安徽省淮北一中2013届高三第三次月考(11月)数学理试卷

安徽省淮北一中2012-2013学年上学期高三年级第三次月考（11月）数学试
卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选
项中，只有一个选项是正确的）
1．集合
，集合Q=，则P 与Q 的关系是（ ）
A ．P=Q
B ．P Q
C ．
D ．
2.“3
π
θ≠
”是“2
1
cos ≠
θ”的（ ） A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．已知31
)6
sin(=
-
π
α，则)3
cos(απ+的值为（ ） A ．
3
22 B ．3
2
2-
C ．
31 D ．3
1- 4．若函数x x x f ln 2)(2
-=在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是 ( )
A ．[1,2)
B ．[1，32)
C ． [1，＋∞)
D ．[3
2，2) 5. 已知函数
在一个周期内的图象如图所示.则
的图象可由函数y=cosx 的图象（纵坐标不变）（ ）
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
个单位
6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2
()()
0xf x f x x
->，且(2)0f -=，则
不等式
()
0f x x
>的解集是 ( ) A .(2,0)-∪(0,2) B. (,2)-∞-∪(2,)+∞ C. (2,0)-∪(2,)+∞ D. (,2)-∞-∪(0,2)
7.已知向量,a b 满足2,0a b a b ==⋅=，若向量c a b -与共线，则a c +的最小值为（ ）
A 、1
B
C
D 、2
8．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．
的是( ) A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0
C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0
D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列
9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足：)2()(+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，
42)(--=x x f ．下列四个不等关系中正确的是 （ ）
A ．)3
2(sin )32(cos
π
πf f < B ．)1(cos )1(sin f f >
C ． )6
(cos )6(sin
π
π
f f < D ．)2(sin )2(cos f f >
10.设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当
[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π）
且x ≠2
π
时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx
在[-2π，2π] 上的零点个数为（ ）
A .2
B .4 C.5 D. 8
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.若1tan 2α=
，则cos(2)απ
2
+= . 12．在△ABC 中，若sin 2
A ＋sin 2
B －sin Asin B ＝sin 2
C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为_______。

13.已知0,0x y >>，若2282y x
m m x y
+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 .
14.设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈且122x x a +=，恒有
()()122f x f x b +=，
则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心. ，记函数)(x f 的导函数为)(/
x f ，)(/
x f 的导函数为)(//
x f
，则有0)(//=a f 。

研究并利用函数()()323sin f x x x x π=--的对称中心， 可得12402240232012201220122012f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 。

15. 以下命题：
⋅=则∥；
② )1,1(-=在)4,3(=方向上的投影为
5
1； ③若△ABC 中,,7,8,5===c b a 则20=⋅；
④若非零向量、=+，则+>.
⑤已知△ABC 中，1()3
PN PA PB PC =++则向量()(0)AB AC λλ+≠所在直线必过N 点。

其中所有真命题的序号是 .
三、解答题
16. （本小题满分12分） 已知函数)2cos(2)23sin(
)2
cos()(x x x x f -⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-+-
=πππ。

（1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；
（2）将)(x f 按向量a 平移后图像关于原点对称，求当||a 最小时的a 。

17．（本小题满分12分） 在
ABC ∆中,角
,,A B C
的对边分别为
,,a b c
，已知
,
s i n ()
s i n ()
4
4
4
A b C c
B a π
π
π
=
+-
+= (1) 求证：2
B C π
-=
(2) 若a =
求△ABC 的面积.
18．（本小题满分12分）
已知三棱柱111ABC A B C -的底面
ABC
为正三角形，侧棱
1AA ⊥平面ABC ,12,4AB AA ==E 为1AA 中点，F 为BC 中点，
（Ⅰ）求证:直线1;AF BEC P 平面 （Ⅱ）求1BEC 平面与平面ABC 所成
锐二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，1015a =，且3a 、4a 、7a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n n
a b =
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：*7
1()4
n T n -≤<-∈N . 20．（本小题满分13分）
已知函数2
()ln (1) 1.f x p x p x =+-+ （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1,()p f x kx =≤时恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：*11
1
ln(1)1().23n n N n
+<++++∈ 21．（本小题满分14分）
已知,],0(,ln 2)(2e x x ax x f ∈-=其中e 是自然对数的底. (1)若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值； (2)求)(x f 的单调区间； (3)设a x x g e a ln 5)(,12
+-=>，存在],0(,21e x x ∈，使得9|)()(|21<-x g x f 成立，求a 的取值
范围.
安徽省淮北一中2012-2013学年上学期高三年级第三次月考（11月）数学试卷（理科）
参考答案
一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C
B
B
A
B
C
B
C
D
B
11. -5
4
12. 3 13. -4<m<2 14. -8046
15. ①②④⑤
16. 解：（1）2()(sin cos )2cos =2sin cos 2cos f x x x x x x x =-⋅-
＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
由ππ222,()242k x k k Z πππ-
≤-≤+∈ 得π3π
,()88
k x k x k k Z πππ-≤≤+≠∈ 所以f (x )的单调递增区间为π3π
[,],().88
k k k Z ππ-
+∈ （2）设(,)a m n =，则()f x 按a
平移后得)]14
y x m n π
=
---+
2)14
x m n π
=---+
因为该函数的图像关于原点对称，所以
,2,,284101
k m k Z m k k Z n n ππππ⎧⎧
=--∈--=∈⎪⎪
⇒⎨⎨
⎪⎪-==⎩⎩ 9分 当||a 最小时，(,1)8
a π
=-
17．解:(1)证明:由 sin(
)sin()44
b C
c B a π
π
+-+=及正弦定理得:
sin sin()sin sin()sin 44
B C C B A ππ
+-+=,
即sin )sin )B C C C B B +-+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4
B C π
<<
所以2
B C π
-=
(2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ==,
又,4
A a π==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8
a B a C
b
c A A ππ=
===, 所以三角形ABC 的面积
151
sin sin cos 28888242
bc A πππππ===== 18．解：取11B C 的中点，以FA 、FB 、FN
为轴建立空间直角坐标系，则0)A ，，(010)B ，，，(010)C -，，，1(014)C -，，
，14),2)A E ，，，……………3分
（Ⅰ）设平面1BEC 的法向量为()x y z =，，n ，则1320240n BE x y z n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,
取z=1，0,2x y ==故(021)=，
，n ………………．．4分 110000,
,,AF AF BEC AF AF BEC ≠
⋅=++=⊂∴⊥∴面面n n 。

(6)
（Ⅱ）易得平面ABC 的法向量为(001)
=，，m ，…………．．7分
cos ∴<m ，n
>n m n m ⋅=
=…………．．10分 1BEC 平面与平面ABC …………．．12分
20．
21．解： (1) 2222
()2ax f x ax x x
-'=-=. 由已知(1)220f a '=-=, 解得1a =.
经检验, 1a =符合题意. …………………………………………………………4分 (2) 2222
()2ax f x ax x x
-'=-=.
1) 当0a ≤时，()0,()f x f x '<∴在(0,]e 上是减函数.
2)当0a >时，2()()()a x x a a f x x
'=.
① e <，即21
a e >， 则()f x 在(0,上是减函数，在,]e 上是增函数；
e ≥ ，即210a e <≤，则()
f x 在(0,]e 上是减函数.综上所述，当21
a e
≤时，
()f x 的减区间是(0,]e ，当2
1
a e >时，()f x 的减区间
是(0)，增区间
是
,]e . ……… 9分 （3）当21a e >
时，由（2）知()f x
的最小值为(1ln f a a
=+，
易知()g x 在(0,]e 上的最大值为()4ln g e a =-- ∵(1ln )(4ln )52ln 0a a a +---=+>
∴由题设知2
(1ln )(4ln )9
1a a a e +---<⎧⎪
⎨>⎪⎩
解得221a e e <<。

故：a 的取值范围为2
21(,)e e。

………………………………………………14分。