2014-2015学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何双基限时练17(含解析)新人教A版选修2-

双基限时练(十七)
1．满足下列条件，能说明空间不重合的三点A ，B ，C 共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－AB →＝BC → C.AB →＝BC →D ．|AB →
|＝|BC →
|
答案 C
2．下列命题中正确的是( )
A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线
B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面
C ．零向量没有确定的方向
D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb
解析 当b ＝0时，a 与c 不一定共线，所以A 错．由共面向量的定义知，B 错．当a 与b 是非零向量时，D 正确，但命题中没有非零向量这个条件，所以D 错．
答案 C
3．下列条件中使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →
－OC →
B.OM →
＝15OA →＋13OB →＋12OC →
C.MA →＋MB →＋MC →＝0
D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →
＝0
答案 C
4．下列结论中，正确的个数是( )
①若a ，b ，c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ②若a ，b ，c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c
③若a ，b ，c 共面，b ，c 不共线，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ④若a ＝x b ＋y c ，则a ，b ，c 共面 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解析 ②③④正确，①错误． 答案 D
5．已知向量a ，b ，且AB →
＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D
解析 ∵AD →＝CD →－CA →
＝CD →＋AC → ＝CD →＋AB →
＋BC →
＝(7a －2b )＋(a ＋2b )＋(－5a ＋6b ) ＝3a ＋6b ＝3AB →
∴A ，B ，D 三点共线． 答案 A
6．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABCD 的对角线的交点，则A 1E →
＝A 1A →
＋xA 1B 1→
＋yA 1D 1
→
中的x ，y 值应为x ＝__________，y ＝__________.
解析 A 1E →＝A 1A →＋AB →＋BC →
＋CE →
＝A 1A →
＋AB →
＋BC →
＋1
2CA →
＝A 1A →
＋AB →
＋BC →
＋1
2(CB →＋CD →)
＝A 1A →
＋AB →－12DC →＋BC →－1
2BC →
＝A 1A →
＋12AB →＋1
2BC →
＝A 1A →
＋12A 1B 1→＋1
2A 1D 1→.
∴x ＝12，y ＝1
2.
答案
1212 7．向量a 与b 不共线，存在唯一一对非零实数m ，n ，使c ＝m a ＋n b ，则a ，b ，c __________共面向量．(填“是”或“不是”)
答案 是
8．已知O 是空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →
＝2x ·BO →
＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝__________.
解析 OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →
＝－2x ·OB →
－3y ·OC →
－4z ·OD →
由四点共面的充要条件知－2x －3y －4z ＝1， 即2x ＋3y ＋4z ＝－1. 答案 －1
9．已知A ，B ，C ，D 四点共面，求证：对于空间任一点O ，存在不全为零的实数k 1，k 2，
k 3，k 4，使k 1OA →
＋k 2OB →
＋k 3OC →
＋k 4OD →
＝0.
证明 由A ，B ，C ，D 四点共面，知AB →
，AC →，AD →共面，由平面向量基本定理知，存在实数对(x ，y )，使AB →＝xAC →＋yAD →，即OB →－OA →＝x (OC →
－OA →
)＋y (OD →－OA →
)．
∴(1－x －y )OA →
－OB →
＋xOC →
＋yOD →
＝0， 令k 1＝1－x －y ，k 2＝－1，k 3＝x ，k 4＝y ，
即得k 1OA →
＋k 2OB →
＋k 3OC →
＋k 4OD →
＝0.
10．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →
＝2e 1＋k e 2，CB →
＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2，
若A ，B ，D 三点共线，试某某数k 的值．
解 ∵BD →＝BC →
＋CD →＝CD →
－CB →
＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.
AB →
＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝
－4
k
，∴k ＝－8. 11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，有OP →
＝25OA →＋15OB →＋2
5OC →.
求证：P ，A ，B ，C 四点共面． 证明 ∵OP →
＝25OA →＋15OB →＋2
5OC →
，
∴OP →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15－25OA →＋15OB →＋25OC →
＝OA →＋15(OB →－OA →)＋2
5(OC →－OA →
)
＝OA →＋15AB →＋2
5AC →，
∴OP →－OA →＝15AB →＋2
5AC →
.
∴AP →＝15AB →＋25
AC →.
∴向量AP →，AB →
，AC →
共面，而线AP ，AB ，AC 有公共点， ∴P ，A ，B ，C 四点共面．
12．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，当OP →
＝2OA →
－OB →－OC →
时，点P 是否与A ，B ，C 共面．
解 假设P 与A ，B ，C 共面，则存在唯一的实数对(x ，y )，使AP →
＝xAB →
＋yAC →
，于是对平面ABC 外一点O ，有OP →－OA →
＝x (OB →－OA →)＋y (OC →
－OA →
)，
∴OP →＝(1－x －y )OA →＋xOB →
＋yOC →
. 又OP →
＝2OA →－OB →
－OC →
，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
1－x －y ＝2，x ＝－1，y ＝－1.此方程组无解，这样的x ，y 不存在，故点P 与A ，B ，C 不共面．
13.
如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.
证明 B 1C →＝B 1O →＋OC 1→＋C 1C →
＝B 1O →
＋OC 1→
＋D 1D →
＝B 1O →
＋OC 1→
＋D 1O →
＋OD →
. ∵O 是B 1D 1的中点， ∴B 1O →＋D 1O →＝0，∴B 1C →
＝OC 1→
＋OD →
. ∴B 1C →
，OC 1→
，OD →
共面，且B 1C ⊄平面OC 1D . ∴B 1C ∥平面ODC 1.。