最新北师大版数学七年级下册 期末试卷综合测试卷(word含答案)

最新北师大版数学七年级下册期末试卷综合测试卷（word含答案）一、解答题
1．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
2．如图1，已AB∥CD，∠C＝∠A．
（1）求证：AD∥BC；
（2）如图2，若点E是在平行线AB，CD内，AD右侧的任意一点，探究∠BAE，∠CDE，∠E之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，若∠C＝90°，且点E在线段BC上，DF平分∠EDC，射线DF在∠EDC的内部，且交BC于点M，交AE延长线于点F，∠AED+∠AEC＝180°，
①直接写出∠AED与∠FDC的数量关系：．
②点P在射线DA上，且满足∠DEP＝2∠F，∠DEA﹣∠PEA＝
5
14
∠DEB，补全图形后，求
∠EPD的度数
3．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB //CD ；
（2）如图（2），点E 在AB ，CD 之间的直线MN 上，P 、Q 分别在直线AB 、CD 上，连接PE 、EQ ，PF 平分∠BPE ，QF 平分∠EQD ，则∠PEQ 和∠PFQ 之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P 点作PH //EQ 交CD 于点H ，连接PQ ，若PQ 平分∠EPH ，∠QPF ：∠EQF ＝1：5，求∠PHQ 的度数． 4．问题情境：
如图1，AB ∥CD ，∠PAB ＝130°，∠PCD ＝120°．求∠APC 的度数．小明的思路是：过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠APC ＝∠APE +∠CPE ＝50°+60°＝110°． 问题解决：
（1）如图2，AB ∥CD ，直线l 分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点P 在直线I 上运动，当点P 在线段MN 上运动时（不与点M 、N 重合），∠PAB ＝α，∠PCD ＝β，判断∠APC 、α、β之间的数量关系并说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P 在线段MN 或NM 的延长线上运动时．请直接写出∠APC 、α、B 之间的数量关系；
（3）如图3，AB ∥CD ，点P 是AB 、CD 之间的一点（点P 在点A 、C 右侧），连接PA 、PC ，∠BAP 和∠DCP 的平分线交于点Q ．若∠APC ＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC 的度数．
5．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．
（1）如图1，求证：90A C ∠+∠=︒；
（2）如图2，过点B 作BD MA ⊥的延长线于点D ，求证：ABD C ∠=∠；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，且BF 平分
DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若AFC BCF ∠=∠，3BFC DBE ∠=∠，求EBC ∠的度数．
二、解答题
6．如图1，由线段,,,AB AM CM CD 组成的图形像英文字母M ，称为“M 形BAMCD ”．
（1）如图1，M 形BAMCD 中，若//,50AB CD A C ∠+∠=︒，则M ∠=______； （2）如图2，连接M 形BAMCD 中,B D 两点，若150,B D AMC α∠+∠=︒∠=，试探求A ∠与C ∠的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且AC 的延长线与BD 的延长线有交点，当点M 在线段
BD 的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出A ∠与C ∠所有可能的数量关系．
7．已知//a b ，直角ABC 的边与直线a 分别相交于O 、G 两点，与直线b 分别交于E ，F 点，且90ACB ∠=︒．
（1）将直角ABC 如图1位置摆放，如果56AOG ∠=︒，则CEF ∠=________； （2）将直角ABC 如图2位置摆放，N 为AC 上一点，180NEF CEF ∠+∠=︒，请写出
NEF ∠与AOG ∠之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角ABC 如图3位置摆放，若135GOC ∠=︒，延长AC 交直线b 于点Q ，点P 是射线GF 上一动点，探究,POQ OPQ ∠∠与PQF ∠的数量关系，请直接写出结论． 8．如图1，E 点在BC 上，A D ∠=∠．180ACB BED ∠+∠=︒．
（1）求证：//AB CD
（2）如图2，//,AB CD BG 平分ABE ∠，与EDF ∠的平分线交于H 点，若DEB ∠比DHB
∠
大60︒，求DEB ∠的度数．
（3）保持（2）中所求的DEB ∠的度数不变，如图3，BM 平分,EBK DN ∠平分CDE ∠，作
//BP DN ，则PBM ∠的度数是否改变？若不变，请直接写出答案；若改变，请说明理由．
9．已知射线//AB 射线CD ，P 为一动点，AE 平分PAB ∠，CE 平分PCD ∠，且AE 与CE 相交于点E ．（注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答）
（1）在图1中，当点P 运动到线段AC 上时，180APC ∠=︒．直接写出AEC ∠的度数； （2）当点P 运动到图2的位置时，猜想AEC ∠与APC ∠之间的关系，并加以说明； （3）当点P 运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出AEC ∠与APC ∠之间的关系，并加以证明．
10．已知AB ∥CD ，点M 在直线AB 上，点N 、Q 在直线CD 上，点P 在直线AB 、CD 之间，∠AMP ＝∠PQN ＝α，PQ 平分∠MPN ．
（1）如图①，求∠MPQ 的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q 作QE ∥PN 交PM 的延长线于点E ，过E 作EF 平分∠PEQ 交PQ 于点F ．请你判断EF 与PQ 的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN ，若NE 平分∠PNQ ，请你判断∠NEF 与∠AMP 的数量关系，并说明理由．
三、解答题
11．（1）如图1，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，AB ∥CD ，∠ADC =50°，∠ABC =40°，求∠AEC 的度数；
（2）如图2，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，∠ADC =α°，∠ABC =β°，求∠AEC 的度数；
（3）如图3，PQ ⊥MN 于点O ，点A 是平面内一点，AB 、AC 交MN 于B 、C 两点，AD 平分∠BAC 交PQ 于点D ，请问ADP
ACB ABC
∠∠-∠的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改
变，请说明理由．
12．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．
(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．
(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；
②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．
13．如图，直线//PQ MN ，一副直角三角板,ABC DEF ∆∆中，90,45,30,60ACB EDF ABC BAC DFE DEF ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=．
（1）若DEF ∆如图1摆放，当ED 平分PEF ∠时，证明：FD 平分EFM ∠．
（2）若,ABC DEF ∆∆如图2摆放时，则PDE ∠=
（3）若图2中ABC ∆固定，将DEF ∆沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH FH 、相交于点H （如图3），求GHF ∠的度数．
（4）若图2中DEF ∆的周长35,5cm AF cm =，现将ABC ∆固定，将DEF ∆沿着CA 方向平移至点F 与A 重合，平移后的得到''D E A ∆，点D E 、的对应点分别是''D E 、，请直接写出四边形'DEAD 的周长．
（5）若图2中DEF ∆固定，（如图4）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF ∆的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．
14．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在
GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；
（1）如图1，求BAN ∠的度数；
（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数； （3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．
15．已知，如图1，直线l 2⊥l 1，垂足为A ，点B 在A 点下方，点C 在射线AM 上，点B 、C 不与点A 重合，点D 在直线11上，点A 的右侧，过D 作l 3⊥l 1，点E 在直线l 3上，点D 的下方．
（1）l 2与l 3的位置关系是 ；
（2）如图1，若CE 平分∠BCD ，且∠BCD ＝70°，则∠CED ＝ °，∠ADC ＝ °； （3）如图2，若CD ⊥BD 于D ，作∠BCD 的角平分线，交BD 于F ，交AD 于G ．试说明：∠DGF ＝∠DFG ；
（4）如图3，若∠DBE ＝∠DEB ，点C 在射线AM 上运动，∠BDC 的角平分线交EB 的延长线于点N ，在点C 的运动过程中，探索∠N:∠BCD 的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证；
（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质
解析：（1）证明见解析；（2）90ABC F ∠-∠=︒；（3）45︒．
【分析】
（1）过点C 作CF AB ∥，先根据平行线的性质可得180ABC BCF ∠+∠=︒，再根据平行公理推论可得CF DE ，然后根据平行线的性质可得180CDE BCF BCD ∠+∠+∠=︒，由此即
可得证；
（2）过点C 作CG AB ∥，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出
180ABC BCG ∠+∠=︒，180F BCG BCF ∠+∠+∠=︒，从而可得ABC F BCF ∠-∠=∠，再
根据垂直的定义可得90BCF ∠=︒，由此即可得出结论；
（3）过点G 作GM AB ，延长FG 至点N ，先根据平行线的性质可得ABH MGH ∠=∠，
MGN DFG ∠=∠，从而可得MGH MGN ABH DFG ∠-∠=∠-∠，再根据角平分线的定义、
结合（2）的结论可得45MGH MGN ∠=-∠︒，然后根据角的和差、对顶角相等可得
BGD CG MGH MGN F ∠-∠=∠-∠，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1）如图，过点C 作CF AB ∥，
180ABC BCF ∴∠+∠=︒，
AB DE ， CF
DE ∴，
180CDE DCF ∴∠+∠=︒，即180CDE BCF BCD ∠+∠+∠=︒，
CDE BCF BCD ABC BCF ∴∠+∠+∠=∠+∠， BCD CDE ABC ∴∠+∠=∠；
（2）如图，过点C 作CG AB ∥，
180ABC BCG ∴∠+∠=︒，
AB DE ， CG DE ∴，
180F FCG ∴∠+∠=︒，即180F BCG BCF ∠+∠+∠=︒， F BCG BCF ABC BCG ∴∠+∠+∠=∠+∠，
ABC F BCF ∴∠-∠=∠， CF BC ⊥，
90BCF ∴∠=︒，
90ABC F ∴∠-∠=︒；
（3）如图，过点G 作GM AB ，延长FG 至点N ，
ABH MGH ∴∠=∠，
AB DE ， GM DE ∴，
MGN DFG ∴∠=∠，
BH 平分ABC ∠，FN 平分CFD ∠， 11
,22
ABH AB D C CF DFG ∴∠=∠∠∠=，
由（2）可知，90ABC CFD ∠-∠=︒，
411
22
5MGH MGN ABH DFG CF B D A C ∠-∠=∠-∠∠∠-==∴︒，
又BGD MGH MGD
CGF DGN MGN MGD
∠=∠+∠⎧⎨∠=∠=∠+∠⎩，
45MGH BGD GF MGN C ∠-∠∴-==∠∠︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．（1）见解析；（2）∠BAE+∠CDE=∠AED ，证明见解析；（3）①∠AED-∠FDC=45°，理由见解析；②50° 【分析】
（1）根据平行线的性质及判定可得结论； （2）过点E 作EF ∥AB ，根
解析：（1）见解析；（2）∠BAE +∠CDE =∠AED ，证明见解析；（3）①∠AED -∠FDC =45°，理由见解析；②50° 【分析】
（1）根据平行线的性质及判定可得结论；
（2）过点E 作EF ∥AB ，根据平行线的性质得AB ∥CD ∥EF ，然后由两直线平行内错角相等
可得结论；
（3）①根据∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，DF平分∠EDC，可得出2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，即可导出角的关系；
②先根据∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°得出∠DEP=2∠F=90°，再根据∠DEA-∠PEA=5
∠DEB，求出∠AED=50°，即可得出∠EPD的度数．
14
【详解】
解：（1）证明：AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠C=∠A，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC；
（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，理由如下：
如图2，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF，∠CDE=∠DEF
即∠FEA+∠FED=∠CDE+∠BAE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED；
（3）①∠AED-∠FDC=45°；
∵∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，
∴∠AEC=∠DEC+∠AEB，
∴∠AED=∠AEB，
∵DF平分∠EDC
∠DEC=2∠FDC
∴∠DEC=90°-2∠FDC，
∴2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，
∴∠AED-∠FDC=45°，
故答案为：∠AED-∠FDC=45°；
②如图3，
∵∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°，∴∠F=45°，
∴∠DEP=2∠F=90°，
∵∠DEA-∠PEA=5
14∠DEB=5
7
∠DEA，
∴∠PEA=2
7
∠AED，
∴∠DEP=∠PEA+∠AED=9
7
∠AED=90°，
∴∠AED=70°，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠DEC+2∠AED=180°，
∴∠DEC=40°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=40°，
在△PDE中，∠EPD=180°-∠DEP-∠AED=50°，
即∠EPD=50°．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知识点是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线
解析：（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建
方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB//CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH//AB．
∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，
∵EQ//PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB//CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键．4．（1）∠APC=α+β，理由见解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°【分析】
（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
（2）分点P在线段MN或NM的延长线
解析：（1）∠APC=α+β，理由见解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°
【分析】
（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
（2）分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；
（3）过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．
【详解】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PAB=α，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，
∴α=∠APC+β，
∴∠APC=α-β；
如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PCD=β，
∴∠2=∠PCD=β，
∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，
∴β=α+∠APC，
∴∠APC=β-α；
（3）如图3，过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥QF∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，
∵∠APC=116°，
∴∠BAP+∠PCD=116°，
∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，
∴∠BAQ =12∠BAP ，∠DCQ =1
2∠PCD ，
∴∠BAQ +∠DCQ =12（∠BAP +∠PCD ）=58°，
∵AB ∥QF ∥CD ，
∴∠BAQ =∠AQF ，∠DCQ =∠CQF ，
∴∠AQF +∠CQF =∠BAQ +∠DCQ =58°，
∴∠AQC =58°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键． 5．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；
（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可； （3）设∠DBE=a ，则∠BFC=3
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）︒=∠105EBC ．
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到C BDA ∠=∠,然后结合AB BC ⊥即可证明；
（2）过B 作//BH DM ，先说明ABD CBH ∠=∠，然后再说明//BH NC 得到CBH C ∠=∠，最后运用等量代换解答即可；
（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠C =2a ，
∠FBC =1
2∠DBC =a +45°，根据三角形内角和可得∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，可得
∠AFC =∠BCF 的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC +∠NCF =180°，代入即可算出a 的度数，进而完成解答．
【详解】
（1）证明：∵//AM CN ，
∴C BDA ∠=∠，
∵AB BC ⊥于B ，
∴90B ∠=︒，
∴90A BDA ∠+∠=︒，
∴90A C ∠+∠=︒；
（2）证明：过B 作//BH DM ，
∵BD MA ⊥，
∴90ABD ABH ∠+∠=︒，
又∵AB BC ⊥，
∴90ABH CBH ∠+∠=︒，
∴ABD CBH ∠=∠，
∵//BH DM ，//AM CN
BH NC，
∴//
∴CBH C
∠=∠，
∠=∠；
∴ABD C
（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=∠C=2a，
又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，
∠DBC=a+45°
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=1
2
又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°
∴∠BCF=135°-4a，
∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，
又∵AM//CN，
∴∠AFC+∠NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，
∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．
二、解答题
6．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】
（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，
解析：（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】
（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可；
【详解】
解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，
∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）①如下图所示：
延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α．
②如图所示，210-∠A=（180°-∠D CM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．
综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．
7．（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠N
解析：（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【详解】
解：（1）如图，作CP//a，
∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP =135°-∠POQ ，
∴∠OPQ =135°-∠POQ +∠PQF ．
如图，当点P 在GF 延长线上时，作PN //a ，连接PQ ，OP ,则PN //a //b ，
∴∠GOP =∠OPN ，∠PQF =∠NPQ ，
∵∠OPN =∠OPQ +∠QPN ，
∴∠GOP =∠OPQ +∠PQF ，
∴135°-∠POQ =∠OPQ +∠PQF ．
【点睛】
本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
8．（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再 解析：（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，可得ACB CED ∠=∠，所以//AC DF ，可得A DFB ∠=∠，又A D ∠=∠，进而可得结论； （2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，根据//AB CD ，可得//////AB EM HN CD ，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据DEB ∠比DHB ∠大60︒，列出等式即可求DEB ∠的度数；
（3）如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，根据平行线的性质和角平分线定义可求PBM ∠的度数．
【详解】
解：（1）证明：如图1，延长DE 交AB 于点F ，
180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，
ACB CED ∴∠=∠，
//AC DF ∴，
A DF
B ∴∠=∠，
A D ∠=∠，
DFB D ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
（2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，
//AB CD ，
//////AB EM HN CD ∴，
1180EDF ∴∠+∠=︒，MEB ABE ∠=∠， BG 平分ABE ∠，
12
ABG ABE ∴∠=∠， //AB HN ，
2ABG ∴∠=∠，
//CF HN ，
23β∴∠+∠=∠， ∴1
32
ABE β∠+∠=∠， DH 平分EDF ∠，
132
EDF ∴∠=∠， ∴1122
ABE EDF β∠+∠=∠，
1()2EDF ABE β∴∠=∠-∠， 2EDF ABE β∴∠-∠=∠，
设DEB α∠=∠，
1180180()1802MEB EDF ABE EDF ABE αβ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠-∠=︒-∠，
DEB ∠比DHB ∠大60︒，
60αβ∴∠-︒=∠，
1802(60)αα∴∠=︒-∠-︒
解得100α∠=︒
DEB ∴∠的度数为100︒；
（3）PBM ∠的度数不变，理由如下：
如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，
BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，
12
EBM MBK EBK ∴∠=∠=∠， 12
CDN EDN CDE ∠=∠=∠， //ES CD ，//AB CD ，
////ES AB CD ∴，
DES CDE ∴∠=∠，
180BES ABE EBK ∠=∠=︒-∠，
G PBK ∠=∠，
由（2）可知：100DEB ∠=︒，
180100CDE EBK ∴∠+︒-∠=︒，
80EBK CDE ∴∠-∠=︒，
//BP DN ，
CDN G ∴∠=∠，
12
PBK G CDN CDE ∴∠=∠=∠=∠， PBM MBK PBK ∴∠=∠-∠
1122
EBK CDE =∠-∠ 1()2
EBK CDE =∠-∠ 1802
=⨯︒ 40=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 9．（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得； 解析：（1）90︒；（2）2APC AEC ∠=∠，证明见解析；（3）2360APC AEC ∠+∠=︒，证明见解析．
【分析】
（1）过点E 作//EF AB ，先根据平行线的性质、平行公理推论可得
,AEF BAE CEF DCE ∠=∠∠=∠，从而可得AEC BAE DCE ∠=∠+∠，再根据平行线的性质可
得180PAB PCD ∠+∠=︒，然后根据角平分线的定义可得11,22BAE PAB DCE PCD ∠=∠∠=∠，最后根据角的和差即可得； （2）过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，先根据（1）可得
1()2
AEC BAE DCE PAB PCD ∠=∠+∠=∠+∠，再根据（1）同样的方法可得APC PAB PCD ∠=∠+∠，由此即可得出结论；
（3）过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，先根据（1）可得2PAB PCD AEC ∠+∠=∠，再根据平行线的性质、平行公理推论可得180,180APQ PAB CPQ PCD ∠=︒-∠∠=︒-∠，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，过点E 作//EF AB ，
AEF BAE ∴∠=∠，
//AB CD ，
//EF CD ∴，
CEF DCE ∴∠=∠，
AEC AEF CEF BAE DCE ∴∠=∠+∠=∠+∠，
又//AB CD ，且点P 运动到线段AC 上，
180PAB PCD ∴∠+∠=︒，
AE ∵平分PAB ∠，CE 平分PCD ∠，
11,22
BAE PAB DCE PCD ∴∠=∠∠=∠， 111()90222
AEC PAB PCD PAB PCD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒； （2）猜想2APC AEC ∠=∠，证明如下：
如图，过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，
由（1）已得：1()2
AEC BAE DCE PAB PCD ∠=∠+∠=∠+∠， 同理可得：APC PAB PCD ∠=∠+∠，
2APC AEC ∴∠=∠；
（3）2360APC AEC ∠+∠=︒，证明如下：
如图，过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，
由（1）已得：1()2
AEC BAE DCE PAB PCD ∠=∠+∠=∠+∠， 即2PAB PCD AEC ∠+∠=∠，
//PQ AB ，
180APQ PAB ∴∠+∠=︒，即180APQ PAB ∠=︒-∠，
//AB CD ，
//PQ CD ∴，
180CPQ PCD ∴∠+∠=︒，即180CPQ PCD ∠=︒-∠，
APC APQ CPQ ∴∠=∠+∠，
180180PAB PCD =︒-∠+︒-∠，
()360PAB PCD =︒-∠+∠，
3602AEC =︒-∠，
即2360APC AEC ∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
10．（1）2α；（2）EF ⊥PQ ，见解析；（3）∠NEF ＝∠AMP ，见解析
【分析】
1）如图①，过点P 作PR ∥AB ，可得AB ∥CD ∥PR ，进而可得结论； （2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF ＝
解析：（1）2α；（2）EF ⊥PQ ，见解析；（3）∠NEF ＝1
2∠AMP ，见解析
【分析】
1）如图①，过点P 作PR ∥AB ，可得AB ∥CD ∥PR ，进而可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF ＝180°，进而可得EF 与PQ 的位置关系； （3）结合（2）和已知条件可得∠QNE ＝∠QEN ，根据三角形内角和定理可得∠QNE ＝12（180°﹣∠NQE ）＝12（180°﹣3α），可得∠NEF ＝180°﹣∠QEF ﹣∠NQE ﹣∠QNE ，进而可得结论．
【详解】
解：（1）如图①，过点P 作PR ∥AB ，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，
∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
∠AMP，理由如下：（3）如图③，∠NEF＝1
2
由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣2α，
∵∠PQN＝α，
∴∠NQE ＝∠PQN+∠EQP ＝3α，
∵NE 平分∠PNQ ，
∴∠PNE ＝∠QNE ，
∵QE ∥PN ，
∴∠QEN ＝∠PNE ，
∴∠QNE ＝∠QEN ，
∵∠NQE ＝3α，
∴∠QNE ＝12（180°﹣∠NQE ）＝12（180°﹣3α），
∴∠NEF ＝180°﹣∠QEF ﹣∠NQE ﹣∠QNE
＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣12（180°﹣3α）
＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+
32α ＝12α ＝1
2∠AMP ．
∴∠NEF ＝12∠AMP ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 三、解答题
11．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，
∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠
解析：（1）∠E =45°；（2）∠E =
2βα-；（3）不变化，12
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平
分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ，则可得∠E= 12（∠D+∠B ），继而求得答案；
（2）首先延长BC 交AD 于点F ，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D ，又由角平分线的性质，即可求得答案．
（3）由三角形内角和定理，可得
90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12
∠BAD ， ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E ，
∴∠E=12
（∠D+∠B ）， ∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，
∴∠AEC=12
×（50°+40°）=45°；
（2）延长BC 交AD 于点F ，
∵∠BFD=∠B+∠BAD ，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D ，
∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12
∠BAD ， ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB ，
∴∠E=∠B+∠EAB －∠ECB=∠B+∠BAE －12
∠BCD =∠B+∠BAE －12
（∠B+∠BAD+∠D ） = 12
（∠B －∠D ）， ∠ADC =α°，∠ABC =β°，
即∠AEC=.2βα
-
（3）ADP ACB ABC ∠∠-∠的值不发生变化，1.2
ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠ 理由如下：
如图，记AB 与PQ 交于E ，AD 与CB 交于F ，
,PQ MN ⊥
90,DOC BOE ∴∠=∠=︒
90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠①，
ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠②，
∴ ①－②得：90,DFO ACB ABC DAC OEB ︒-∠=∠-∠+∠-∠
90,DFO OEB DAC ACB ABC ∴︒-∠+∠-∠=∠-∠
90,,ADP DFO OEB EAD ADP ∠=︒-∠∠-∠=∠
AD 平分∠BAC ，
,BAD CAD ∴∠=∠
,OEB CAD ADP ∴∠-∠=∠
2,ADP ACB ABC ∠=∠-∠
1.2
ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
12．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得，
解析：(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．
【详解】
（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠DFE ＝90°，
∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，
即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，
∴∠C ＝∠FDE ，
∴AC ∥DE ，
∴∠CAF ＝∠E ，
∴∠CAF ＝∠E ＝∠B
故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°
∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°
∴∠BAF ＝∠C
又AC ∥DE ，
∴∠C ＝∠CDE ，
∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；
（2）①∵90BAC ∠=︒
∴90B C ∠+∠=︒
又∵50C B ∠∠︒-=，
∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;
②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,
由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,
∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,
当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；
当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）； 当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）；
综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．
【点睛】
本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
13．（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm ；（5）10s 或30s 或40s
【分析】
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E 作EK ∥MN ，利用平行线性
解析：（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm ；（5）10s 或30s 或40s
【分析】
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E 作EK ∥MN ，利用平行线性质即可求得答案；
（3）如图3，分别过点F 、H 作FL ∥MN ，HR ∥PQ ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（4）根据平移性质可得D′A ＝DF ，DD′＝EE′＝AF ＝5cm ，再结合DE ＋EF ＋DF ＝35cm ，可得出答案；
（5）设旋转时间为t 秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC ∥DE 时，②当BC ∥EF 时，③当BC ∥DF 时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【详解】
（1）如图1，在△DEF 中，∠EDF ＝90°，∠DFE ＝30°，∠DEF ＝60°，
∵ED 平分∠PEF ，
∴∠PEF ＝2∠PED ＝2∠DEF ＝2×60°＝120°，
∵PQ ∥MN ，
∴∠MFE ＝180°−∠PEF ＝180°−120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，
∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，
∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，
又∵∠DEF＝60°．
∴∠PDE＝60°−45°＝15°，
故答案为：15°；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH＝1
2∠FGQ，∠HFA＝1
2
∠GFA，
∵∠DFE＝30°，
∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，
∴∠HFA＝1
2
∠GFA＝75°，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，
∴∠RHG＝∠QGH＝1
2∠FGQ＝1
2
（180°−105°）＝37.5°，
∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；
（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，
∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，
∵DE＋EF＋DF＝35cm，
∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），
即四边形DEAD′的周长为45cm；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，
分三种情况：
BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，
∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴3t＝30，
解得：t＝10；
BC∥EF时，如图6，
∵BC∥EF，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，
∴3t＝90，
解得：t＝30；
BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，
∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，
∴3t＝120，
解得：t＝40，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
14．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°
【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出，即可得出结论；
（2）先利用三角形的内角和定理求出，即可得出结论；
（3）分和两种情况求解即可得
解析：（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°
【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出90CAN ∠=︒，即可得出结论；
（2）先利用三角形的内角和定理求出AFD ∠，即可得出结论；
（3）分90DAF ∠=︒和90AFD ∠=︒两种情况求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）//MN GH ，
180ACB NAC ∴∠+∠=︒，
90ACB ∠=︒，
90CAN ∴∠=︒，
30BAC ∠=︒，
9060BAN BAC ∴∠=︒-∠=︒；
（2）由（1）知，60BAN ∠=︒，
45EDF ∠=︒，
18075AFD BAN EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，
90DFE ∠=︒，
15AFE DFE AFD ∴∠=∠-∠=︒；
（3）当90DAF ∠=︒时，如图3，
由（1）知，60BAN ∠=︒，
30FAN DAF BAN ∴∠=∠-∠=︒；
当90AFD ∠=︒时，如图4，
90DFE ∠=︒，
∴点A ，E 重合，
45EDF ∠=︒，
45DAF ∴∠=︒，
由（1）知，60BAN ∠=︒，
15FAN BAN DAF ∴∠=∠-∠=︒，
即当以A 、D 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN ∠度数为30或15︒．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出60BAN ∠=︒是解本题的关键．
15．（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，
【分析】
（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和平行
解析：（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，1
2
【分析】
（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（4）根据角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）直线l 2⊥l 1，l 3⊥l 1，
∴l 2∥l 3，
即l 2与l 3的位置关系是互相平行，
故答案为：互相平行；
（2）∵CE 平分∠BCD ， ∴∠BCE ＝∠DCE ＝12
∠BCD ， ∵∠BCD ＝70°，
∴∠DCE ＝35°，
∵l 2∥l 3，
∴∠CED ＝∠DCE ＝35°，
∵l 2⊥l 1，
∴∠CAD ＝90°，
∴∠ADC ＝90°﹣70°＝20°；
故答案为：35，20；
（3）∵CF 平分∠BCD ，
∴∠BCF ＝∠DCF ，
∵l 2⊥l 1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BCF+∠AGC＝90°，
∵CD⊥BD，
∴∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠AGC＝∠CFD，
∵∠AGC＝∠DGF，
∴∠DGF＝∠DFG；
（4）∠N:∠BCD的值不会变化，等于1
；理由如下：
2
∵l2∥l3，
∴∠BED＝∠EBH，
∵∠DBE＝∠DEB，
∴∠DBE＝∠EBH，
∴∠DBH＝2∠DBE，
∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，
∵∠N+∠BDN＝∠DBE，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，
∵DN平分∠BDC，
∴∠BDC＝2∠BDN，
∴∠BCD＝2∠N，
∴∠N:∠BCD＝1
．
2
【点睛】
本题考查了三角形的综合题，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形进行推理是解题的关键．。