山西省阳泉市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析

山西省阳泉市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在
过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
122x y -=
B ．2
2
13
y x -=
C ．2
213
x y -=
D ．22
144
x y -=
【答案】A 【解析】 【分析】
点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】
不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，
APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，
因为2tan a APF m +∠=
，2tan a
BPF m
-∠=， 所以(
)2222tan tan 221a a
a a m m APB APF BPF a a
b b m m m m +--
∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2
b m m
=()0m >，即当m b =时，等号成立，
此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，
点P 的坐标为()2,b ，代入22
221x y a b
-=
可得a =
b ==
所以双曲线的方程为22
122
x y -=．
故选：A 【点睛】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
2．已知函数22,0,
()1,0,
x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩…，则((1))f f -=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数直接计算得到答案. 【详解】
因为22,0,()1,0,
x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩…所以2
((1))(2)222f f f -==-=.
故选：A . 【点睛】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
3．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）
A ．4
B ．
34
C ．
211
D ．
14
【答案】D 【解析】
试题分析：先画出可行域如图：由{
2
y x x y =+=，得(1,1)B ，由{
x a y x
==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点
(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数
2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以1
4
a =
，故选D.
考点：线性规划.
4．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y
⎧==
⎨⎩则()U A B =I ð（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】
{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1
,U A ∴=+∞ð， ()[)1
,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 5．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）
A ．3
B ．5
C D 【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】
() 125i z i -=（i 是虚数单位）
可得()125i z i -=
解得z =本题正确选项：D 【点睛】
本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.
6．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )
A B ．
3
C ．
3
D 【答案】D
【解析】 【分析】
设圆锥底面圆的半径为r
，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】
设圆锥底面圆的半径为r
，由已知，1
22
r ⨯=
r =
所以圆锥的体积2
13
V r π=
=3
. 故选：D 【点睛】
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 7．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -
C ．1-
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
2
1i
z =
+，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)
z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 8．设复数121,1z i z i =+=-，则12
11
z z +=（ ） A ．1 B ．1-
C ．i
D ．i -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，代入化简即可求解. 【详解】
复数121,1z i z i =+=-，
则
12
11z z + 1111i i
=
++- ()()()()
111111i i
i i i i -+=
++--+
11122
i i
-+=
+= 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.
9．已知向量a r ，b r
夹角为30°
，(a =r ，2b =r ，则2a b -=r r ( )
A ．2
B ．4
C
．D
．【答案】A 【解析】 【分析】
根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【详解】
由于
2a b -=
==
r r
2=， 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 10．已知偶函数()f x 在区间(],0
-∞
内单调递减，(
a f =，sin 5
b f π⎛⎫
⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
2
314c f ⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a ，b ，c 满足（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
【答案】D 【解析】 【分析】
首先由函数为偶函数，可得函数()f x 在[)0,+∞
内单调递增，再由sin 5π⎛⎫
>- ⎪⎝⎭23
14⎛⎫> ⎪⎝⎭
，即
可判定大小 【详解】
因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，
1>，1sin ,152π⎛⎫⎛⎫
-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2
3110,42⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴c b a <<.
故选：D 【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题. 11． “1
cos 22α=-
”是“3
k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出满足1
cos 22
α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-
得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1
cos 22α=-”是“3
k παπ=+，
k Z ∈”的必要不充分条件．
故选：B ． 【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
12．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，
c 的表述正确的是（ ）
A ．1a >，1c >
B ．1a >，01c <<
C ．01a <<，1c >
D ．01a <<，01c <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】
从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】
本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在等比数列{}n a 中，345564,8a a a a ==，则2a =________． 【答案】1 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得
4222
412a a q =
==即可. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q .由34564a a a =,得()3
464a =,解得44a =.又由58a =,得5
4
2a q a =
=.则4222
412a a q =
==. 故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.
14．6
21ax x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中3x 项系数为160，则a 的值为______. 【答案】-2 【解析】 【分析】
表示该二项式的展开式的第r+1项，令其指数为3，再代回原表达式构建方程求得答案. 【详解】
该二项式的展开式的第r+1项为()
()62
612316
611r
r
r r r r r r T C ax a C x
x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭
令12333r r -=⇒=，所以()363312333346120T a C x a x --⨯=-⋅⋅=-，则3201602a a -=⇒=-
故答案为：2- 【点睛】
本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.
15．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值__________．
【答案】3 【解析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2， 如图所示，1,2,,//,AD BC SB x AD BC SB ===⊥平面,ABCD AD AB ⊥，
所以底面积为1
(12)232
S =
⨯+⨯=， 几何体的高为x ，所以其体积为1
3333
V x x =⨯⨯=⇒=．
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 16．函数2
2ln 2()x f x x
+=
的图象在2e
x =处的切线方程为__________． 【答案】3
40320x e y e +-= 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义,对2
2ln 2()x f x x +=求导后在计算在2e
x =处导函数的值,再利用点斜式列出方程化
简即可. 【详解】
2
44
1(2ln 2)22(2ln 2)()x x x x x x x f x x x ⋅-+⋅-+'==,则切线的斜率为3402e f e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭
. 又2122e f e
⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以函数
()f x 的图象在2e x =处的切线方程为2312402e y x e e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,即340320x e y e +-=.
故答案为：3
40320x e y e +-= 【点睛】
本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos 5A =，1tan()3
B A -=． （1）求tan B 的值；
（2）若13,c =求ABC ∆的面积．
【答案】（1）3（2）78 【解析】
试题分析：（1）由两角和差公式得到()()()tan tan tan tan 1tan tan B A A B B A A B A A
-+⎡⎤=-+=
⎣⎦--⋅，由三角形中的数
值关系得到sin 4tan cos 3A A A =
=，进而求得数值；（2
）由三角形的三个角的关系得到sin C =，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为78S =. 解析：
（1）在ABC V 中，由3cos 5A =，得A
为锐角，所以4sin 5
A ==， 所以sin 4
tan cos 3
A A A =
=， 所以()()()tan tan tan tan 1tan tan B A A B B A A B A A
-+⎡⎤=-+=
⎣⎦--⋅.
14
33314133
+=
=-⨯ （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，
所以sin B B =
=
， 由(
)sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 由正弦定理
sin sin b c B C =,
得13sin sin c B b C ==， 所以ABC V 的面积114
sin 151378225
S bc A ==⨯⨯⨯=. 18．已知函数()()2
ln 12
a f x x x x
b =
---，,R a b ∈. （1）当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；
（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）2 【解析】 【分析】
（1）将1b =-代入可得()2ln 2a f x x x x =
-,令()
0f x =,则ln 2a x
x =,设()ln x g x x
=,则转化问题为()g x 与
2
a
y =
的交点问题,利用导函数判断()g x 的图象,即可求解；。