2015年辽宁省沈阳市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z的共轭复数（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）
A．M∪N B．M∩N
C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）
3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）
A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）
A．5B．6C．7D．8
6．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）
A．B．C．2cm3D．4cm3
7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）
A．4B．5C．6D．7
9．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）
A．B．C．D．1
10．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）
A．B．C．D．
11．（5分）函数y＝﹣的图象按向量＝（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y＝2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A．2B．4C．6D．8
12．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是．
14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝．15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．
16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．
三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过
程书写在答题纸的对应位置.）
17．（12分）已知函数f（x）＝2sin x sin（x+）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求证：对任意的λ＝（0，1]，都有AC⊥BE；
（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．
19．（12分）某综艺节目，所有参演的节日都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投
三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
（Ⅰ）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
（Ⅱ）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．
20．（12分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，
过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求实数λ的值．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e•x＜0恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．
（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；
（Ⅱ）求证：BF＝FG．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．
（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z的共轭复数（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得＝
，
∴．
故选：B．
2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）
A．M∪N B．M∩N
C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）
【解答】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．
同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，
∴{5，6}＝（∁U M）∩（∁U N），
故选：D．
3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）
A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）【解答】解：由题意知，y＝4ax2（a≠0），则x2＝，
所以抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），
故选：C．
5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：由S n+2﹣S n＝36，得：a n+1+a n+2＝36，
即a1+nd+a1+（n+1）d＝36，
又a1＝1，d＝2，
∴2+2n+2（n+1）＝36．
解得：n＝8．
故选：D．
6．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）
A．B．C．2cm3D．4cm3
【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，
如图，
故，
故选：B．
7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．
【解答】解：作图
易知可行域为一个三角形，
当直线z＝2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，
故选：A．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知：该程序的作用是：
输出不满足条件S＝0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．
第一次运行：满足条件，s＝1，k＝1；
第二次运行：满足条件，s＝3，k＝2；
第三次运行：满足条件，s＝11＜100，k＝3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s＝1+2+8+211＞100，k＝4，不满足判断框的条件，退出循环．
故最后输出k的值为4．
故选：A．
9．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）
A．B．C．D．1
【解答】解：由曲线y＝x2，y＝，联立，因为x≥0，所以解得x＝0或x＝1
所以曲线y＝x2与y＝所围成的图形的面积S＝∫01（﹣x2）dx＝﹣x3|01＝
故选：B．
10．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边
的三等分点，则•＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：若|+|＝|﹣|，
则＝，
即有＝0，
E，F为BC边的三等分点，
则＝（+）•（+）＝（）•（）
＝（+）•（+）
＝++＝×（1+4）+0＝．
故选：B．
11．（5分）函数y＝﹣的图象按向量＝（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y＝2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A．2B．4C．6D．8
【解答】解：函数y＝﹣的图象按向量＝（1，0）平移之后得到函数y1＝，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，
而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在（1，）和（，）上是减函数；
在（，）和（，4）上是增函数．
∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，
且：x A+x H＝x B+x G═x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8，
故选：D．
12．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）
【解答】解：不等式f（x）＞+1可化为
e x f（x）﹣e x﹣3＞0；
令F（x）＝e x f（x）﹣e x﹣3，
则F′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x
＝e x（f（x）+f′（x）﹣1）；
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴e x（f（x）+f′（x）﹣1）＞0；
故F（x）＝e x f（x）﹣e x﹣3在R上是增函数，
又∵F（0）＝1×4﹣1﹣3＝0；
故当x＞0时，F（x）＞F（0）＝0；
故e x f（x）﹣e x﹣3＞0的解集为（0，+∞）；
即不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）；
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y＝x．
【解答】解：双曲线E的标准方程是，
则a＝2，b＝1，
即有渐近线方程为y＝x，
即为y＝x．
故答案为：y＝x．
14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝
．
【解答】解：由，解得．
数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2＝8，公比为，
所以，
故答案为．
15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．
【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）
∴＝1，
∴a+b＝（a+b）（）＝3+≥3+2，当且仅当b＝a时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．
故答案为：3+2．
16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则
异面直线PQ与AC所成角的正弦值．
【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），
B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），
P（2，2，1），＝＝（0，4，4）＝（0，1，1），
∴Q（0，1，1），＝（0，﹣4，0），＝（﹣2，﹣1，0），
设异面直线PQ与AC所成角为θ，
cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，
∴sinθ＝＝．
故答案为：．
三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过
程书写在答题纸的对应位置.）
17．（12分）已知函数f（x）＝2sin x sin（x+）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）f（x）＝2sin x sin（x+）
＝2sin x（sin x+cos x）＝sin2x+sin x cos x
＝+sin2x＝+sin（2x﹣）
则函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
由2k≤2kπ+，k∈Z，
解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，
sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
则f（x）的值域为[0，1+]．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求证：对任意的λ＝（0，1]，都有AC⊥BE；
（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．
【解答】（I）证明：以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，
如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则A（a，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，λa），，…
（3分）
∴对任意λ∈（0，1]都成立，
即AC⊥BE恒成立．…（5分）
（II）解：设平面ABE的一个法向量为，
∵，
∴，
取z1＝1，则x1＝λ，．…（7分）
设平面BCE的一个法向量为，
∵，
取z2＝1，则y2＝λ，，…（9分）
∵二面角C﹣AE﹣D的大小为120°，
∴|cos＜，＞|＝
，
∴λ＝1为所求．…（12分）
19．（12分）某综艺节目，所有参演的节日都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投
三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果
中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
（Ⅰ）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
（Ⅱ）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，
则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，
且三人投票相互没有影响，
∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：
P（A）＝＝．
（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
E（X）＝＝2．
20．（12分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求实数λ的值．
【解答】解：（I）由条件可知，c＝1，a＝2，
故b2＝a2﹣c2＝3，
椭圆的标准方程是．
（II）由，可知A，B，M三点共线，
设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意．
当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣4）．
由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．①
由①的判别式△＝322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＝144（1﹣4k2）＞0，解得，
，
由，可得，即有．
将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8＝0，
则x1＝，x2＝．
又因为，，，
所以，
所以λ＝．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e•x＜0恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（I），，a＝4．…（2分）
（Ⅱ）令．…（4分）
令g'（x）＞0，即，解得x＞1，
所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
所以g（x）最小值为g（1）＝0，所以．…（6分）
（Ⅲ）由题意可知，化简得，a＞．…（8分）
令h（x）＝，则h′（x）＝，
∴．…（9分）
由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx﹣1+＞0，
∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，
∴h（x）＜h（e）＝e﹣1．…（11分），
∴a≥e﹣1．…（12分）
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．
（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；
（Ⅱ）求证：BF＝FG．
【解答】解：（I）∵CF＝FG
∴∠CGF＝∠FCG
∵AB圆O的直径
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA＝∠ACE
∵∠CGF＝∠DGA
∴
∴∠CAB＝∠DAC
∴C为劣弧BD的中点（5分）
（II）∵
∴∠GBC＝∠FCB
∴CF＝FB
又因为CF＝GF
∴BF＝FG（10分）
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．
（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．
【解答】解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2＝16．…（2分）
直线l的参数方程为，即（t为参数）…（5分）（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2＝16，
得（1+t）2+（2+t）2＝16，即t2+（2+）t﹣11＝0，…（8分）
所以t1t2＝﹣11，即|P A|•|PB|＝11．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）＝2x+1﹣（x﹣4）＝x+5＞0，
得x＞﹣5，所以x≥4成立；
当﹣≤x＜4时，f（x）＝2x+1+x﹣4＝3x﹣3＞0，
得x＞1，所以1＜x＜4成立；
当x＜﹣时，f（x）＝﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；
（2）令F（x）＝f（x）+3|x﹣4|＝|2x+1|+2|x﹣4|
≥|2x+1﹣（2x﹣8）|＝9，
当﹣时等号成立．
即有F（x）的最小值为9，
所以m≤9．
即m的取值范围为（﹣∞，9]．。