2019高考数学黄金专题100讲 第92讲 直接证明与间接证明含解析

第92题 直接证明与间接证明
I ．题源探究·黄金母题
【例1
法是 （ ） A ．综合法 B ．分析法 C ．间接证法
D ．合情推理法
【答案】B
2
2
<
，只需证
B ．
【例2】求证：对于任意角θ，4
4
cos sin c 2 os θ
θθ-=． 【证明】()()4
4222
2cos sin cos si n cos
sin cos 2θ
θθθθθθ-=+-=，∴原式成立．
【例3】设实数,,a b c 成等差数列，非零实数,x y 分别为a 与,b b 与c 的等
差中项，试证：
2a c
x y
+=． 【证明】甴已知条件得2b ac =， ①
2,2x a b y b c =+=+． ②
要证
2a c
x y
+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=． 由①②得()()222ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++，
()()242,224xy a b b c ab b ac bc ab ac bc ay cx xy =++=+++=++∴+=，命题成立．
精彩解读
【试题来源】例1：人教A 版选修1-2P 44练习T 2改编；例2：人教A 版选修1-2P 44练习T 1；例3：人教A 版选修1-2P 46习题2．2B 组T 2．
【母题评析】这类题主要考查直接证明的方法——综合法和分析法，间接证明的方法——反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修中的不等式证明为载
体加以考查，关注学生的分析问
题、解决问题以及推理论证能力的考查． 【思路方法】
1．直接从条件出发证明结论思路受阻时，可以考虑利用逆推法来求解结论成立的充分条件即可，直到化简成为恒等式或与条件相符的式子为止．
2．利用重要的不等式证明不等式是综合法的一种重要应用，证
明思路是从已证不等式和问题
的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后若与二次
函数有关，可用配方法．
II ．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标2文23】已知3
3
0,0,2a b a b >>+=．证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
【答案】(1)证明略；(2)证明略．
【解析】试题分析：(1)第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；(2)第二问利用均值不等式的结论结合题意证得()3
8a b +≤即可得出结论．
试题解析：(1)()(
)5
5
6
556
a b a b
a
ab a b b ++=+++
()()()2
2
3
333
4
4
2
2244a b
a b ab a b ab a b
=+-++=+-≥
(2)
()
()3
32233323a b a a b ab b ab a b +=+++=++
()
()()()2
3
3
3322,84
4
a b a b a b a b ++≤+
+=+
∴+≤，因此2a b +≤．
【例2】【2017高考江苏21D 】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8ac bd +≤． 【答案】见解析
【解析】由柯西不等式可得2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+，即
2()41664ac bd +≤⨯=，故8ac bd +≤．
【考点】柯西不等式
【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设1212n n a a a b b b ,,,,,,
,为实数，则(
)()()
2
2
2222212
1
2
11
22
n
n
n n
a a a
b
b b
a b a b a b ++
++
≥⋯++＋＋＋，当且仅当
=0i b 或存在一个数k ，使()1,2,,i i a kb i n ==时，等号成立．
【例3】【2017高考北京文18节选】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
【命题意图】这类题主要考查直接证明的方法——综合法和分析法，间接证明的方法——反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修中的不等式证明为载体加以考查，关注学生的分析问题、解决问题以及推理论证能力等的考查．
【考试方向】这类试题在考查题
型上，若以选择题或填空题的形
式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大． 【难点中心】
1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． 2．当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证
，反证法关键是在正确的推理
下得出矛盾，矛盾可以是与已
知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．
用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 【答案】详见解析 【解析】证明：（Ⅰ）
,PA AB PA BC ⊥⊥，
AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB
BC B =，
PA ∴⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，PA BD ∴⊥；
（Ⅱ）
AB BC =，D 是AC 的中点，BD AC ∴⊥，
由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ，
平面PAC
平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，BD AC ⊥，
BD ∴⊥平面PAC ，
BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ．
出的矛盾必须是明显的． 3．线线、线面的平行与垂直位
置关系的证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根
据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据
面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面，这两种途径都可以证明线面垂直．
III ．理论基础·解题原理
直接证明与间接证明
（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．框图表示：
要点：顺推证法；由因导果．
（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止． 框图表示：
要点：逆推证法；执果索因．
（3）反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．的证明方法．它是一种间接的证明方法． 用反证法证明命题“若p 则q ”的过程用框图表示为：
肯定条件p
否定结论q →
导致逻辑矛盾→“若p 则﹁q ”为假→“若p 则q ”为真．
IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大． 【技能方法】
1．分析法的适用范围：分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．
2．用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：
（1）定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式等． （2）已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型．
3．对于较复杂的问题，我们常常把分析法与综合法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q '；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P '．若由P '可以推出Q '成立，就可以证明结论成立，这种方法称为分析综合法．
4．反证法证明一个命题的一般步骤： （1）（反设）假设命题的结论不成立；
（2）（归谬）根据假设进行推理，直到导出矛盾为止； （3）（下结论）断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． 【易错指导】
（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键；
（2）用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论．
（3）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
V ．举一反三·触类旁通
考向1 分析法
【例1】若)0P Q a =
=≥，则,P Q 的大小关系是
A ．P Q >
B ．P Q =
C ．P Q <
D ．由a 的取值确定
【答案】C
【例2】【2018河南豫西名校高二下学期第一次联考】当0n ≥
<
<(
2
2
<，即证 2244n n ++<+1n <+，只要证
22221n n n n +<++，而上式显然成立，所以
<成立．
【例3】已知0,0m n >>，且1m n +=，试用分析法证明不等式1125
4
m n m n ⎛
⎫⎛⎫+
+≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭成立． 【解析】要证11254m n m n ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，只需证22+125
4m n mn mn ++≥
，只需证22524mn mn +-≥，只需证()2
43380mn mn -+≥，即证8mn ≥或14mn ≤
，而由1m n =+≥1
4
mn ≤显然成立，所以不等式1125
4
m n m n ⎛
⎫⎛⎫+
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立． 【名师点睛】分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件． 【跟踪练习】
1．【2018陕西省黄陵中学高二下学期期末考试】分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件 【答案】A
【解析】由分析法的定义：“一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法．”可知A 答案是正确，故选A ．
2．用分析法证明：当0x ≥，0y ≥≥
2
2
≥成立，即证：
22x y x y +++0≥成立，因为0,0,x y ≥≥0≥，所以原不等式成立．
3．当1x >时，求证：2
21122x x x x +
>+>． 【证明】
1,x >∴要证22
1122x x x x
+
>+，只需证43
212x x x +>+，即证()3211x x x ->-， 1,x >∴只需证321x >．31,221x x >∴>>，故2211
22x x x x
+>+得证．
令x =2212
+>，即12t t +>，
则12x
x +
>2
21122x x x x +>+>． 考向2 综合法
【例4】【2018西藏山南地区第二高级中学高三下学期期中考试】以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ） A ．①—分析法，②—反证法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法 D ．①—综合法，②—分析法 【答案】D
故本题正确答案为D ．
点晴：本题考查的是综合法和分析法的概念．一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法；一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）．这种证明的方法叫做分析法．
【例5】【2018河南郑州一中高三考前冲刺三】已知a ，b ，c 均为正数．
（1）求证：24)11(
2
2
2≥+++b
a b a ； （2）若194=++c b a ，求证：1001
49≥++c
b a ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】
ab b a b a ab b a 4)112()11(,22222=⋅≥+≥+，∴2442242)11(222=⋅≥+
≥+++ab
ab ab ab b a b a ． 当且仅当42==b a 时，等号成立． （2）
936814163649)149)(94(149++++++++=++++=++b
c
a c c
b a b
c a b a c b a c b a c b a )364()81()364(
34b c
c b a c c a a b b a ++++++=b
c c b a c c a a b b a 3642812364234⋅+⋅+⋅+≥ =34+24+18+24=100．
当且仅当a =3b =9c ，且a +4b +9c =1时，等号成立，即当且仅当30
1
,101,103===c b a 时，原式取等号． 【例6】【2018安徽太和中学高三下学期第三次月考】在ABC ∆中，用综合法证明：
sin sinC
1sin sin sin sin A A B B C
+=++是60B ∠≤的充分不必要条件． 【答案】见解析
【解析】试题分析：先由正弦定理将角的关系转化为边的关系：
1a c a b b c
+=++，去分母整理得2b ac =．再由余弦定理得22222cos 22a c b a c ac B ac ac
+-+-==，根据基本不等式可得21
cos 22ac ac B ac -=≥
=，即得60B ∠≤，因此充分性成立，而必要性不成立，只需举一个反例，如3，4，5构成的三角形，3对应的角B 满足60B ∠≤，
但不满足2
b a
c =．
试题解析：
()()()()2sin sin 11sin sin sin sinC A C a c
a b c c a b b c a b b ac A B B a b b c
+=⇒+=⇒+++=++⇒=++++．
2222221cos 602222
a c
b a
c ac ac ac B B ac ac ac +-+--==≥=⇒∠≤，
而2
1cos 2b ac B =⇒≥
不可逆，故
sin sin 1sin sin sin sin A C
A B B C
+=++是60B ∠≤的充分不必要条件． 【名师点睛】 1
．
综
合
法
证
题
的
一
般
思
路
：
综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．其逻辑依据是三段论式的演绎推理，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．
2．解决数列综合题常见策略有：（1）关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；（2）重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；（3）数学归纳法． 【跟踪练习】
1．在ABC ∆中，已知△ABC 的面积为1
4
，外接圆的半径为1，三边长分别为,,a b c ．
求证：
111
a b c
++> 【答案】见解析．
试题解析：设外接圆的半径为R ，ABC ∆的面积为S ．∵4abc S R =
，1R =，1
4
S =，
∴1abc =，且,,a b c 不全相等，否则1a =与02sin60a R ==∴111
ab bc ca a b c
++=++．
又bc ac +≥=ca ab +≥=bc ab +≥=
∵,,a b c 不全相等，∴上述三式中“=”不能同时成立．∴()22
bc ac ab ++>，
即bc ac ab ++>因此
111
a b c
++> 2．已知函数)()(2R a e
ax
x x x f x
∈+-=．
（1）当1=a 时，证明：当0≥x 时，0)(≥x f ；
（2）当1a =-时，证明：()2
ln 1
11x f x x e
⎛⎫-
>- ⎪⎝⎭．
（2）()()ln 11ln 1x x x f x x x x e -⎛
⎫⎛⎫-
=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，令()l n h x x x =-，1()x h x x -'=，01x <<时，()0h x '<，1x >时，()0h x '>，即()h x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，∴()(1)1h x h ≥=①
令12
()1,()x x
x x x x e e
φφ--'=-
=，∴02x <<时，()0x φ'<，2x >时，()0x φ'>，即()x φ在()0,2上为减函数，在()2,+∞上为增函数，∴()()21
21x e φφ≥=-②
∴由①②得()()()2
ln 111x f x h x x x e φ⎛⎫
-=>- ⎪⎝
⎭． 3．【2018浙江省高三上学期高考模拟】设函数2
()
f x x =，[0,1]x ∈．证明：（1）2
1()12f x x x ≥-+；
（2）
15()16f x <≤ 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】试题分析：（1）构造函数2
()()11
22x x
g x f x x =--+
=-+，对()g x 求导，利用导数证明min ()0g x ≥即可得证；
（2）求导，判断出函数()f x 的单调性，求出函数()f x 的极值与最值后即可得证． 试题解析：（1）记2
()()11
22x x g x f x x =--+
=-+，则1
()02
g x '=+>， (0,1)x ∈，∴()g x 在区间[0,1]上单调递增，又∵g(0)0=，∴2()()102
x
g x f x x =--+≥，从而21()1
2f x x x ≥-
+；（2）()2f x x '=，记()2h x x =1(0)02h =-<，
(1)208
h =-
>，知存在0(0,1)x ∈，使得0()0h x =，∵()h x 在[0,1]上是增函数，∴()f x 在区间0(0,)x 上
是单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增，又∵(0)1f =
，2(1)2f +=
，从而2()2
f x +≤（1）得当14x ≠
时，2
211515()1()241616x f x x x ≥-+=-+>，且115()416f >
，故152()162
f x <≤．
考向3 分析综合法
【例7】【2018河北武邑中学高三上学期期中考试】设集合{|1}M x x =<，在集合M 中定义一种运算“*"，使得*1a b a b ab
+=
+． （1）证明：()()****a b c a b c =；
（2）证明：若,a M b M ∈∈，则*a b M ∈． 【答案】（1）见解析（2）见解析
试题解析：（1）证明：由已知得*1a b
a b ab +=
+， ∴()1***111a b c a b c abc a b ab a b c c a b ab a ab ca cb c ab ++
++++⎛⎫+=== ⎪+++++⎝⎭+⋅
+， 而()1***1111b c a b c a abc b c cb a b c a cb cb ab ac
a cb
++
++++⎛⎫+=== ⎪
++++⎝⎭+⋅+，所以结论正确． （2）证明：由已知得：1,1a b <<，要证*a b M ∈，
只需证11a b ab +<+，即证2
11a b ab +⎛⎫
< ⎪+⎝⎭
，亦即证()()221a b ab +<+，
只需证()2
22
10ab a b --+>
而()()()
2
2
2
2
2
111ab a b a b --+=--，1,1a b <<，
有()()
22
110a b -->，所以原命题成立．
【例8】【2018浙江温州中学高三10月模拟】已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)
(12121∙
++∈=-+N n a a a n n n ． 记n n a a a S +++= 21．1121211
1
1(1)(1)
(1)(1)
(1)
n n T a a a a a a =
+++
++++++，求证：当*∈N n 时，
（Ⅰ）101<<≤+n n a a ； （Ⅱ）
2->n S n ； （Ⅲ）3n T <
【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析；（III ）证明见解析．
试题解析：（Ⅰ）证明：因为
)
2)(2(1)1(12122
121≥=-+=-+-++n a a a a a a n n n n n n 2
1211)1)((2-1-++-=++-n n n n n n a a a a a a ）得（）（
所以112-1-+--n n n n a a a a 与）得（）（同号，即与12a a -一致．因为2
5
12+-=
a ，且012>-a a ， 01>-∴+n n a a ，
01112212121>-=-∴=-+++++n n n n n n a a a a a a ， 即11<+n a ，
根据①和②，可知101<<≤+n n a a 对任何*
n ∈N 都成立．
（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥），得2
2231()(1)n n a a a a n a ++++--=．
因为10a =，所以2
1n n S n a =--． 1n a <，所以2n S n >-．
（Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得
111
(2313)12k k k
a k n n a a ++=-+≤，，，，≥
所以
2342
1
(3)(1)(1)
(1)
2n n n a a a a a a -+++≤
≥，
于是
22
2223221
1
(3)(1)(1)
(1)
2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤
≥， 故当3n ≥时，2
111132
2
n n T -<++
++<，又因为123T T T <<，所以3n T <．
考点：数列及不等式等有关知识的综合运用．
【易错点晴】本题以数列的递推关系式为背景，考查的是运用不等式的有关知识进行推理论证的思维能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．第一问求解时充分借助题设条件中的有效信息
)
2)(2(1)1(12122121≥=-+=-+-++n a a a a a a n n n n n n ，利用等式的性质2
1211)1)((2-1-++-=++-n n n n n n a a a a a a ）得（）（，再运用实数的符
号法则推得101<<≤+n n a a 对任何*
n ∈N
都成立；第二问则运用叠加的方法推得
2
2231()(1)n n a a a a n a +++
+--=，再运用不等式的缩放法推得2n S n >-；第三问的推证中巧妙运用由
221112k k k k a a a a +++=+≥推得
111
(2313)12k k k
a k n n a a ++=-+≤，，，，≥，从而证得3n T <．
【例9】【2018江苏沭阳县高三上学期期中调研】已知函数()31log x
f x a x
+=-为其定义域内的奇函数． （1）求实数a 的值；
（2）求不等式()1f x >的解集； （3）证明：13f ⎛⎫
⎪⎝⎭
为无理数．
【答案】（1）1a =；
（2）1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
；
（3）见解析．
试题解析：（1）因为()f x 为其定义域内奇函数，所以 ()()0f
x f x +-=
， 即 ()()3
311log log 0x x
f x f x a x a x +-+-=+=-+，即 2232222
11log 01x x a x a x
--=⇒=-- 所以 222
11x a x a -=-⇒=±，当1a =-时，对数无意义，故舍去，所以1a =
（2）()3
1log 1x f x x +=-的定义域为()1,1-，由()1f x >，得3
31log 1log 31x
x
+>=-， 11312x x x +∴
>⇒>-，又因为()f x 的定义域为()1,1-，所以()1f x >得解集为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
． （3）31log 23f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（3log 20>）．
假设3log 2为有理数，则其可以写成最简分数形式，而且唯一的，
设3log 2n
m
=（其中,m n 为两个互质的正整数），得 32n
m =，即 32n m = （*），
因为,m n 为两个互质的正整数，所以3m
为奇数，2n
为偶数，显然奇数不等于偶数，所以（*）式不成立，所以假设不成立，所以31log 23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
为无理数． 【跟踪练习】
1．已知数列{}n a 满足112a =，都有3*
112,33
n n n a a a n N +=+∈． （1）求证：11*
1213()(),2324
n n n a n N --∙≤≤∙∈；
（2）求证：当*
n N ∈时，
313124
24
123
123
111
111
6[1()]111112
n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++----++++
≥++++
+-----． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】
试题解析：（1）∵42
112033
n n n n a a a a +=+≥，1n a +与n a 同号，∵10a >，∴0n a >． ∵32112111(1)(3)333
n n n n n n a a a a a a +-=+-=-++，又2
30n n a a ++>，∴11n a +-与1n a -同号，
∵110a -<，∴1n a <．∴2
11(1)03n n n n a a a a +-=-≤，则11102
n n a a a +<≤≤=．
∴
211223
(,]3334
n n n a a a +=+∈． 当2n ≥时，13
2112
113
()24n n n n a a a a a a a a --=∙
∙∙∙
≤∙，且132112
112
()23
n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙
>∙，
又
001213()()2324n a ⨯≤≤⨯，∴111213
()()2324
n n n a --⨯≤≤⨯，*n N ∈． （2）∵
11111(1)1(1)3
n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++---==+--，又32
1111(23)(1)(3)33n n
n n n n a a a a a a ++=++=+-+， ∴
3211111111
(3)[()3]1332212
n n n n a a a a ++=-+≥-+=+．
当2n ≥时，1
3211211
113111(1)()11
1212
n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙
≥∙+++，
又1113111()212a -+=∙，∴11111
(1)()3212
n n a -+≥∙． ∴3131
242123
12
1111(
)()1111n n n n
a a a
a a a a a a a a a a a ++----++++
-+++
----121[(1)(1)(1)]3n a a a =++++
++
111
1()111
1111112[1()]6[1()]11212
12212
112
n
n n --≥+++=∙=--， ∴
313
124
2123
12
111111
6[1()]111112
n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++----++++
≥+++
+-----． 考点：数列的有关知识和不等式的性质等有关知识的综合运用．
【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，借助题设数列的递推关系式3*112
,33
n n n a a a n N +=+∈，运用缩放的数学数学思想进行推理论证的思想方法证明了不等式
111213
()()2324
n n n a --⨯≤≤⨯的成立．第二问题中，先运用不等式1
3211211
113111(1)()11
1212
n n n n a a a a a a a a --++++=+∙
∙∙∙
≥∙+++及有关性质进行推算，进而使用缩放的方法进行推证，
从而使得两个不等式获得证明． 2．如图，已知曲线1C ：21
x y x =
+(0)x >及曲线2C ：13y x =(0)x >，1C 上的点1P 的横坐标为1a 11
(0)2a <<．从
1C 上的点n P ()n N +∈作直线平行于x 轴，交曲线2C 于点n Q ，再从点n Q 作直线平行于y 轴，交曲线1C 于点1n P +，
点n P （1,2,3,
n =）的横坐标构成数列{}n a ．
（1）试求1n a +与n a
（2）若11
3
a =
1n
a +++-
112n a +∴-与12n a -异号，注意到1102a -<，知21102n a --<，2102n a ->，即2121
2
n n a a -<<．
证法2：由116n n n
a a a ++=，可得
1111231123,,2636n n n n n n
a a a a a a ++⎛⎫⎛
⎫--+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭-=+= 故有111122211333n n n n a a a a ++-
-=-⋅++，即1213n n
a a ⎧
⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩
⎭是以23-为公比的等比数列． 设111213a t a -=+，则1122133n n n a t a --
⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，解得1
112233213n n n t a t --⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭
，
从而有1
11
1251123362223132n n n n t t a t t ---⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭-=-=⎛⎫
⎛⎫-⋅--- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，由1102a <<可得302t -<<， 2115160294n n t
a t --∴-=<⎛⎫- ⎪⎝⎭
，22151602
32n n t a t --=>⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，21212n n a a -∴<<； （2）()()2122121212122121
1
1
1671
616616n n n n n n n
n n a a a a a a a a a ---+---++++===++， ()()
()
212121212121212112317126161n n n n n n n n a a a a a a a a ---+----⎛
⎫--+ ⎪+⎝
⎭∴-=-=++，
21102n a -<<
，2121n n a a +-∴>，故有2212311
2
n n n a a a a -->>>>>，从而可知1n a a ≥，
故111211111||||||6661
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++++---=
-==
+1113
14n n n n a a a a a ++-≤=-+， 2
1
1
1112213331344434n n n n n n n n a a a a a a a a --+---⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
∴-≤-≤-≤
≤-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
2
12132431311333143441133444334314
n
n n
n n a a a a a a a a -+⎛⎫
- ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-+-+-+
+-≤+++
+=⨯=-<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-． 3．【2018江苏南京师大附中、天一、海门、淮阴四校高三联考】设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*
n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*
k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．
（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设3
1223...2222n n n
a a a a T =
++++，证明：3n T <． 【答案】（1）12n n a -=；（2）不存在；（3）证明见解析．
【解析】试题分析：
试题解析：（1）因为数列{}n a 为“()1P 数列”，则11n n S a +=-，故121n n S a ++=-，两式相减得：212n n a a ++=，又1n =时，121a a =-，所以22a =，故12n n a a +=对任意的*n N ∈恒成立，即1
2n n
a a +=（常数）
，故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为1*2,n n a n N -=∈．
（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=-， 两式相减得：11n n k n k a a a ++++=-，故有332n n k n k a a a +++++=-，
同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得132n n k n k a a a +++++=-，所以13n n a a ++=对任意*
n N ∈恒成立．
所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=，即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-，即22n n S S +-=，两者矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．
（3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”，所以22n n S a +=-，所以132n n S a ++=-，故有，132n n n a a a +++=-， 又1n =时，132a a =-，故33a =，满足321a a a =+，
所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8．
故312232345
12358
2222222222n n
n n n
a a a a a T =
++++=++++++
， 所以12345111235
2222222
n n n n
n a a T -+=++++++，
两式相减得
223411*********
22n n n n n a a T -+=+++++
- 2131442n n n a T -+=+-，显然21,02
n
n n n a T T -+， 故1
31
244
n n T T <
+，即3n T <． 点睛：（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论．
（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立． 考向4 反证法
1．何时使用反证法：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面．反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．
2．用反证法证明问题的一般步骤
【例10】【2018河北邢台高三上学期第二次月考】①已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假
设2p q +>；②设a 为实数，()2
f x x ax a =++，求证()1f 与()2f 中至少有一个不小于
1
2
，由反证法证明时可假设()112f ≥
，且()1
22
f ≥，以下说法正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确 【答案】C
【例11】【2018安徽太和中学高二下学期期中考试】已知(),,0,a b c ∈+∞，则下列三个数4a b +
，9b c +，16
c a
+
（ ）
A ．都大于6
B ．至少有一个不大于6
C ．都小于6
D ．至少有一个不小于6 【答案】
D
【例12】设,,a b c 是三个互不相等的实数，三条抛物线：
（1）2
2y ax bx c =++；（2）2
2y bx cx a =++；（3）2
2y cx ax b =++．试用反证法证明三条抛物线中至少有一条与x 轴的交点不只一个．
【解析】假设这三条抛物线与x 轴的交点至多有一个交点，则
()()()22222222
244044022222200440b ac c ab a b c ab ac bc a b b c a c a b c a bc ⎧-≤⎪-≤⇒++---≤⇒-+-+-≤⇒==⎨⎪-≤⎩
与已知矛盾，故原结论成立．
【名师点睛】反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A ，或者是A ⌝，即在同一讨论过程中，A 和非A 有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现． 【跟踪练习】
1．【2018北京海淀区高三一模】已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ，如图所示．将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒
，记()1,2,3,4
i T i =为转动i
次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++．若1234++0x x x x +<，1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是
A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数
B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数
C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数
D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数 【答案】A
点睛：借此题关键是要根据题意明白1234,,,T T T T 所表达的意思，然后容易发现（12341234+++++x x x x y y y y +）（）=1234T T T T +++>0从而得出结论
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n a S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求证：数列{}n a 中任意三项不可能按原来顺序成等差数列． 【答案】（1）()11
2
n n a n *-=
∈N ；（2）详见解析． 【解析】（1）解：当1n =时，11122a S a +==，则11a =． 又112,2,n n n n a S a S +++=∴+=两式相减得11
2
n n a a +=
， {}n a ∴是首项为1，公比为12的等比数列，()11
2
n n a n *-∴=∈N ．
（2）证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为111,,p q r a a a +++（p q r <<，且,,p q r *
∈N ），
则
211,2221222
r q r p q p r --=+∴⋅=+．(*) 又因为p q r <<，,r q r p *∴--∈N ．∴(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．
3．【2018吉林乾安七中高三上学期第三次模拟】证明：对任意x R ∈，1
31x x ---，2x x +，21x -+这3个值
至少有一个不小于0．
【解析】假设命题的结论不成立，由假设的不等式同向相加推出与己知事实矛盾． 试题解析；（1）（2）假设1
231,,21x x x x x ---+-+这3个值没有一个不小于0，
即1
23
10,0,210x x x x x ---<+<-+<
则1
2320x x x -+-<，
（*） 而()2
1
1
23
23
110x x x x x --+-=+--≥．
这与（*）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．
【点睛】反证法是，假设命题的结论不成立，即反面成立，再根据假设及条件及己知公式定理，推出与条件或定理公理或已知事实矛盾的结论，即假设不成立，原命题成立．
4．【2018武汉蔡甸区汉阳一中高三第五次模拟】已知0a >，0b >，函数()f x x a x b =-++的最小值为2． （1）求a b +的值；
（2）证明：22a a +>与22b b +>不可能同时成立． 【答案】(1)2(2)见解析
试题解析：（1）∵0a >，0b >，
∴()()()f x x a x b x a x b a b a b =-++≥--+=+=+ ∴()min f x a b =+． 由题设条件知()min 2f x =， ∴2a b +=．
证明：（2）∵2a b +=，而a b +≥，故1ab ≤．
假设22a a +>与2
2b b +>同时成立．即()()210a a +->与()()210b b +->同时成立，
∵0a >，0b >，则1a >，1b >，∴1ab >，这与1ab ≤矛盾，
从而22a a +>与2
2b b +>不可能同时成立．
点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 5．若()f x 的定义域为[],a b ，值域为[](),a b a b <，则称函数()f x 是[],a b 上的“四维光军”函数．
（1）设()213
22
g x x x =
-+是[]1,b 上的“四维光军”函数，求常数b 的值； （2）是否存在常数(),2a b a >-，使函数()1
2
h x x =
+是区间[],a b 上的“四维光军”函数？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3b =；（2）存在存在常数(),2a b a >-，使函数()1
2
h x x =+是区间[],a b 上的“四维光军”函数．
（2）假设函数()12h x x =
+在区间[](),2a b a >-上是“四维光军”函数，因为()1
2
h x x =+在区间()2,-+∞上单调递减，()(),,h a b h b a =⎧⎪
∴⎨=⎪⎩即1
,21,
2
b a a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得a b =，这与已知矛盾．故不存在存在常数(),2a b a >-，使
函数()1
2
h x x =
+是区间[],a b 上的“四维光军”函数． 6．【2018北京东城区高三二模】对于n 维向量()12,,...,n A a a a =，若对任意()1,2,...,i n ∈均有0i a =或1i a =，则称A 为n 维T 向量．对于两个n 维T 向量,A B 定义()1
,n
i i
i d A B a b
==-∑．
（1）若()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==，求(),d A B 的值；
（2）现有一个5维T 向量序列：123,,,...A A A 若()11
,1,1,1,1A =且满足：()*
1,2,i i d A A i N +=∈，求证：该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0．
(3) 现有一个12维T 向量序列：123,,,...A A A 若()112
1,1, (1)
=且满足：()*1,,,1
,2,3,...i i d A A m m N i +=∈=，若存在正整数j 使得()12
0,0,...,0,j j A A
=为12维T 向量序列中的项，求出所有的m ．
【答案】（1）(),4d A B =（2）不存在（3）1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =
试题解析：（Ⅰ）由于()1,0,1,0,1A =，()0,1,1,1,0B =，由定义()1
,n
i i
i d A B a b
==-∑，可得(),4d A B =．
（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,,m A A A A ，
使得()11
,1,1,1,1A =，()0,0,0,0,0m A =． 因为向量()11,1,1,1,1A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化， 不妨设1A 的第()1
,2,3,4,5i i =个分量1变化了21i n -次之后变成0， 所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要()()()()()123452*********n n n n n -+-+-+-+-
()12345221n n n n n =++++--次，此数为奇数．
又因为()*
1,2,i i d A A i N +=∈，说明i A 中的分量有2个数值发生改变，
进而变化到1i A +，所以共需要改变数值()21m -次，此数为偶数，所以矛盾． 所以该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0． （Ⅲ）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =．。