同角三角函数的基本关系

N
P
x
O
M
又知tanα=
y x
,所以
sin cos
tan
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能
不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 2.同角不要拘泥于形式α，2 ，6α等等都可以.
如sin24α+cos24α=1.
3. 在运用商数关系时，要注意等式成立的 限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+ ，k∈Z.
证明：左边 cos x cos x
(1 sin x) cos x
1 sin2 x
(1 sin x) cos x
1 sin x cos x
=右边 ∴原等式成立.
证明等式的常用方法：
1.从等式的一边证得它等于另一边； 2.先证明另外一个等式成立，从而推出需要 证明的等式成立；
3.利用作差(作商)的方法。
1.2.3同角三角函数的基本关系式
在单位圆中，角α的终边OP与OM、MP组 成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值， |OM|的长度是余弦的绝对值，|OP|=1，
根据勾股定理得sin2α+cos2α=1.
y
又根据三角函数的定
义有sinα= y,cosα= x
r
r
所以sin2α+cos2α=1.
sin cos tan
tan 2
sin2 1 sin2
cos sin tan
tan 2
1 cos2 cos2
例1 已知 sin 4 ，并且α是第二象限角，
5
求α的其他三角函数值．
分析：由平方关系可求cosα的值， 由已知条件和cosα的值可以求tanα的值， 进而用倒数关系求得cotα的值．
2
同角三角函数关系式的应用：
(1) 当我们知道一个角的某一个三角函数值 时，可以利用这两个三角函数关系式和三角 函数定义，求出这个角的其余三角函数值。
(2) 此外，还可用它们化简三角函数式和证 明三角恒等式。
4.常用变形： 在公式应用中,不仅要注意公式的
正用,还要注意公式的逆用、活用
和变用.
sin2 1 cos2 cos2 1 sin2
例3. 已知sinα－cosα= 5,180º<α<270º.
5
求tanα的值。
解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组
sin cos
5
5
sin2 cos2 1
消去sinα，得5cos2α－ 5cosα－2=0，
由方程解得cosα=
25 5
或cosα= 5
5
因为180º<α<270º，所以cosα<0，即
解：∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限角.
cos 1 sin2 1 ( 4)2 3 ,
5
5
4
tan
sin cos
5 3
4 3
5
cot 1 3 . tan 4
例2．已知
cos
8 17
，求sinα、tanα的值.
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限
角．因此要对α所在象限分类讨论.
cosα=
5 5
代入原方程组得sinα=
2 5 5
于是tanα=
sin cos =2.
例4 化简： sin cos tan 1
解：原式=
sin cos sin 1
cosBiblioteka sin sincos cos
cos
=cosθ.
例5化简： 1 sin2 440
解：原式= 1 sin2(360 80) 1 sin2 80 cos2 80 cos80
(2) tan2 sin 2 tan2 sin 2
证明：原式右边=tan2α(1－cos2α)
=tan2α－tan2αcos2α
tan 2
sin2 cos2
cos2
=tan2α－sin2α
=左边.
因此 tan2 sin 2 tan2 sin 2
(3)
cos 1 sin 1 sin cos
解：当α是第二象限角时，
sin 1 cos2 1 ( 8 )2 15 ,
17 17
15
tan sin cos
17 8
15 . 8
17
当α是第三象限角时，
sin 1 cos2 1 ( 8 )2 15 ,
17 17
tan
sin cos
15 17
8
15 . 8
17
例6. 求证：(1)sin4α－cos4α=2sin2α－1；
(2) tan2α－sin2α=tan2α·sin2α；
(3)
cos 1 sin 1 sin cos
证明：（1） 原式左边=(sin2α+cos2α)(sin2α－cos2α)
=sin2α－cos2α =sin2α－(1－sin2α) =2sin2α－1右边. 所以原等式成立.