高中数学-复数的几何意义跟踪测试卷及答案

课时跟踪检测 （ 十五 ） 复数的几何意义
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)设z ＝(2m 2＋2m －1)＋(m 2－2m ＋2)i(m ∈R )，则下列结论中不正确的是 ( )
A ．z 在复平面内对应的点在第一象限
B ．z 一定不是纯虚数
C ．z 在复平面内对应的点在实轴上方
D ．z 一定是实数
解析：选ABD 2m 2＋2m －1＝2m ＋122－3
2，m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1>0，则z 在复平面
内对应的点一定在实轴上方．A 、B 、D 均不正确．
2．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是
( )
A ．(1，3)
B ．(1，5)
C ．(1,3)
D ．(1,5)
解析：选B |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)．故选B. 3．在复平面内，O 为原点，向量OA ―→对应的复数为8＋3i ，OA ―→与OB ―→
关于x 轴对称，则点
B 对应的复数为
( )
A ．8－3i
B ．－8－3i
C ．3＋8i
D ．－8＋3i
解析：选A 关于x 轴对称的复数是共轭复数，其实部相同，虚部互为相反数． 4．设O 为原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA ―→
对应的复
数为
( )
A ．－1＋i
B ．1－i
C ．－5－5i
D ．5＋5i
解析：选D 由已知可得OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(－3，－2)，所以BA ―→＝OA ―→－OB ―→
＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以BA ―→
对应的复数为5＋5i.故选D. 5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为
( )
A ．一个圆
B ．线段
C ．两点
D ．两个圆
解析：选A ∵|z |2－2|z |－3＝0，∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0， ∴|z |＝3，表示一个圆．故选A.
6．若z ＝a －i(a ∈R ，且a ＞0)的模为2，则a ＝______，复数z 的共轭复数z －
＝________.
解析：∵a 2＋(－1)2＝2，且a ＞0，
∴a ＝1，则z ＝1－i ，∴z －
＝1＋i. 答案：1 1＋i
7．i 是虚数单位，设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则xy ＝________，|x ＋y i|＝________.
解析：由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，∴x ＝y ＝1， ∴xy ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2. 答案：1
2
8．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限； (2)位于x 轴负半轴上； (3)位于上半平面(含实轴)．
解：(1)若点位于第四象限，则
m 2
－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，
∴
m <3或m >5，
－7<m <4，∴－7<m <3. (2)若点位于x 轴负半轴上，则
m 2
－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，∴
3<m <5，m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.
(3)若点位于上半平面(含实轴)，
则m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.
层级(二) 能力提升练
1．已知复数z 对应的向量为OZ ―→ (O 为坐标原点)，OZ ―→
与实轴正向的夹角为120°，且复数z
的模为2，则复数z ＝
( )
A ．1＋3i
B ．2
C ．(－1，3)
D ．－1＋3i
解析：选D 设复数z 对应的点为(x ，y )，
则x ＝|z |·cos 120°＝2×－1
2＝－1，
y ＝|z |·sin 120°＝2×
3
2
＝3， 所以复数z 对应的点为(－1，3)，所以z ＝－1＋3i.
2．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．
解析：∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案：9
3．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2
＝__________，复数z 2在复平面内对应的点在第________象限．
解析：设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，
(x －1)2
＋(y －2)2
＝20，x 2＋y 2
＝41.
解得
x ＝5，y ＝4
或
x ＝15
，
y ＝32
5.
所以z 2＝5＋4i 或15＋32
5
i ，显然复数z 2对应的点在第一象限．
答案：5＋4i 或15＋32
5
i 一
4．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA ―→与OB ―→，其中O 是原点，求向量OA
―→
＋OB ―→与BA ―→
对应的复数及A ，B 两点之间的距离．
解：因为复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA ―→与OB ―→，其中O 是原点，所以OA ―→
＝(－3，－1)，OB ―→
＝(5,1)，
所以OA ―→＋OB ―→
＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)， 所以向量OA ―→＋OB ―→
对应的复数是2.
又BA ―→＝OA ―→－OB ―→
＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)， 所以BA ―→
对应的复数是－8－2i ，A ，B 两点之间的距离 |BA ―→
|＝(－8)2＋(－2)2＝217.
5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模：z 1＝1－i ；z 2＝－12＋3
2
i ；z 3
＝－2；z 4＝2＋2i.
解：在复平面内分别画出点Z 1(1，－1)， Z 2－12，3
2，Z 3(－2,0)，Z 4(2,2)，
则向量
OZ 1―→，OZ 2―→，OZ 3―→，OZ 4|―→
分别为复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量，如图所示． 各复数的模分别为： |z 1|＝12＋(－1)2＝2；
|z 2|＝
－122＋
322＝1； |z 3|＝(－2)2＝2；|z 4|＝22＋22＝2 2. 层级(三) 素养培优练
设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ ―→
. (1)若OZ ―→的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ ―→|； (2)若OZ ―→
的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围． 解：(1)因为OZ ―→
的终点Z 在虚轴上，所以复数Z 的实部为0， 则有log 2(m 2－3m －3)＝0，
所以m 2－3m －3＝1，所以m ＝4或m ＝－1.
因为
m 2
－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，
此时z ＝i ，OZ ―→＝(0,1)，|OZ ―→
|＝1.
(2)因为OZ ―→
的终点Z 在第二象限内，则有
log 2(m 2－3m －3)<0，
log 2(m －2)>0，m 2
－3m －3>0，
m －2>0，
所以m ∈
3＋212，4.。