表示公路上的四辆车.若OC=
80 m ，AC=170 m ，AB=50 m ，BD 2=50 000 m 2，则C ，D 两辆车之间的距离为（ ）
A. 50 m
B. 40 m
C. 30 m
D. 20 m
9. 如图5，在单位长度为1的正方形组成的网格图中标有AB ，CD ，AE ，
DE 四条线段，其中能构成一个直角三角形的三条线段的是（ ）
A. AB ，CD ，AE
B. AE ，DE ，CD
C. AE ，DE ，AB
D. AB ，CD ，ED
10. 如图6，圆柱底面的半径为 2cm ，高为9 cm ，A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一条线上，用一根棉线从点A 顺着圆柱侧面绕3圈到点B ，
则这根棉线的长度最短是（ ）
A. 12 cm
B. 15 cm
C. 18 cm
D. 21 cm
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c=b+1，a=9，则b=＿＿___.
12. 在△ABC 中，已知∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，且三边长满足（a+c+b ）（a 2+c 2-b 2）=0.若∠A=30º，则∠C 的度数是______.
13. 图7所示的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，若正方形A ，B 的边长分别为8 cm ，6 cm ，正方形C 的面积S C =35 cm 2，则正方形D 的面积S D =_______.
14. 如图8所示，为修筑铁路需凿通隧道AC ，现测量出∠ACB=90º，AB=6 km ，BC=4.8 km ，若每天凿隧道200 m ，则_______天才能把隧道AC 凿通.
15. 如图9，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若AB 2+BE 2=16，AD 2+DF 2=25，EF=x ，∠AEB=∠CFE ，则x=_______.
16. 如图10，由8个全等的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成一个大正方形，如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，则下列结论：①a 2+b 2=13；②（a-b ）2=1；③ab=6.
其中正确结论的序号为_______.
三、解答题（共52分）
图10 图9 图8 图7
图5 图6 B A
17.（6分）如图11，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，AB=17 cm ，AD=8 cm ，求△ABC 的周长.
18.（8分）如图12-①，在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1 m. 一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面（如图12-②所示）. 经测量得知红莲移动的水平距离为2 m ，试问：这里的水深是多少？
19.（8分）观察下列各式：
32-4=5，4×3=12，32+4=13，则5，12，13组成一组勾股数；
42-4=12，4×4=16，42+4=20，则12，16，20组成一组勾股数；
52-4=21，4×5=20，52+4=29，则21，20，29组成一组勾股数；
……
你能否得出结论，对于任意大于2的整数k ，k 2-4，4k ，k 2+4组成一组勾股数？请说明理由.
20.（8分）图13所示是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c.
（1）请你从面积的关系出发，写出一个关于a ，b ，c 的等式，并验证你的结论正确；
（2）利用（1）中得到的等式解决问题：若a+b=7，ab=12，求c 的值.
21. （10分）图14所示是一个长方体的透明鱼缸，假设其长AD ＝80 cm ，高AB ＝60 cm ，水深AE ＝40 cm ，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG ＝60 cm. 一只小虫想从鱼缸外的A 点沿缸壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵.
（1）小虫应该走怎样的路线使爬行的路程最短？请你在图中画出它的爬行路线，并用箭头标注；
（2）试求小虫爬行的最短路线长.
22. （12分）问题情境：在图15所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点. 尝试解决：（1）在图15-①中画一个Rt △ABC ，使其两直角边长分别为AB=3，BC=4（∠B=90º），并求出△ABC 的周长；
（2）合作交流：在图15-②中，能否画出一个△EFG ，使得EF 2=20，FG 2=5，EG=5，若能，求出∠EFG 的度数；若不能，请说明理由.
参考答案：
一、1. C 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. A 8. D 9. D
图15 ② ①
图14 图13
图12 ①
② 图11
10. B 提示：圆柱体的展开图如图1所示，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到
B 点的长度最短路线是AC→CD→DB .根据圆的周长公式可知，圆柱体的底面周长为
4 cm ，即长方形的宽为4 cm ，因为圆柱的高为9 cm ，所以，每个小长方形的一条边长
为3 cm ，根据勾股定理，得AC=CD=DB=5 cm ，所以AC+CD+DB=15（cm ）.
二、11. 40 12. 60º 13. 65 cm 2 14. 18 15. 3
16. ①②③ 提示：因为最大正方形的面积为25，所以由四个全等直角三角形拼成的
正方形的面积为13，所以a 2+b 2=13，①正确；因为最小正方形的面积为1，最小正方形的边长
为b-a ，所以（a-b ）2=1，②正确；因为a 2+b 2-4×ab 21=（a-b ）2，所以13-2ab=1，解得ab=6，③正确. 三、17. 解：因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BD=CD.根据勾股定理，得
BD 2=AB 2-AD 2=172-82=225，所以BD=15 cm ，BC=2BD=30 cm.所以△ABC 的周长为AB+AC+BC=17+17+30=64（cm ）.
18. 解：设水深为x m ，则红莲的高为（x ＋1）m.
根据勾股定理，得x 2+22=（x+1）2，解得x ＝1.5.故这里的水深为1.5 m.
19. 解：能.理由：因为（k 2-4）2+（4k ）2=k 4-8k 2+16+16k 2=k 4+8k 2+16，（k 2+4）2=k 4+8k 2+16，所以
（k 2-4）2+（4k ）2=（k 2+4）2.所以，对于任意大于2的整数k ，k 2-4，4k ，k 2+4组成一组勾股数.
20. 解：（1）该图形的面积有两种求法：一种是以c 为边长的正方形的面积+2个直角三角形的面积；另一种是以b 为边长的正方形的面积+以a 为边长的正方形的面积+2个直角三角形的面积.根据两种求法的面积相等，得c 2+2×21ab=b 2+2×2
1ab+a 2，化简，得a 2+b 2=c 2. （2）因为a+b=7，所以（a+b ）2=49.所以a 2+2ab+b 2=49.
因为a 2+b 2=c 2，ab=12，所以c 2+2×12=49.所以c 2=25，即c=5.
21. 解：（1）如图2所示，以BC 所在直线为对称轴，作点A 的对称点A ′，连接A ′G ，则A ′G 的距离即为所求（即AQ ＋QG 的长度）.
（2）因为AE ＝40 cm ，AA′＝120 cm ，所以A′E ＝120－40＝80（cm ）. 在Rt △A′EG 中，EG ＝60 cm ，根据勾股定理，得A′G 2＝A′E 2＋EG 2＝802＋602＝10 000.所以A′G ＝100 cm.所以AQ ＋QG ＝A′Q ＋QG ＝A′G ＝100 cm.所以小虫爬行的最短路线长为100 cm.
22. 解：（1）如图3-①所示，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，根据勾股定理，得AC=5.
所以△ABC 的周长=3+4+5=12.
（2）能.如图3-②所示，因为EF 2+FG 2=20+5=25，EG 2=52=25，所以EF 2+FG 2=EG 2.
所以△EFG 是直角三角形，且∠EFG=90º.
图3 ② ①
C
B
A E F G 图2
4 图1。