2020年天津市红桥区高考数学一模试卷(含答案解析)

2020年天津市红桥区高考数学一模试卷

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.已知R为实数集，集合A={x|x>0}，B={x|x2−x−2>0}，则A∩(∁R B)=()

A. (0,2]

B. (−1,2)

C. [−1,2]

D. [0,4]

2.下列函数在(0,+∞)上单调递增的是()

A. y=1

x+1

B. y=(x−1)2

C. y=21−x

D. y=lg(x+3)

3.设，b=315，c=(1

5

)0.4，则有()

A. a<b<c

B. a<c<b

C. c<a<b

D. c<b<a

4.设，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的()

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

5.从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中

数据可知成绩在[130,140)内的学生人数为()

A. 20

B. 25

C. 30

D. 35

6.已知函数f(x)=sinωx−√3cosωx(ω>0)的图象的相邻两对称轴间的距离为π

2

，则当

时，f(x)的最大值和单调增区间分别为()

A. 1，[−π

2,−π

6

] B. 1，[−π

2

,−π

12

] C. √3,[−π

6

,0] D. √3,[−π

12

,0]

7.已知P为双曲线x2

a2−y2

b2

=1(a>0,b>0)上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆x2+

y2=a2的位置关系是

A. 内切

B. 内切或外切

C. 外切

D. 相离或相交

8.数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=2n+1，则a7等于()

A. 4

B. 4√2

C. 8

D. 16

9. f′(x)为函数f(x)的导函数，

，若g(x)=f(x)−12x 2+x ，方程g(ax)−x =0有且只有一个根，则a 的取值范围是( ) A. {1e } B. (−∞,1e ] C. (0,1e ] D. (−∞,0]⋃{1e } 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 已知复数z =(a −1)+i(a ∈R)是纯虚数，则1+i a−i 的值是______ ．

11. 若(ax −1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是_______．

12. 从装有质地均匀大小相同的3个白球、2个红球的袋中随机取出2个小球，则取出的小球是同色

球的概率是__________．

13. 曲线y =xe −x 在点(1,1e )处的切线方程为_____________．

14. 若x >1，则2x +9x+1+1x−1的最小值是____．

15. |a ⃗ |=4，a ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为30°，则|b ⃗ |的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）

16. 在△ABC 中，已知acosA =bcosB ，试判断△ABC 的形状．

17. 已知数列{2a n }是等比数列，且a 1=3，a 3=7．

(1)证明：数列{a n }是等差数列，并求出其通项公式；

(2)求数列{1(a

n −1)(a n +1)}的前n 项和S n ．

18. 已知圆x 2+y 2=4经过椭圆C ：x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的两个焦点和两个顶点，点A(0,4)，M ，N 是椭圆C 上的两点，它们在y 轴两侧，且∠MAN 的平分线在y 轴上，|AM|≠|AN|．

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)证明：直线MN 过定点．

19. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =4a n−12a

n−1+1(n ≥2) (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；

(Ⅱ)证明：∑a k n k=1>

3n−22．

20. 已知函数f(x)=e x ⋅(x 2+ax +1)，a ∈R(e 为自然对数的底数)．

(Ⅰ)若x =e 是f(x)的极值点，求实数a 的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．

先化简集合B，根据补集与交集的定义写出运算结果即可．

解：R为实数集，集合A={x|x>0}，

B={x|x2−x−2>0}={x|x<−1或x>2}，

∴∁R B={x|−1≤x≤2}，

∴A∩(∁R B)={x|0<x≤2}=(0,2]．

故选A．

2.答案：D

在(−1,+∞)和(−∞,−1)上单调递减，故在(0,+∞)上也单调递减，排除A；解析：解：A中，y=1

x+1

B中，y=(x−1)2在(−∞,1]上递减，在[1,+∞)上递增，故在(0,+∞)上不单调，排除B；

y=21−x在R上单调递减，排除C；

y=lg(x+3)在(−3,+∞)上递增，故在(0,+∞)上也单调递增，

故选D．

利用基本初等函数的单调性逐项判断即可．

本题考查函数单调性的判断，属基础题，熟练掌握常见基本初等函数的单调性是解决相关问题的基础．

3.答案：B

解析：解：，

b=315>30=1，