专题20 极值点偏移问题(解析版)

专题20极值点偏移问题
1．极值点偏移的含义
若单峰函数f (x )的极值点为x 0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.
极值点x 0函数值的大小关系
图示
极值点不偏移
x 0＝
x 1＋x 22
f (x 1)＝f (2x 0－x 2)
极值点偏移
左移
x 0<x 1＋x 2
2
峰口向上：f (x 1)<f (2x 0－x 2)
峰口向下：f (x 1)>f (2x 0－x 2)
右移
x 0>x 1＋x 2
2
峰口向上：f (x 1)>f (2x 0－x 2)
峰口向下：f (x 1)<f (2x 0－x 2)
2.函数极值点偏移问题的题型及解法
极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：
(1)若函数f (x )在定义域上存在两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2)，
求证：x 1＋x 2>2x 0(x 0为函数f (x )的极值点)；
(2)若在函数f (x )的定义域上存在x 1，x 2(x 1≠x 2)满足f (x 1)＝f (x 2)，
求证：x 1＋x 2>2x 0(x 0为函数f (x )的极值点)；(3)若函数f (x )存在两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2)，令x 0＝
x 1＋x 2
2
，求证：f ′(x 0)>0；(4)若在函数f (x )的定义域上存在x 1，x 2(x 1≠x 2)满足f (x 1)＝f (x 2)，令x 0＝x 1＋x 2
2
，求证：f ′(x 0)>0.
3.极值点偏移问题的一般解法
3.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为0x )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点0x ．
(2)构造函数，即对结论1202x x x +>型，构造函数0()()(2)F x f x f x x =--或
00()()()F x f x x f x x =+--；
(3)对结论2
120x x x ⋅>型，构造函数2
0()()()x F x f x f x
=-，通过研究()F x 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．
(6)转化，即利用函数f (x )的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．
3.2．差值代换法（韦达定理代换令1212,x x t x x t =±=.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用t 表示)表示两个极值点，即12t x x =-，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题求解．3.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用t 表示)表示两个极值点，即1
2
x t x =，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题求解．3.4．对数均值不等式法
两个正数a 和b (),(, )ln ln ().
a b
a b L a b a b
a a
b -⎧≠⎪
=-⎨⎪=⎩
(, )2
a b
L a b +≤≤（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立．3.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设m a e =，n
b e =，则()(,)()m n
m
e e m n E a b m n e m n ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩
，根据对数均值不等式有如下
关系：2
(,)2
m n
m n
e e e
E a b ++≤≤
专项突破练
1．已知函数()1
ln f x x a x
=+
+．(1)求函数()f x 的单调区间；
(2)当()()()1212f x f x x x =≠时，证明：122x x +>．【解析】（1）∵()1
ln f x x a x
=+
+，∴()22111x f x x x x -'=-=，令()0f x '=，得x ＝1，当01x <<时，()0f x '<，
()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故函数()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞；
（2）由（1）知，不妨设1201x x <<<，构造函数()()()2g x f x f x =--，01x <<，
故()()()()()()
2
2222
41112022x x x g x f x f x x x x x ----'''=+-=+=<--，故()g x 在()0,1上单调递减，()()10g x g >=，∵()10,1x ∈，∴()()()11120g x f x f x =-->，又∵()()12f x f x =，∴()()2120f x f x -->，即()()212f x f x >-，∵1201x x <<<，∴2x ，()121,x -∈+∞，又∵()f x 在()1,+∞上单调递增，∴212x x >-，即122x x +>，得证．
2．已知函数()()e ln x
f x x a =+.
(1)若()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：122x x +>.
【解析】(1)函数的定义域为()0,∞+，()1e ln x f x x a x ⎛
⎫'=++ ⎪⎝⎭
，
若()f x 是增函数，即()0f x '≥对任意0x >恒成立，故1
ln 0x a x
++≥恒成立，设()1ln g x x a x
=+
+，则()22111x g x x x x -'=-=，
所以当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1x =时，()()min 11g x g a ==+，由10a +≥得1a ≥-，所以a 的取值范围是[)1,-+∞.(2)不妨设120x x <<，因为1x ，2x 是()f x 的两个极值点，
所以()11111e ln 0x f x x a x ⎛
⎫'=++= ⎪⎝⎭
，即111ln 0x a x ++=，同理221ln 0x a x ++=，
故1x ，2x 是函数()1
ln g x x a x
=+
+的两个零点，即()()120g x g x ==，
由（1）知，()()min 110g x g a ==+<，故应有(),1a ∞∈--，且1201x x <<<，要证明122x x +>，只需证212x x >-，只需证()()()()
211122g x g x g x g x --=--()()111111111111ln ln 2ln ln 2022x a x a x x x x x x ⎡⎤=+
+--++=+--+>⎢⎥--⎣⎦
，设()()11
ln ln 22
h x x x x x =+
--+-，(]0,1x ∈，则()()()()()
2
222222
41111111
02222x x x h x x x x x x x x x ---'=----=-≤----，所以()h x 在()0,1上单调递减，因为()10,1x ∈，所以()()110h x h >=，即()()2120g x g x -->，()()212g x g x >-，
又21>x ，121x ->，及()g x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-成立，即122x x +>成立.
3．已知函数()()11e x
f x x -=+.
(1)求()f x 的极大值；
(2)设m 、n 是两个不相等的正数，且()()1
1e 1e 4e n m m n m n +-+++=，证明：2m n +<.
【解析】(1)因为()()111e 1e x x f x x x --+==
+的定义域为R ，()
1
e x x
f x -'=-，当0x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，当0x >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，所以，函数()f x 的极大值为()0e f =.
(2)证明：因为()()1
1e 1e 4e n m m n m n +-+++=，则
11114
e e e
m n m n --+++=，即()()4f m f n +=，由（1）知，函数()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
因为m 、n 是两个不相等的正数，且满足()()4f m f n +=，不妨设01m n <<<，构造函数()()()2g x f x f x =+-，则()()()1
12
2e
e x x
x
x g x f x f x ---'''=--=-
-，令()()h x g x '=，则()()()()1
111
11e 1e e e
x x x x x
h x x x -----'=---
=--.当01x <<时，101x x ->>-，则()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，
当1x >时，101x x ->>-，则()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，又因为函数()h x 在()0,∞+上连续，故函数()h x 在()0,∞+上单调递减，当01x <<时，()()10h x h >=，即()0g x '>，故函数()g x 在()0,1上为增函数，
故()()()(
)()()214f m f m g m g f m f n -+=<==+，所以，()()2f n f m >-，21m -> 且1n >，函数()f x 在()1,+∞上为减函数，故2n m <-，则2m n +<.
4．已知函数()1ln x
f x ax
+=
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)若()()2112e e x
x
x x =，且121200x x x x >>≠，，，证明
:
>【解析】（1）()()2
ln 0x
f x x ax -
'=>当0a >时，()01x ∈，
，()0f x '>，所以()f x 单调递增；()1x ∈+∞，，()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0a <时，()01x ∈，
，()0f x '<，所以()f x 单调递减；()1x ∈+∞，，()0f x '>，所以()f x 单调递增；
（2）证明：
()()2
1
12x x x x =e e ，∴()()2112ln ln x x x x =e e ，
()()121
2
ln ln x x x x =
e e 即当1a =时，()()
12f x f x =由（1）可知，此时1x =是()f x 的极大值点，因此不妨令1201x x <<<
>22122x x +>①当22x ≥时，22
122x x +>成立；②当212x <<时先证122x x +>此时()2201x -∈，
要证122x x +>，即证：122x x >-，即()()122f x f x >-，即()()222f x f x >-即：()()2220f x f x -->①令()()()()()()
1ln 21ln 21,22x x g x f x f x x x x
+-+=--=
-
∈-，
∴()()()
()()222222
ln 2ln 2ln 2ln ln 02x x x x x x g x x x x x x ---'=-->--=->-∴()g x 在区间()12，上单调递增∴()()10x g g >=，∴①式得证.∴122x x +>∵2
1112x x +>，22212x x +>∴221212
222x x x x ++>+∴()22
1212222
x x x x +>+->
>5．已知函数()2
2ln x f x x a
=-（a ∈R 且0a ≠）．
(1)2a =，求函数()f x 在()()22f ,处的切线方程．
(2)讨论函数()f x 的单调性；
(3)若函数()f x 有两个零点12x x 、()12x x <，且2e a =，证明：122e x x +>．【解析】(1)当2a =时，()2
2ln 2
x f x x =-，所以()222ln 2f =-.
()2f x x x '=-，所以()2
2212
f '=-=.
所以函数()f x 在()()22f ,处的切线方程为()22ln 22y x --=-，即2ln 2y x =-.(2)()f x 的定义域为(0，+∞)，22
()x f x a x
'=
-.当a <0时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在(0，+∞)上单调递减；
当a >0时，(222()x f x x x a x ax
'=
-=.在(上，()0f x '<，所以()f x 单调递减；在)
+∞
上，()0f x '>，所以()f x 单调递增.
(3)当2
e a =，()2
22ln e
x f x x =-.由(2)知，()f x 在()0,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增.
由题意可得：()12(0,e),e,x x ∈∈+∞.由(2e)22ln 20f =->及2()0f x =得：()2e,2e x ∈.
欲证x 1+x 2>2e ，只要x 1>2e-x 2，注意到f (x )在(0，e)上单调递减，且f (x 1)=0，只要证明f (2e-x 2)>0即可.
由22222()2ln 0e
x f x x =-=得22
222e ln x x =.所以
22222(2e )(2e )2ln(2e )e x f x x --=--2222224e 4e 2ln(2e )e x x x -+=--()
2222
22
4e 4e 2e ln 2ln 2e e x x x -+=--2
222442ln 2ln(2e ),(e,2e),e
x x x x =-
+--∈令4()42ln 2ln(2e ),(e,2e)e
t
g t t t t =-+--∈则24224(e )()0e 2e e (2e )t g t t t t t -'=-++
=--，则g (t )在(e ，2e)上是递增的，∴g (t )>g (e)=0即f (2e-x 2)>0.综上x 1+x 2>2e.6．已知函数()ln f x x x =-(1)求证：当1x >时，()21ln 1
x x x ->
+；
(2)当方程()f x m =有两个不等实数根12,x x 时，求证：12
1
x x m +>+【解析】(1)令()()()21ln 11x g x x x x -=->+，因为()()()()
2
22
114011x g x x x x x -'=-=>++，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g x g >=，即当1x >时，()
21ln 1
x x x ->
+.
(2)证明：由()ln f x x x =-，得()1
1f x x
'=-，
易知()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()min 1f x =.因为方程()f x m =有两个不等实根，所以1m >.不妨设1201x x <<<.由（1）知，当1x >时，()21ln 1
x x x ->
+；当01x <<时，()
21ln 1x x x -<+.
方程()f x m =可化为ln x m x -=.
所以()222221ln 1x x m x x --=>
+，整理得()2
22120x m x m -++->.①
同理由()111121ln 1
x x m x x --=<+，整理得()2
11120x m x m -++-+>.②
由①②，得()()()211210x x x x m -+-+>⎡⎤⎣⎦.又因为21x x >所以121x x m +>+.
法二：由()ln f x x x =-，得()1
1f x x
'=-
，易知()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()min 1f x =.因为方程()f x m =有两个不等实根，所以1m >.不妨设1201x x <<<.要证12
1x x m +>+，只要证1211ln 1x x x x +
>-+，只要证：21ln 11x x >-+>.
因为()f x 在()1,+∞上单调递增，只要证：()()()1211ln f x f x f x =>-.令()()()(1ln 01h x f x f x x =--<<，只要证()0,1x ∀∈，()0h x >恒成立.
因为()()()()1111ln 11ln 111ln 1ln x x x h x f x f x x x x x x x --⎛⎫
⎛⎫=---=-+-=
⎪ ⎪-⎭'⎝'-'⎝⎭
，令()()ln 101F x x x x x =--<<，则()ln 0F x x '=->，故()F x 在()0,1上单调递增，()()10F x F <=，所以()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递减，所以()()10h x h >=，故原结论得证.
7．已知函数()()2
2ln 21f x a x x a x a =-+-+．(1)若1a =，证明：()2
2f x x x <-；
(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：122x x a +>．
【解析】(1)当1a =时，()2
2ln 1f x x x =-+，定义域为()
0,∞+
令()()()2
22ln 21g x f x x x x x =--=-+，则()22g x x
'=
-当01x <<时，()0g x '>；当1x <时，()0g x '<；所以函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
故()()max 110g x g ==-<，所以()0g x <，得()2
2f x x x <-；
(2)因为()f x 有两个不同的零点12,x x ，则()f x 在定义域内不单调；由()()()()212221x a x a
f x x a x x
--+'=
-+-=当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递减，不符合题意；当0a >时，在()0,a 上有()0f x '>，在(),a +∞上有()0f x '<，
所以()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减．不妨设120x a x <<<令()()()
2F x f x f a x =--则()()()()()()222F x f x f a x a x f x f a x ''''''=---=+-()()()()()
2
422221222122a x a a
x a a x a x a x x a x -=-+-+--+-=--当()0,x a ∈时，()0F x '>，则()F 在()0,a 上单调递增所以()()()()20F x F a f a f a a <=--=故()()2f x f a x <-，因为12
0x a x <<<所以()()12f x f a x <-１，又()()2f x f x =１，122a a x a <-<则()()212f x f a x <-，又()f x 在(),a +∞上单调递减，所以212x a x >-，则122x x a +>．8．已知函数()2
1ln 2
f x x x x x =+
-．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
(2)若()00f x '=（()f x '为()f x 的导函数），方程()f x m =有两个不等实根1x 、2x ，求证：1202x x x +>．
【解析】(1)因为()21ln 2f x x x x x =+
-，则()ln f x x x '=+，所以，()1
12
f =-，()11f '=，所以，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1
12y x +=-，即32
y x =-.
(2)证明：因为()ln f x x x '=+，()00f x '=，所以00ln 0x x +=．
因为()f x '为增函数，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．由方程()f x m =有两个不等实根1x 、2x ，则可设102x x x <<，欲证1202x x x +>，即证20102x x x x >->，
即证()()2012f x f x x >-，而()()21f x f x =，即()()10120f x f x x -->，即()()()()2
211110*********ln 2ln 222022
x x x x x x x x x x x x +
------+->，设()()()()()2
2000011ln 2ln 22222
g x x x x x x x x x x x x x =+
------+-，其中00x x <<，则()()00ln ln 22g x x x x x =+-+'，设()()()000ln ln 220h x x x x x x x =<+<+-，则()()()
000211022x x x x x x x x h x -=
-=>--'，所以，函数()g x '在()00,x 上单调递增，所以()()0002ln 20g x g x x x '<='+=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，所以()()00g x g x >=，即()()2012f x f x x >-，故1202x x x +>得证．9．已知函数2()1e (1),1,1x f x k x x k R x ⎛
⎫=--->-∈ ⎪+⎝⎭
．
(1)若0k =，证明：(1,0)x ∈-时，()1f x <-；
(2)若函数()f x 恰有三个零点123,,x x x ，证明：1231x x x ++>．
【解析】(1)0k =时，函数1()e ,(1,0)1x
x f x x x -=
∈-+，则22
1()e 0(1)x x f x x +='>+，()f x 在(1,0)-上单调递增，所以1()e (0)11
x
x f x f x -=
<=-+．(2)e ()(1)1x f x x k x ⎛⎫
=--
⎪+⎝⎭，显然1x =为函数的一个零点，设为3x ；设函数e ()1
x
F x k x =-+，2e ()(1)x x F x x '=
+当(1,0)x ∈-时，()0F x '<，当,()0x ∈+∞时，()0F x '>，故()F x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．
由已知，()F x 必有两个零点12,x x ，且1210x x -<<<，下证：120x x +>．设函数()()(),(1,0)h x F x F x x =--∈-，则e e ()11
x x
h x x x -=+
+-，2e 11()e e (1)11x x x x x x h x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭'，由于(1,0)x ∈-，则2e 1e 0(1)1x x x x x x -+⎛⎫
-< ⎪+-⎝⎭
，
由（1）有1e 01
x
x x ++
>-，故()0h x '<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递减，所以()(0)0h x h >=，即有()()()211F x F x F x =>-，
由于12,(0,)x x -∈+∞，且在(0,)+∞上单调递增，所以21x x >-，所以120x x +>．10．已知函数()()()1ln 3f x x x a x =++-．(1)若函数()f x 为增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若函数()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <．求证：()()12122f x f x x x +++>-．【解析】(1)因为()()()1ln 3f x x x a x =++-，该函数的定义域为()0,∞+，()1
ln 2f x x a x
'=+
+-，若函数()f x 为增函数，则()0f x '≥恒成立．令()1ln 2g x x a x =+
+-，()22111
x g x x x x
-'=-=，令()0g x '=得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；
当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，故()()11g x g a ≥=-，所以，10a -≥，因此1a ≥．
(2)因为函数()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <，即方程()0g x =有两个不等的实根1x 、()212x x x <，因为()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以，1201x x <<<，即1x 、2x 是1
ln 20x a x
+
+-=的两个根，所以11
2
21ln 201ln 20
x a x x a x ⎧++-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩
，则()()111222ln 21ln 21x x a x x x a x ⎧+-=-⎪⎨+-=-⎪⎩，
所以，()()()()121211221212ln ln ln ln 2f x f x x x x x x x x x a x x +++=++++-+12ln ln 2x x =+-，即证12ln ln 0x x +>，即证121x x >．
由112
21ln 201ln 20
x a x x a x ⎧++-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩两式作差得1221
11ln x x x x =-，
令()120,1x t x =∈，则11ln t x t -=，21ln t x t t
-=，
即只需证
11
1ln ln t t t t t
--⋅>
，即证ln 0t >．令(
)ln t t ϕ=-()0,1t ∈，则(
)
2
10t ϕ-'=，
故()t ϕ在区间()0,1上单调递减，当()0,1t ∈时，()()10t ϕϕ>=，命题得证．11．已知函数()ln f x x x =-.(1)求函数()f x 的单调区间；
(2)若函数()y f x =的图象与()y m m R =∈的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：12242ln 2x x +>-.【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞令11()10x
f x x x -'=-=>，解得01x <<令11()10x f x x x
-'=
-=<，解得1x >所以()f x 的单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞(2)由（1）不妨设12
01x x <<<由题知11ln x x m -=，22ln x x m -=两式相减整理可得：12
1
2
1
ln x x x x -=所以要证明12242ln 2x x +>-成立，只需证明1
2
112
22(42ln 2l )
n x x x x x x +->-因为1
2ln 0x x <，所以只需证明212
112(42ln 2ln )2x x x x x x <-+-令
12,01x t t x =<<，则只需证明1
(42ln l 21n 2)t t t -<-+，即证(1)ln (1)02(42ln 2)t t t +--<-令2()(1)ln (1)
2(4ln 2)g t t t t -=-+-
2ln 22l 12ln (2)1
()22n 2ln t t t g t t t t
++'--=++=
记()2ln (2)12ln 2h x t t t +-=+则()2ln 2h x t '=易知，当102t <<时，()0h x '<，当1
12
t <<时，()0h x '>所以当12t =
时，min 11
()()022
n 2ln l h x h ==+=所以当01t <<时，()0g t '≥，函数()g t 单调递增故()(1)0g t g <=，即(1)ln (1)02(42ln 2)t t t +--<-所以，原不等式12242ln 2x x +>-成立.12．已知函数()()3
ln 010
f x ax x a a =+≠.(1)讨论()f x 的单调性.
(2)若函数()f x 有两个零点12x x ，，且12x x <，证明：123
10
x x +>
.【解析】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln ln 1f x a x a a x '=+=+.
①当0a >时，令()0f x '<，得10x e <<，则()f x 在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；
令()0f x '>，得1x e >，则()f x 在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
②当0a <时，令()0f x '<，得1x e >，则()f x 在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；
令()0f x '>，得10x e <<，则()f x 在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增.
综上所述，当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；
当0a <时，()f x 在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.
(2)证明：因为12x x ，为()f x 的两个零点，所以11
3
ln 010x x +=，22
3
ln 010x x +
=，两式相减，可得121233ln ln 01010x x x x -+-=，即112
212
3ln 10x x x x x x -=⋅，121212310ln x x x x x x -=⋅，因此，121121310ln x x x x x -=⋅，21212
1310ln x x x x x -=⋅.令12x t x =，则12
1113513310ln 10ln 10ln t t t x x t t t
--
-+=⋅+⋅=⋅，
令()()1ln 01h t t t t t =--<<，则()222
111
10t t h t t t t -+'=+-=
>，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=，即1ln 0t t t
--<.
因为01t <<，所以1
1ln t t t
-
>，故123
10
x x +>得证.
13．已知函数()ln f x x x ax a =-+．(1)若1≥x 时，()0f x ≥，求a 的取值范围；
(2)当1a =时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，证明：121x x <．【解析】（1）∵1≥x ，()0f x ≥，∴ln 0a x a x -+
≥，设()ln (1)a
g x x a x x =-+≥，()221a x a g x x x x
-'=-=，当1a >时，令()0g x '=得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<，()g x 单调递减；当x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()(1)0g a g <=，与已知矛盾．当1a ≤时，()0g x '≥，∴()g x 在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=，满足条件；综上，a 取值范围是(,1]-∞．
（2）证明：当1a =时，()ln f x x '=，当1x >，'()0f x >，当01x <<，'()0f x <，则()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，在区间()0,1上单调递减，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x <，只需证21
1
1x x <<
，∵()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，∴只需证121()(f x f x <，∵12()()f x f x =，∴只需证11
1
()()f x f x <．设1()()()(01)F x f x f x x =-<<，则22211
()ln ln ln 0,x F x x x x x x -'=-=>，∴()F x 在区间()0,1上单调递增，∴
()(1)0F x F <=，∴1
()()0f x f x
-<，即111()()f x f x <成立，∴121x x <．
14．设函数()()e x
f x x a =+，已知直线21y x =+是曲线()y f x =的一条切线.
(1)求a 的值，并讨论函数()f x 的单调性；(2)若()()12f x f x =，其中12x x <，证明：124x x ⋅>.
【答案】(1)1a =；()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增【解析】(1)设直线21y x =+与曲线()y f x =相切于点()()00,x f x ，()()1e x f x x a '=++ ，()()0001e 2x f x x a '∴=++=；
又()()0000e 21x f x x a x =+=+，002e 21x
x ∴-=+，即00e 210x x +-=；设()e 21x g x x =+-，则()e 20x
g x '=+>，()g x ∴在R 上单调递增，
又()00g =，()g x ∴有唯一零点0x =，00x ∴=，12a ∴+=，解得：1a =；()()1e x f x x ∴=+，()()2e x f x x '=+，
则当(),2x ∞∈--时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>；
()f x ∴在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增.
(2)由（1）知：()()2
min 2e 0f x f -=-=-<；
当1x <-时，()0f x <；当1x >-时，()0f x >，1221x x ∴<-<<-；要证124x x ⋅>，只需证12
4
2x x <
<-；()f x 在(),2-∞-上单调递减，∴只需证()124f x f x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
又()()12f x f x =，则只需证()224f x f x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
对任意()22,1x ∈--恒成立；
设()()()421h x f x f x x ⎛⎫
=--<<- ⎪⎝⎭
，
()()()()44
4333822e 2e e e 8x
x x
x
x
x x h x x x x x -⎛⎫++'∴=++=+ ⎪
⎝⎭
；设()()43e
821x x
p x x x -
=+-<<-，则()2
437e
024x x
p x x x -
⎡⎤
⎛⎫'=⋅++
<⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎢⎥⎣⎦
，()p x ∴在()2,1--上单调递减，()()2880p x p ∴<-=-+=，
又当21x -<<-时，()43
2e 0x
x x +<，()0h x '∴>，
()h x ∴在()2,1--上单调递增，()()()()2220h x h f f ∴>-=---=，
即()4f x f x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
在()2,1x ∈--时恒成立，又()22,1x ∈--，
()224f x f x ⎛⎫
∴> ⎪⎝⎭
，原不等式得证.
15．已知函数()()3
2ln f x x x a a R x
=+
+-∈有两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；
(2)求证：121x x >.
【解析】(1)定义域为()()222
3223
0,,1x x f x x x x ∞+-+=-+='，
()(),0,10x f x '∈<，所以()f x 在()0,1x ∈上单调递减.()()1,,0x f x '∈+∞>，所以()f x 在()1,x ∈+∞上单调递增，
所以()f x 在1x =处取得极小值，也是最小值，
又()min ()14f x f a ==-，所以先保证必要条件()10f <成立，即4a >满足题意.当4a >时，易知，()()()33222ln 22ln 2022f a a a a a a a a
=+
+-=++>；()11
1132ln 2ln 0;
f a a a a a a a
a a ⎛⎫=+--=+->> ⎪⎝⎭由以上可知，当4a >时，()()3
2ln f x x x a a R x
=+
+-∈有两个不同的零点.(2)由题意，假设1201x x <<<，要证明121x x >，只需证明12
1x x >.只需证()121f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，又()()12f x f x =.即只需证()221f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭，构造函数()()1,(1)g x f x f x x ⎛⎫
=-
> ⎪⎝⎭
.()224ln g x x x
x =-+()2
2
2(1)x g x x --∴='，所以()g x 在()1,+∞单调递减.()()()2210,1,1g x g x g =>∴< ，即()22
1
f x f x ⎛⎫<
⎪⎝⎭
成立，即()1
21f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭所以原命题成立.
16．已知a 是实数，函数()ln f x a x x =-．(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 有两个相异的零点12,x x 且120x x >>，求证：2
12e x x ⋅>．
【解析】(1)()f x 的定义域为()0,∞+，()1a a x f x x x
-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递减；
当0a >时，令()0f x '>得：()0,x a ∈，令()0f x '<得：(),x a ∈+∞，故()f x 在()0,x a ∈上单调递增，在(),x a ∈+∞上单调递减；
综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在()0,x a ∈上单调递增，在(),x a ∈+∞上单调递减；
(2)由（1）可知，要想()f x 有两个相异的零点12,x x ，则0a >，不妨设120x x >>，因为()()120f x f x ==，
所以1122ln 0,ln 0a x x a x x -=-=，所以()1212ln ln x x a x x -=-，要证2
12e x x ⋅>，即证12ln ln 2x x +>，等价
于
12
2x x a a +>，而1212ln ln 1x x a x x -=-，所以等价于证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即()121212
2ln x x x x x x ->+，
令12x t x =
，则1t >，于是等价于证明()
21ln 1
t t t ->+成立，设()()21ln 1
t g t t t -=-
+，1
t >()()()()2
22
114011t g t t t t t -'=-=>++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，
故()()10g t g >=，即()21ln 1
t t t ->
+成立，
所以2
12e x x ⋅>，结论得证.
17．已知函数()1
e x
f x ax -=-，
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若函数()f x 在()0,2上有两个不相等的零点12,x x ，求证：121x x a
>
.【解析】(1)()1
e x
f x a -='-，x ∈R .
①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 单调递增；
②当0a >时，由()0f x '>得，()1ln ,x a ∈++∞，()f x 单调递增，由()0f x '<得，(),1ln x a ∈-∞+，()f x 单调递减.
综上：当0a ≤时，()f x 单调递增；当0a >时，()f x 在()1ln ,x a ∈++∞上单调递增，在(),1ln x a ∈-∞+上单调递减.
(2)∵()f x 在()0,2上有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设12x x <，∴1
e x a x -=在()0,2上有两个不相等的实根，
令()1
e x g x x -=，()0,2x ∈，∴()()12
e 1x x g x x --'=，
由()0g x '<得，()0,1x ∈，()g x 单调递减，由()0g x '>得，()1,2x ∈，()g x 单调递增，
()11g =，()e 22g =
，0x →，()g x ∞→+，∴e 1,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
要证121
x x a
>，即证121ax x >，又∵()()12g x g x a ==，只要证21
1e
1x x ->，即证211e x x ->，∵121x x <<，即证()()
2
11e x
g x g -<即证()(
)
2
12e x g x g -<，即证12
221e 1
12e e e
x x x x ----<，即证212e ln 10x x -+->令()1e
ln 1x
h x x -=+-，()1,2x ∈，∴()11
e x h x x
-'=-+，
令()e e x x x ϕ=-，()1,2x ∈，则()e e x x ϕ'=-，当()1,2x ∈时，()e e>0x x ϕ'=-恒成立，所以()e e x
x x ϕ=-在
()1,2x ∈上单调递增，又()()10x ϕϕ>=，∴e e x x >，∴11
e x x
-<
，∴()0h x '>∴()h x 在()1,2上递增，∴()()10h x h >>，∴1e ln 10x x -+->，∴121x x a
>
.18．已知函数2
1()ln 2
f x x x x x =+-的导函数为()'f x .
(1)判断()f x 的单调性；
(2)若关于x 的方程()f x m '=有两个实数根1x ，212()x x x <，求证：2
122x x <.
【解析】(1)()1(1ln )(0)f x x x x x x '=+-+=>，
令()ln g x x x =-，由11()1(0)x g x x x x
'
-=-
=>，可得()g x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，
所以()()(1)10f x g x g '==>
，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；(2)依题意，1122ln ln x x m
x x m
-=⎧⎨
-=⎩，相减得2121
ln x x x x -=-，令
2
1
(1)x t t x =>，则有1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，
欲证2
12
2x x <成立，只需证222ln (ln )21(1)t t t t t ⋅<--成立，即证33
2
2(1)(ln )t t t -<成立，即证13
23
2(1)ln t t t
-<
成立，令13
(1)t x x =>，只需证13
21
2()3ln 0x x x
-->成立，
令1
3
21
()2()3ln (1)F x x x x x
=-
->，即证1x >时，()0F x >成立
11
323
3
33
232(2)3()2(1x x F x x x x
+-'=+-=，令
1
323()2(2)3(1)h x x x x =+->，则11233()2(3)63(22)(1)x x x x x g x '=-=->，可得()h x 在23(1,2)内递减，在2
3(2,)+∞内递增，
所以2
3()(2)0h x h = ，所以()0F x '
，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0F x F >=成立，故原不等式成立.19．已知函数()ln f x x =.(1)设函数()()ln t
g x x t x
=-∈R ，且()()g x f x ≤恒成立，求实数t 的取值范围；(2)求证：()12e e x f x x
>
-；(3)设函数()()1
y f x ax a R x
=--
∈的两个零点1x 、2x ，求证：2122e x x >.【解析】(1)由()()g x f x ≤可得ln ln t
x x x
-≤，可得2ln t x x ≤，
令()2ln h x x x =，其中0x >，则()()21ln h x x '=+，当1
0e
x <<时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，
当1
e
x >
时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，所以，()min 12e e h x h ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，所以，2e t ≤-；
(2)要证()12e e x f x x >
-，即证2
ln e e
x x x x >-，由（1）可知，1ln e
x x ≥-，当且仅当1
e x =时，等号成立，
令()2
e e
x
x m x =
-，其中0x >，则()1e x x m x -'=，当01x <<时，()0m x '
>，此时函数()m x 单调递增，
当1x >时，()0m x '
<，此时函数()m x 单调递减，
所以，()()max 1
1e
m x m ==-，
因为1ln e
x x ≥-和()1e m x ≤-取等的条件不同，故2
ln e e x x x x >-，即()12e e x f x x >-；
(3)由题知111
1
ln x ax x -=①，2221ln x ax x -=②，
①+②得()()12
121212
ln x x x x a x x x x +-=+③，②-①得()2
21
211
12
ln x
x x a x x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭④.③÷④得()()12122
1212211
2ln ln x x x x x x x x x x x x ++-
=-，不妨设120x x <<，记2
1
1x t x =>.令()()()21ln 11t F t t t t -=->+，则()()()()
2
22
114011t F t t t t t -'=-=>++，所以()F t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10F t F >=，则()21ln 1
t t t ->+，即()212112
2ln
x x x x x x ->+，
所以()()12122
1212211
2ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-.因为()()(
)(
)1212121212
12
2ln ln ln x x x x x x x x x x +-
<=
=
所以2
，即1>.令()2ln x x x ϕ=-，()212
0x x x
ϕ'=+>，则()x ϕ在()0,∞+上单调递增.
又
)1ln
ln 2112
e =+<，
所以
)
1ln >-
)ϕϕ
>，所以212
2x x
e >.
20．已知函数1
()e x
x f x -=
.（1）求()f x 的单调区间与极值.
（2）设m ，n 为两个不相等的正数，且ln ln m n n m m n -=-，证明：4e mn >.【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()2e r
x
f x -'=
.当(,2)x ∈-∞时，()0f x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0.f x '<所以()f x 的单调递增区间为(,2)-∞，单调递减区间为(2,)+∞.故()f x 在2x =处取得极大值，且极大值为2
1
e ，无极小值.（2）证明：易知m ，0n >，
ln ln (ln 1)m n n m m n m n -=-⇔-()ln n ln ln 1ln 1ln 1ln 1
ln 1e e
m
n m n m n m n m ----=-⇔
=⇔=即()ln (ln )f f m n =，ln ln m n ≠.不妨设1ln x m =，2ln x n =，12x x <.（1）可知2(2,)x ∈+∞，()()120f x f x =>，1(1,2)
x ∈当23x ≥时，124x x +>，4e mn >，当223x <<时，2142x <-<，
()()()()22
22422222244
1e 31414x x
x x x x e x x f x f x e e e ----------=-=
设4()(1)e (3)e x x h x x x -=---，(2,3)x ∈，则()()()()()
442e
2e 2e e x
x x x h x x x x --=---=--'，因为(2,3)x ∈，4x x -<，
所以()0h x '>，()h x 在区间(2,3)上单调递增，422()(21)e (32)e 0h x ->---=，
所以()()()()2212440f x f x f x f x --=-->，()()124x f f x >-又因为1x ，24(1,2)x -∈，所以124x x >-，即124x x +>，故4e mm >.
21．已知函数()()2ln f x e x x =-，其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()12,0,1x x ∈，且()21121212ln 2ln ln x x x ex x x x -=-，证明：12
11
221e e x x <+<+.【解析】（1）2(1)'()ln e x x
f x =
-+，2e y x =是减函数，1ln y x =+是增函数，
所以'()f x 在()0,∞+单调递减，∵()'0f e =，
∴()0,x e ∈时，()'()'0f x f e >=，()f x 单调递增；(),x e ∈+∞时，()'()'0f x f e <=，()f x 单调递减.（2）由题意得，
12
1212
ln ln 2ln 2ln x x e x e x x x -=-，即12
12112ln 2ln e x e x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122
111
1
2ln 2ln e e x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，设
111a x =，22
1
a x =，则由()12,0,1x x ∈得，()12,1,a a ∈+∞，且()()12f a f a =.不妨设12a a <，则即证12221e a a e <+<+，
由()20f e =及()f x 的单调性知，1212a e a e <<<<.令()()()2F x f x f e x =--，1x e <<，则
[]2
4'()'()'(2)2ln (2)(2)
e F x
f x f e x x e x x e x =+-=----，
∵()2
2x e x e -≤，∴2224'()2ln 0e
F x e e
>--=，()()0F x F e <=，
∴()()2f x f e x <-，取1x a =，则()()112f a f e a <-，又()()12f a f a =，则()()212f a f e a <-，
又12e a e ->，2a e >，且()f x 在(),e +∞单调递减，∴212a e a >-，122a a e +>.下证：1221a a e +<+.
（i ）当21a e <+时，由1a e <得，1221a a e +<+；
（ii ）当212e a e +≤<时，令()()(21)G x f x f e x =-+-，12e x e +<<，则22'()'()'(21)1ln 1ln(21)21e e G x f x f e x x e x x e x
=++-=
--+--+-+-2
22(21)2ln (21)(21)e e x e x x e x
+⎡⎤=
---++⎣⎦-++，记2(21)t x e x =-++，12e x e +≤<，则2(21)
'()2ln e e G x t t
+=
--，又2(21)t x e x =-++在[)1,2e e +为减函数，∴()
2
2,1t e e ∈+，
2(21)
2e e t +-在()22,1e e +单调递减，ln t 在()22,1e e +单调递增，∴2(21)2ln e e t t
+--单调递减，从而，'()G x 在[)1,2e e +单调递增，又2(21)
'(2)2ln 2(212)21ln 22(212)
e e G e e e e e e e e e +=
--+-=--+-，ln 1≤-x x ，
∴()'20G e >，又2(21)'(1)2ln(1)(211)(1)(211)e e G e e e e e e e ++=
--++--++--1
ln(1)01
e e e -=-+<+，
从而，由零点存在定理得，存在唯一0(1,2)x e e ∈+，使得()0'0G x =，当[)01,x e x ∈+时，()0'()'0()G x G x G x <=⇒单调递减；当()0,2x x e ∈时，()0'()'0()G x G x G x >=⇒单调递增.
所以，{}()max (1),(2)G x G e G e ≤+，
又(1)(1)(211)(1)()(1)ln(1)G e f e f e e f e f e e e e +=+-+--=+-=-+-，ln 11
ln ln(1)x x e x e x e e e
+≤⇒≤⇒+≤，所以，11
(1)(1)0e G e e e e e
+-+<-⋅
-=<，显然，()()()22212000G e f e f e e =-+-=-=，所以，()0<G x ，即()()210f x f e x -+-<，取[)21,2x a e e =∈+，则()()2221f a f e a <+-，又()()12f a f a =，则()()1221f a f e a <+-，
结合()221211e a e e e +-<+-+=，1a e <，以及()f x 在()0,e 单调递增，得到1221a e a <+-，从而1221a a e +<+.
22．已知函数()e ln x
f x x a x a =--，其中0a >．
(1)若2e a =，求()f x 的极值：
(2)令函数()()g x f x ax a =-+，若存在1x ，2x 使得()()12g x g x =，证明：1212e e 2x x
x x a +>．
【解析】(1)当2e a =时()e 2eln 2e x
f x x x =-，()0,x ∈+∞，所以()()()1e 2e
2e 1e x
x
x x f x x x x
+-'=+-=
，当()0,1x ∈时，202x x <+<，1e e x <<，所以()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，22x x +>，e e x >，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()f x 的极小值为()1e f =-，无极大值.
(2)证明：()()()e ln e ln e x x x
g x a x ax x f x ax x a x a ==-=+---，
令e x t x =，则上述函数变形为()ln h a t t t =-，
对于()e x t x x =，()0,x ∈+∞，则()()1e 0x
t x x '=+>，即()e x t x x =在()0,∞+上单调递增，。