杂质半导体的载流子浓度

四、杂质半导体的载流子浓度
1、半导体的分类 以材料分 以能带结构分 以纯度分 以杂质浓度分 元素半导体 化合物半导体（III-V, II-VI, 多元) 直接带隙半导体 间接带隙半导体 本征半导体 杂质半导体
impurity atoms, Boltzemann Statistics) 重掺杂半导体(impurity band, Fermi Statistics) （单）晶态半导体
轻掺杂半导体(no interaction between
以晶体结构分 多晶半导体 非晶半导体


2、杂质能级被电子（或空穴）占据的几率 • 单电离杂质 • 浅能级杂质III、V族 • 轻掺杂
ND: 施主杂质浓度 --- 已电离nD+; 未电离nD； nD+ + nD = ND NA: 受主杂质浓度 --- 已电离pA-; 未电离pA； p A - + pA = N A 能带中的一个能级：可以容纳自旋相反的两个电子； 杂质能级：只能容纳一个电子，自旋任意； 离化施主能级只能接受一个电子


因此：电子占据施主能级的几率： 空穴占据受主能级的几率： 当: ED-EF>>koT, fD(E) ~ 0, nD ~0, nD+ ~ND
gD =2, gA = 4
当: ED-EF =0, fD(E) = 2/3, nD =2ND/3, nD+ ~ND/3 当: EF-ED >> koT, fD(E) ~ 1, nD ~ ND, nD+ ~0 1、施主能级上的电子浓度： 2、受主能级上的空穴浓度： 3、电离施主浓度： 4、电离受主浓度：


3、电中性条件 半导体中 正电荷数 = 负电荷数
本征半导体： p = n 杂质半导体： p+nD+ = n+pA离化的施主、受主是固定的，不参与导电 电子、空穴分别位于导带、价带，参与导电 p + ND –nD = n + NA - pA 本征 n type p type p=n n = p + N D – nD p = n + NA -pA


4、n型半导体的载流子浓度（只含一种施主杂质）
掺杂有施主杂质的硅样品中，电子浓度n随温度的变化
低温杂质电离区：低温弱电离 --- 中间 电离区； 杂质饱和电离区：强电离 --- 过渡区； 高温本征激发区：高温本征激发； 0K n=0 p=0 无本征激发 无杂质电离 300K 600K
n = ND n = p = ni p = ni2/ND 本征激发 杂质全部电离
由于杂质的电离能比半导体的禁带宽度小很多，杂质电 离和本征激发发生在不同的温度范围，从而载流子在不同 温度的来源不同。

(1) 低温杂质电离区 T=0 n=0 p=0
弱电离
T=T1 (a段) n=nD+ + p p=0
在极低温度下,(0K到数十度K), 少量施主电离,本征激 发可以忽略
Nce -(Ec-EF)/koT = ND/(1+2e –(ED-EF)/koT) nD+ << ND e –(ED-EF)/koT >> 1 Nce -(Ec-EF)/koT = (NDe 求费米能级 EF
(E -E )/koT)/2 D F
上式两边取对数
ln(Nc) -(Ec-EF)/koT = ln(ND/2)+ (ED-EF)/koT koTln(ND/2Nc) EF = (Ec+ED)/2 + 2
• EF在ED之上
• 取决于T,ND,ED,Nc


求导带电子浓度 n
n = Nc exp [-(Ec-EF)/koT]
代入前面所求出的EF，有：
施主杂质电离能
n ∝ T ¾ exp (-∆ED/2koT) ∆ 讨论1: 讨论2: ln (nT-3/4) ∼ T 斜率: - ∆ED/2koT
T
n
ln (n) = ln (NDNc/2)/2 - ∆ED/2koT 可以确定杂质电离能∆ED ∆ a: ∆ED小 b: ∆ED大
a b
∆ED小, n大 T一定时 ∆ED大, n小
∆ED小, 进入强电离区温度低; ∆ED大, 进入强电离区温度高;


讨论3:
在低温弱电离区费米能级随温度的变化？
因为Nc ~ T3/2 随着温度T上升，开始时，2Nc<ND EF增大，意味着向导带底移动； 随着温度T继续上升，2Nc 增加， EF增大速 度变小，存在极值；
注意： ND一定， Nc随温 度上升而增大！
当dEF/dT = 0, 即：Nc = (ND/2) e-3/2 = 0.11ND时，EF达到极值 此时： (EF)max = (EC+ED)/2 + 0.76koT 此后，随着T上升，费米能级偏离导带底向下移动； 当EF = ED时， fD(E) = 2/3, 施主杂质电离1/3;


(2) 饱和区 T
(b段)
可从饱和区得到掺杂浓度
n∼1/T ∼
ED – EF >> koT n = nD+ ∼ ND 此时有：
因而费米能级为： (1) T EF Ei Ec
(2) 一定温度下, ND EF 多数载流子浓度 n0 少数载流子浓度 p0
(3) 对于p型半导体： p = NA, EF = Ev +koTln (Nv/NA) 一定温度下, NA EF Ev
在本例中 ND=?


(3) 高温本征激发区 (c段) １、本征激发的临界温度 当温度T上升使得： (ni) = ND/10 (n-type) (ni) = NA/10 (p-type)
n∼1/T ∼
开始进入本征激发范围。

此温度为杂质饱和电离区的温度上限。

当T继续上升，n=p=ni >>ND (或NA)时，就完全进入本征激发区 可以由 ni2 = (ND+ND/10) (ND/10) 求出临界温度T ２、杂质浓度越大，进入本征激发区的温度就越高； ３、杂质浓度相同的情况下，禁带宽度大的材料临界温度也高；


(4) 室温时杂质全部电离时的杂质浓度上限
n0 = ND
D- = nD/ND：未电离施主占施主杂质总数的百分比, 它与温 度，杂质浓度和杂质的电离能有关。

由式
可以对不同的∆ED和ND确 ∆ 定杂质基本全部电离(90%) 所需要的温度.
杂质浓度越低，杂质的电离能越小，则达到全部电离的温度越低。

设：杂质全部电离时， nD+ = 90% ND 则： D- = 10% 由nD/ND = 0.1,可得到ND = 0.1x(Nc/2)exp(-∆ED/koT) 当杂质电离能和温度一定时（例如硅中掺磷，室温下），要 求杂质全部电离(90%)时，就对杂质浓度有一个限制。

当超 过这一浓度时，室温下全部电离的假设就不成立了。

例子： n-type Si, ∆ED = 0.044eV, koT = 0.026eV (R.T) Nc = 2.8x1019 /cm3 要求全部电离，即: (2ND/Nc) exp(∆ED/koT) ≤ 10% 代入数据，有 ND ≤ 3x 1017 /cm3 当杂质浓度超过上述数值后，室温下杂质不能认为是全部 电离（重掺杂）


(5) 过渡区 n = p+ND np=ni2 n=ND/2 + [ND2 + 4ni2]1/2/2 = 2ni2 ND ND 2 p= ni/n = 4ni2 1/2 ) ] [1+(1+ ND2
4ni2 1/2 -1 ) ] [1+(1+ ND2 )1/2 4ni2 1 = 1+ + ….. 2 ND2
若ND >>ni时，(1+
4ni2 ND2
n=ND+ni2/ND, p=ni2/ND 若ND << ni时， n= N /2+n , p= -N /2+n D i D i n与 p数量相近


5、p型半导体的载流子浓度和费米能级 低温弱电离区
强电离(饱和区)
D+是未电离受主杂质的比例
过渡区


6、杂质半导体的载流子浓度和费米能级—讨论
杂质半导体的载流子浓度


杂质半导体中的费米能级 由n0和p0方程： 可以推出： n0/p0 = (Nc/Nv) exp[-(Ec+Ev-2EF)/koT] 两边取对数， 有：EF = (Ec+Ev)/2 +(koT/2)ln(Nv/Nc) +(koT/2)ln(n0/p0) 故： EF = Ei + (koT/2)ln(n0/p0) ~ E0 +(koT/2)ln(n0/p0) n-type: n0 >> p0, EF > E0
Ec EF E0 Ev
Ei：本征半导体费米能级
p-type: p0 >> n0, EF <E0
Ec E0 EF Ev
n型半导体费米能级在禁带上半部
p型半导体费米能级在禁带下半部


EF = Eo + (koT/2)ln(n0/p0) 在饱和区： 1、n-type: n0 = ND, p0 = ni2/ND EF = Eo + (koT/2)ln(ND/ni)2 = Eo + koTln (ND/ni) 2、p-type: p0 = NA, n0 = ni2/NA EF = Eo + (koT/2)ln(ni/NA)2 = Eo - koTln (NA/ni) 因此： 杂质半导体的费米能级取决于： • 半导体材料；ni (Eg) • 掺杂类型和浓度； ND, NA • 温度T;


由费米能级随杂质浓度变化曲线，可分析和得到以下几点： 1、n-type: EF-E0 = koTln(ND)-koTln(ni); (EF-E0)~ln(ND) 斜率=koT p-type: EF-E0 = koTln(NA)+koTln(ni); (EF-E0)~ln(NA) 斜率=-koT 2、n = p, EF = E0, ni = 1.5x1010 /cm3 (300K) 3、T上升， ni上升， ni =6x1012 /cm3 (400K) 斜率也上升(koT), EF E0 4、 ND,NA ~ 1018 /cm3时， EF Ec(Ev)
Ec - EF >> koT 不能满足 EF – Ev >> koT


掺杂对费米能级的影响


五、一般情况下的载流子统计分布
一般情况: 半导体是电中性的,在热平衡时 若存在多种施主和受主杂质时,有: 考虑到
nD+ = ND-nD, pA- = NA-pA
对一定的半导体,上式中的变数只有EF和T 解决方法: 计算机求解, 图解法


图解法 - Ge


考虑含少量受主杂质的n型半导体，即ND>NA 低温下，施主上的电子首先填充受主能级 由： n+NA-pA = p+ND-nD 低温下，忽略pA, p 则： ND=n+NA+nD n= Ncexp[-(Ec-EF)/koT]=Ncexp(-∆ED/koT)exp([-(ED-EF)/koT) e(EF-ED)/koT ne∆E /koT = = Nc
D
补偿
n+NA = ND/(1+2 ne
∆ED/koT
)
Nc


2n(NA+n) ND-NA-n 极低温时：n<<NA n=
= Nc e(-∆E /koT)
D
Nc(ND-NA) 2NA
e -∆E /koT
D
EF = ED + koTln[(ND-NA)/2NA] T 上升： NA << n << ND n=(NcND/2) ½ e - ∆E /2koT
D
EF > ED T EF 0K ED
ND<2Nc EF < (Ec+ED)/2 ND>2Nc EF > (Ec+ED)/2
EF=(Ec+ED)/2 + koTln(ND/2Nc)/2


T再升高，施主杂质电离程度增加，受主杂质已不产生显著作用 T升高到EF降到ED之下，且ED-EF>>koT时 施主杂质全部电离， n = ND-NA 导带中的电子取决于两种杂质浓度之差，与温度无关， 半导体进入饱和区 EF = Ec+koTln[(ND-NA)/Nc] 当本征激发不可忽略时， n+NA = p+ND np=ni2 n=(ND-NA)/2 + [(ND-NA)2 + 4ni2]1/2/2 p=-(ND-NA)/2 + [(ND-NA)2 + 4ni2]1/2/2
EF = Ei +koTln{(ND-NA)+[(ND-NA)2+4ni2]1/2/2ni} 当到达本征时： EF=Ei
对含有施主杂质的p型半导体，可作类似讨论


对于NA=0的情况： （过渡区） n=ND/2 + [ND2 + 4ni2]1/2/2 = ND 2 4ni2 1/2 ) ] [1+(1+ 2 ND
4ni2 1/2 -1 2ni2 ) ] p= ni/n = [1+(1+ 2 ND ND 若ND >>ni时，(1+ 4ni2 ND )1/2 = 1+ 2 4ni2 2 ND2 + …..
n=ND+ni2/ND, p=ni2/ND 若ND << ni时， n= N /2+n , p= -N /2+n D i D i n与 p数量相近


六、简并半导体 (degenerate semiconductor)
对于n型半导体，其在饱和区的费米能级为：
一般情况下：ND<<Nc,因此，费米能级在导带底Ec之下，但当 ND≥Nc时，EF将与Ec重合或在Ec之上。

对于p型半导体，费米 能级也会低于价带顶处于价带中。

这种情况称为载流子的简并 化。

发生载流子简并化的半导体称为简并半导体。

非简并 以n型为例： 简并
• E-EF >> koT,导带中的能 级被电子占据几率小； • 不考虑泡利不相容原理； • 可用玻尔兹曼分布函数；
• E-EF >> koT条件不满足,导带 中附近能级被电子占据几率 大； • 必须考虑泡利不相容原理； • 必须用费米分布函数；
此时的导带中电子浓度n=? 费米能级EF=?


1、简并半导体的载流子浓度：
考虑到此时导带电子浓度必须用费米分布函数，因而有： ∞ n0 = ∫Ec Zc(E) f(E)dE 代入状态密度函数Zc(E)和费米分布函数f(E)，得到：
费米积分
则
对于n型半导体： 对于p型半导体：


确定费米能级EF:
n-type n = 1020 /cm3 Nc = 2.8x1019 /cm3 F ½ (ξ) = n Nc 2 √π = 3.2
由右图查得： ξ = (EF-Ec)/koT = 4
EF = Ec + 4koT


2、简并化条件
当EF = Ec时，由玻耳兹曼分布与费米分布导致的载流子浓 度的差异就很明显了，实际上，当EF接近但未超过导带Ec 时，就已经有了简并化效果。

可以把EF和Ec的相对位置作为区分简并与非简并化的标准： Ec-EF > 2KT 非简并 0 < Ec-EF ≤ 2KT 弱简并 Ec-EF ≤ 0 简并
只含一种施主杂质的n型半导体在杂质浓度为多少时发生简并？
no = nD+


由上式可得到： 简并化条件： EF = Ec 即发生简并时的杂质浓度为： 分析：
代入：F1/2 (0) = 0.6，得到：
1、ND > Nc, 简并情况； ND < Nc, 非简并情况； 2、∆ED小， 发生简并化的杂质浓度ND小； 3、Nc = ND T3/2 ND = AT3/2 [1+2exp(∆ED/koT)]
在极低温度时，第二个指数因子随温度的变 化是主要的，它随温度上升而急剧下降；在 足够高的温度时，第二项的指数变得很小， 这时第一个因子随温度变化为主，它随温度 上升而增大。

因此对于掺杂浓度一定的半导 体是否发生简并化还取决于温度。

上述分析表明：发生简并化有一个温度范围：T1T2，杂质浓度越大，发生简并的温度范围越宽。

Si, Ge: Nc ~ 1018-1019/cm3, 室温下发生简并的杂质浓 度在1018-1019/cm3以上； GaAs 的Nc比Nv小得多，所以导带电子容易发生简并化，施 主杂质浓度只要超过1017/cm3就开始发生简并； 当杂质浓度超过一定数量后，载流子开始简并化的 现象称为重掺杂，这种半导体称为简并半导体。

简并时杂质没有充分电离
nD+ = ND/[1+2exp(∆ED/KT)] (EF=Ec) Si(P): nD+ = 0.084ND 只有8.4%是电离的


3、杂质能带与杂质带导电

















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