2016年全国2卷数学答案及解析

2016年全国2卷数学答案及解析
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Part I
1.Multiple Choice: This n contains 12 ns。

each worth 5 points。

Choose the one n that best answers the n from the four provided.
1) Given z = (m+3) + (m-1)i。

where z corresponds to a point in the fourth quadrant of the complex plane。

what is the range of possible values for m?
A) (-3,1) (B) (-1,3) (C) (1,∞) (D) (-∞,-3)
Answer] A
Analysis] To ensure that the point corresponding to z is in the fourth quadrant。

we need to satisfy the n that:
m+3>0
m-1<0
Solving this system of inequalities yields -3 < m < 1.so the answer is A.
Concept] Geometric n of complex numbers
Insight] Problems involving the n of complex numbers and the n of corresponding points can be ___ real and imaginary parts of the complex number must ___ the complex number to algebraic form and write a system of ns (inequalities) for the real and imaginary parts.
2) Given sets A = {1,2,3}。

B = {-1,0,1,2}。

and C = {x | (x+1)(x-2) < 0.x ∈ Z}。

what is A ∩ B ∩ C?
A) {1} (B) {1,1,2,3} (C) {0,1,2,3} (D) {2}
Answer] C
Analysis] Set B = {x | -1 < x < 2.x ∈ Z} = {0,1}。

and since A = {1,2,3}。

we have AB = {0,1,2,3}。

Therefore。

the answer is C.
Concept] Set ns
Insight] Problems involving set n。

n。

and complement should be simplified before n。

and often can be solved using a number line or Venn diagram.
3) Given vectors a = (1,m) and b = (3,-2)。

and (a+b)⊥b。

what is the value of m?
A) -8 (B) -6 (C) 6 (D) 8
Answer] D
Analysis] We have a+b = (4,m-2)。

and since (a+b)⊥b。

we have 4×3 + (m-2)×(-2) = 0.Solving for m yields m = 8.so the answer is D.
Concept] Coordinate ns and dot product of vectors
Insight] Problems ___.
本文是一篇数学题目解析，主要涉及到几何学和计数原理的知识点。

文章中第一部分介绍了向量的模、夹角和坐标表示等概念，并给出了一个关于圆和直线的问题，通过几何法和代数法来判断它们的位置关系。

第二部分是关于计数原理的问题，通过分类加法计数原理和分步乘法计数原理来解决一个路径选择的问题。

第三部分是一个几何体的表面积计算问题，需要计
算圆柱和圆锥的侧面积并相加。

文章中没有明显的格式错误或有问题的段落，但可以对一些术语和符号进行适当的改写，以使得内容更加易懂。

圆柱的底面面积为S=π·22=4π，因此该几何体的表面积为S=S1+S2+S3=28π，故选C。

考点】三视图，空间几何体的表面积
名师点睛】通过三视图还原几何体的方法：
7）若将函数y=2sin2x的图像向左平移k个单位长度，则平移后图像的对称轴为x=-(k∈Z)。

答案】B
考点】三角函数图像的变换与对称性
名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加或减多少值，而不是依赖于ωx加或减多少值。

8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=17.
答案】C
解析】由题意，当x=2，n=2，k=0，s=0，输入a=2，则循环；输入a=2，则s=2·2+2=6，k=2，循环；输入a=5，
s=6·2+5=17，k=3>2，结束。

因此输出的s=17，选C。

考点】程序框图，直到型循环结构
名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。

当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。

9）若cos(π/3-α)=1/√2，则sin2α=-7/25.
答案】D
解析】由题意，cos(π/3-α)=1/√2，因此2cos(π/3-α)-1=-1/√2.又有cos2α=1-sin2α，代入得到：2cos(π/3-α)-1=1-2sin2α，整理得到sin2α=-7/25.因此选D。

考点】三角恒等变换
名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差。

(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系。

随机抽取 $2n$ 个数 $x_1,x_2,\dots,x_{2n}$ 构成 $n$ 个数对 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，其中两数的平方和小于 $1$ 的数对共有 $m$ 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $\pi$ 的近似值为（C）$4m/n$。

解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为$S_{\text{圆}}/S_{\text{正方形}}=\pi R^2/4R^2n=\pi/4n$，所
以 $m$ 个数对对应的圆形面积为 $S_{\text{圆}}=m/\pi$，而正
方形面积为 $S_{\text{正方形}}=1$，因此 $m/\pi=1$，即
$\pi=4m/n$。

选 C。

考点】几何概型。

名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解。

已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 $E: x^2/2-y^2/2=1$ 的左、右焦点，点 $M$ 在 $E$ 上，$MF_1$ 与 $x$ 轴垂直，
$MF_2/F_1=3/2$，则 $E$ 的离心率为 $2$。

解析】由双曲线的性质可得 $c^2=a^2+b^2$，其中
$a=\sqrt{2}。

b=\sqrt{2}$，因此 $c^2=4$，即 $c=2$。

又因为$MF_1$ 与 $x$ 轴垂直，所以 $F_1$ 的坐标为 $(0,\sqrt{2})$，
而 $MF_2/F_1=3/2$，所以 $F_2$ 的坐标为 $(0,-\sqrt{2})$。

设$M$ 的坐标为$(x,y)$，则有$(x/\sqrt{2})^2-(y/\sqrt{2})^2=1$，即 $x^2-y^2=2$。

又因为 $MF_1$ 与 $x$ 轴垂直，所以
$MF_1$ 为双曲线的准线，即 $MF_1=\sqrt{2}$，从而
$MF_2=\sqrt{2}\cdot 3/2=\sqrt{6}$。

由于 $MF_1$ 与
$MF_2$ 均为焦距，所以 $F_2M^2-F_1M^2=4$，即 $(x-
0)^2+(y+\sqrt{2})^2-[(x-0)^2+(y-\sqrt{2})^2]=4$，即
$4\sqrt{2}y=4$，从而 $y=1/\sqrt{2}$。

代入 $x^2-y^2=2$ 可得$x=3/\sqrt{2}$。

因此 $M$ 的坐标为 $(3/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$，又因为 $c=2.a=\sqrt{2}$，所以离心率为
$e=c/a=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}$。

选 A。

考点】双曲线的几何性质、离心率。

名师点睛】区分双曲线中 $a,b,c$ 的关系与椭圆中
$a,b,c$ 的关系，在椭圆中 $a^2=b^2+c^2$，而在双曲线中
$c^2=a^2+b^2$。

双曲线的离心率 $e\in(1,+\infty)$，而椭圆的离心率 $e\in(0,1)$。

已知函数 $f(x)(x\in\mathbb{R})$ 满足 $f(-x)=2-f(x)$，若函数 $y=f(x)$ 与函数 $y=x+1$ 的图像的交点为
$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_m,y_m)$，则
$\sum\limits_{i=1}^m (x_i+y_i)=m$。

解析】由 $f(-x)=2-f(x)$ 可得 $f(x)+f(-x)=2$，即函数
$f(x)$ 为偶函数。

因此函数 $y=f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称。

又因为函数 $y=f(x)$ 与函数 $y=x+1$ 的图像的交点为
$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_m,y_m)$，所以这些点关于直线$y=x+1$ 对称。

设对称后的点为
$(x_1',y_1'),(x_2',y_2'),\dots,(x_m',y_m')$，则 $x_i'+y_i'=2(x_i-1/2)+1=x_i+y_i+1$，从而 $\sum\limits_{i=1}^m
(x_i+y_i)=\sum\limits_{i=1}^m (x_i'+y_i')=m$。

选 B。

考点】函数的图像与性质。

名师点睛】如果函数 $f(x)$，$\forall x\in D$，满足
$\forall x\in D$，恒有 $f(a+x)=f(b-x)$，那么函数的图像有对称轴 $x=(a+b)/2$；如果函数 $f(x)$，$\forall x\in D$，满足
$\forall x\in D$，恒有 $f(a-x)=-f(b+x)$，那么函数的图像有对称中心。

题目分析：本题为数学题，分为两部分。

第一部分为求解保费概率和保费比基本保费高出60%的概率，第二部分为证明和求解二面角的正弦值。

第一部分解析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X，求X的分布列为，在根据期望公式求解。

第二部分解析：（Ⅰ）证明AC∥EF，再证D H OH，最后证D H平面ABCD；（Ⅱ）用向量法求解二面角的正
弦值。

改写后的文章：
本文为数学题，分为两个部分。

第一部分为求解保费概率和保费比基本保费高出60%的概率。

第二部分为证明和求解
二面角的正弦值。

在第一部分中，首先用互斥事件的概率公式求解保费概率，然后用条件概率公式求解保费比基本保费高出60%的概率。

最后，记续保人本年度的保费为X，求X的分布列并根据期
望公式求解续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。

在第二部分中，首先证明AC∥EF，再证D H OH，最后证明D H平面ABCD。

然后用向量法求解二面角的正弦值。

I）设M（x1，y1），由已知得直线AM的斜率为k，即k=(y1+1)/(x1+3)，又由于MA⊥NA，所以MA的斜率为-k，即-(y1+1)/(x1+3)，又因为M在椭圆上，所以有
x1^2/9+y1^2=1，将直线AM代入椭圆方程得到一个关于x1和k的方程组，解得x1=3/(2k^2+1)，代入椭圆方程得到y1=√(1-x1^2*9)，从而得到AM和AN的长度，再用海伦公式求
△AMN的面积为2/7.
II）同样设M（x1，y1），代入直线AM和椭圆方程得到一个关于x1和k的方程组，解得x1=3/(2k^2+1)，代入
MA=2x1+6和NA=2√(1-x1^2*9)的公式得到关于t和k的方程组，解得2k^2-5t+6>0且k>√(t^2-16)/2，即k的取值范围为(√13，∞)。

线AM的方程y=k(x+t)代入椭圆的方程得到
(3+tk)x+2ttk2x+t2k2-3t=t2k2-3t，化简得到x= t(3-tk2)/(3+tk2)，因此AM=x+1/k=t(1+k2)/(3+tk2)，同理可得AN=2k/(3+tk)，由
2AM=AN得到k-2/t=2k/(3+tk)，解得t=3k(2k-1)/(23+tk)，当
k=3/2时t不存在，因此k的取值范围为(3/2,2)。

I）首先求出函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,∞)，然后求
导得到f'(x)=-(x+4)/(x+2)^2，因此f(x)在(-∞,-4)和(-4,-2)上单调
递减，在(-2,∞)上单调递增，因此当x>0时，f(x)单调递增，即
f(x)>f(0)，代入得到(x-2)ex/(x+2)ex+x+2>f(0)，化简得到(x-
2)ex+2ex>x+2ex，即(x-1)ex+2>0，因此(x-
2)ex/(x+2)ex+x+2>f(0)=(2e-1)/e。

II）对于g(x)=(x>0)，当a=0时，g(x)=1/x单调递减，当
a>0时，g(x)单调递增，因此存在唯一的x=a使得g(x)+a=0，
即g'(x)=-1/x^2=0，解得x=0，因此h(a)=g(0)+a=a，即h(a)的
值域为(0,1]，因为a的取值范围为[0,1)，所以h(a)的值域为(,]。

于是$h(a)=\frac{e^{x}+2e^{2x}}{2+2xe^{2x}+2e^{4x}}$，其中$x\in(0,2]$。

因为$h(a)$单调递增，且存在唯一的$x\in(0,2]$使得
$h(a)=\lambda$，其中$\lambda\in(0,\infty)$，所以$h(a)$的值域
为$(0,\infty)$。

综上，当$a\in[0,1)$时，$g(x)$有最小值$h(a)$，且
$h(a)$的值域为$(0,\infty)$。

考点】函数的单调性、极值与最值
名师点睛】求函数单调区间的步骤：
1)确定函数$f(x)$的定义域；
2)求导数$f'(x)$；
3)由$f'(x)>0$($f'(x)<0$)解出相应的$x$的范围。

当$f'(x)>0$时，$f(x)$在相应的区间上是增函数；当
$f'(x)<0$时，$f(x)$在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间。

注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念。

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形$ABCD$中，$E$，$G$分别在边$DA$，$DC$上（不与端点重合），且$DE=DG$，过$D$点作
$DF\perp CE$，垂足为$F$。

I）证明：$B$，$C$，$G$，$F$四点共圆；
II）若$AB=1$，$E$为$DA$的中点，求四边形$BCGF$的
面积。

答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
解析】
试题分析：
Ⅰ）证$\triangle DGF\sim\triangle CBF$，再证$B$，$C$，$G$，$F$四点共圆；
Ⅱ）证明$\triangle BCG\cong\triangle BFG$，四边形$BCGF$的面积$S$是$\triangle GCB$面积$S_{\triangle
GCB}$的2倍。

试题解析：
I）因为$DF\perp EC$，所以$\triangle DEF\sim\triangle CDF$，则有$\angle GDF=\angle DEF=\angle FCB$。

frac{DF}{DE}=\frac{DG}{DC}$，所以$\triangle
DGF\sim\triangle CBF$，由此可得$\angle DGF=\angle CBF$。

因此$\angle CGF+\angle CBF=180$，所以$B$，$C$，$G$，$F$四点共圆。

考点】三角形相似、全等，四点共圆
名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边。

相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等。

23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系$xOy$中，圆$C$的方程为
$(x+6)^2+y^2=25$。

I）以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，求$C$的极坐标方程：
由$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$可得圆$C$的极坐
标方程为$\rho+12\rho\cos\theta+11=0$。

II）直线$l$的参数方程是
$\begin{cases}x=t\cos\alpha,\\y=t\sin\alpha,\end{cases}$，$l$与$C$交于$A$，$B$两点，$|AB|=10$，求$l$的斜率。

在（I）中建立的极坐标系中，直线$l$的极坐标方程为
$\theta=\alpha(\rho\in\mathbb{R})$。

设$A$，$B$所对应的极径
分别为$\rho_1$，$\rho_2$，将$l$的极坐标方程代入$C$的极
坐标方程得$\rho^2+12\rho\cos\alpha+11=0$。

于是
$\rho_1+\rho_2=-12\cos\alpha$，$\rho_1\rho_2=11$，
$|AB|=|\rho_1-\rho_2|=\sqrt{(\rho_1+\rho_2)^2-
4\rho_1\rho_2}=144\cos^2\alpha-44$。

由$|AB|=10$得
$\cos2\alpha=\dfrac{3}{5}$，$\tan\alpha=\pm\dfrac{8}{3}$。

所
以$l$的斜率为$\dfrac{15}{15}$或$-\dfrac{1}{3}$。

考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程互化，直线的参数方程，弦长公式。

名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性。

24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数$f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x^2-1}$。

I）求$M$，$M$为不等式$f(x)<2$的解集。

先去掉绝对值，再分$x\leq-\dfrac{1}{1}$，$-
\dfrac{1}{1}<x<1$和$x\geq1$三种情况解不等式，即可得
$M=\{x|-1<x<1\}$。

II）证明：当$a$，$b\in M$时，$|a+b|<|1+ab|$。

采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当$a$，$b\in M$时，$a+b<1+ab$。