2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题10等差数列与等比数列热点难点突破理含解析

等差数列与等比数列
1．已知等差数列{a n }中，a 4＝9，S 4＝24，则a 7等于( ) A ．3 B ．7 C ．13 D ．15 答案 D
解析 由于数列为等差数列，依题意得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 1＋3d ＝9，4a 1＋6d ＝24，
解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝9＋6＝15.
2．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3()a 3＋a 2，则 9
a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9
B ．9
C ．－81
D ．81 答案 B
解析 根据题意可知
a 5＋a 4a 3＋a 2
＝q 2
＝3， 而9a 1a 2a 3…a 9＝9a 95＝a 5＝a 1·q 4＝1×32
＝9.
3．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8 答案 A
解析 由已知条件可得a 1＝1，d ≠0， 由a 2
3＝a 2a 6，可得(1＋2d )2
＝(1＋d )(1＋5d )， 解得d ＝－2或d ＝0(舍)． 所以S 6＝6×1＋
－2
＝－24.
4．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 答案 B
解析 设等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，由已知得a 1a 2a 3＝2，a n a n －1a n －2＝4，可得(a 1a n )3
＝2×4，a 1a n ＝2，
∵T n ＝a 1a 2…a n ，∴T 2
n ＝(a 1a 2…a n )2
＝(a 1a n )(a 2a n －1)…(a n a 1)＝(a 1a n )n ＝2n ＝642＝212
， ∴n ＝12.
5．已知数列{a n }满足1
5n a ＝25·5a n ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则
1
3
log (a 5＋a 7＋a 9)等于( )
A ．－3
B ．3
C ．－13 D.1
3
答案 A 解析 ∵1
5
n a ＋＝25·5n a ＝25
n
a ＋，
∴a n ＋1＝a n ＋2，
∴数列{a n }是等差数列，且公差为2. ∵a 2＋a 4＋a 6＝9， ∴3a 4＝9，a 4＝3.
∴
＝
17
3
log 3a ＝
＝
13
log 27
＝－3.
6．数列{a n }是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列
{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于(
)
A. 2 B ．3 C. 5 D ．6 答案 B
\7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝15，且满足()2n －5a n ＋1＝()2n －3a n ＋4n 2
－16n ＋15，已知n ，m ∈
N *
，n >m ，则S n －S m 的最小值为( )
A ．－494
B ．－49
8 C ．－14 D ．－28
答案 C
解析 根据题意可知
(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋(2n －5)(2n －3)， 式子的每一项都除以(2n －5)(2n －3)， 可得a n ＋12n －3＝a n
2n －5＋1， 即
a n ＋1n ＋
－5－a n
2n －5
＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n －5是以15
2－5＝－5为首项，以1为公差的等差数列，
所以a n
2n －5＝－5＋(n －1)·1＝n －6，
即a n ＝(n －6)(2n －5)，
由此可以判断出a 3，a 4，a 5这三项是负数， 从而得到当n ＝5，m ＝2时，S n －S m 取得最小值， 且S n －S m ＝S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝－3－6－5＝－14.
8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋a 12－a 8＝8，a 10－a 6＝4，则S 23＝( ) A ．23 B ．96 C ．224 D ．276
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 4＋a 12－a 8＝2a 8－a 8＝a 8＝8，a 10－a 6＝4d ＝4，解得d ＝1，所以a 8＝a 1＋7d ＝a 1＋7＝8，解得a 1＝1，所以S 23＝23×1＋23×22
2×1＝276，选D.
【答案】D
9．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＋1，a 3＋4，a 5＋7成等差数列，则公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【解析】设{a n }的公比为q ，由题意得2(a 3＋4)＝a 1＋1＋a 5＋7⇒2a 3＝a 1＋a 5⇒2q 2
＝1＋q 4
⇒q 2
＝1，即a 1＝a 3，
d ＝a 3＋4－(a 1＋1)＝4－1＝3，选B.
【答案】B
10．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5
【解析】因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项， 所以(a 5＋a 7)2
＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，
故a 9＋a 11＝
a 5＋a 7
2
a 1＋a 3
＝4
2
8
＝2； 同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，
所以(a 9＋a 11)2
＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝
a 9＋a 11
2
a 5＋a 7
＝2
2
4
＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 【答案】C
11．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]
B ．(－∞，0)∪[1，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
【答案】D
12．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝38n ＋142n ＋1(n ∈N *
)，则a 6b 7
＝( )
A ．16 B.24215 C.43223 D.494
27
【解析】令S n ＝38n 2
＋14n ，T n ＝2n 2
＋n ，∴a 6＝S 6－S 5＝38×62
＋14×6－(38×52
＋14×5)＝38×11＋14；b 7＝T 7－T 6＝2×72
＋7－(2×62
＋6)＝2×13＋1，∴a 6b 7＝38×11＋142×13＋1＝432
27
＝16.故选A.
【答案】A
13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则
2S n ＋16
a n ＋3(n ∈N *
)的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2 D.9
2
【解析】∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴(1＋2d )2
＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去) ∴a n ＝2n －1， ∴S n ＝
n 1＋2n －
2
＝n 2
，
∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2
＋162n ＋2.令t ＝n ＋1，
则
2S n ＋16a n ＋3＝t ＋9
t
－2≥6－2＝4当且仅当t ＝3， 即n ＝2时等号成立，∴2S n ＋16a n ＋3的最小值为4.故选A.
【答案】A
14．已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.
15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝8，且S n ≤S 7，则公差d 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8
5，－43
解析 ∵a 2＝8＝a 1＋d ， ∴a 1＝8－d ，
S n ＝na 1＋
n n －
2
d ＝(8－d )n ＋
n n －
2
d
＝12dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－32d n ， 对称轴为n ＝32－8d
，
∵S n ≤S 7，∴S 7为S n 的最大值，
由二次函数的性质可得，⎩⎪⎨⎪⎧
132≤32－8d ≤152
，
d <0，
得－85≤d ≤－4
3
，
即d 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8
5
，－43.
16．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a 2
n n (n ∈N *
)均为等差数列，且a 1＝2，则a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 333＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n n ＝________.
答案 2
n ＋1
－2
解析 设a n ＝2＋(n －1)d ，
所以a 2n
n ＝
[2＋n －d ]2
n
＝
d 2n 2＋
d －2d 2n ＋d －
2
n
，
由于⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a 2
n n 为等差数列，
所以其通项是一个关于n 的一次函数， 所以(d －2)2
＝0，∴d ＝2.
所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴a n n
＝2n
n
＝2.
所以a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 333＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n n n ＝21＋22＋ (2)
＝
－2
n
1－2
＝2
n ＋1
－2.
17．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *
)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}b n ，则b 2 017＝________. 答案 1
解析 由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…， 此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…， 构成以8项为周期的周期数列，所以b 2 017＝b 1＝1.
18．已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2
＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对∀n ∈N *
恒成立，则实数λ的取值范围为________． 答案 [0，＋∞)
解析 由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2
＋2n )， 得
a n ＋2n ＋2－a n
n
＝λ， 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 的奇数项和偶数项分别构成首项均为1， 且公差均为λ的等差数列． 因为a 1＝1，a 2＝2，
所以当n 为奇数时，a n n
＝1＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋12－1＝n －12λ＋1，
所以a n ＝
n 2－n
2
λ＋n ；
当n 为偶数时，a n n ＝1＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2－1＝
n －22λ＋1，
所以a n ＝
n 2－2n
2
λ＋n .
当n 为奇数时，由a n <a n ＋1， 得
n 2－n
2
λ＋n <
n ＋
2
－
n ＋
2
λ＋n ＋1，
即λ(n －1)>－2，若n ＝1，则λ∈R ； 若n >1，则λ>－
2
n －1
，所以λ≥0. 当n 为偶数时，由a n <a n ＋1， 得
n 2－2n
2
λ＋n <
n ＋
2
－n ＋
2
λ＋n ＋1，
即3n λ>－2，所以λ>－
2
3n
，即λ≥0. 综上，λ的取值范围为[0，＋∞)．
19．已知等差数列{a n }中，a 3＝π
4
，则cos(a 1＋a 2＋a 6)＝________.
【解析】∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 6＝a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝34π，∴cos(a 1＋a 2＋a 6)＝cos 34π＝－2
2.
【答案】－
2
2
20．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4
＝________. 【解析】解法一：设数列{a n }的公比为q ，由已知得S 4S 2＝1＋a 3＋a 4a 1＋a 2
＝5，即1＋q 2
＝5， 所以q 2
＝4，S 8S 4＝1＋
a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4
＝1＋q 4
＝1＋16＝17.
解法二：由等比数列的性质可知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，若设S 2＝a ，则S 4＝5a ， 由(S 4－S 2)2
＝S 2·(S 6－S 4)得S 6＝21a ，同理得S 8＝85a ，
所以S 8S 4＝85a
5a
＝17.
【答案】17
21．已知数列{x n }各项均为正整数，且满足x n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧
x n 2
，x n 为偶数，
x n ＋1，x n 为奇数，
n ∈N *.若x 3＋x 4＝3，则x 1所有可
能取值的集合为________．
【解析】由题意得x 3＝1，x 4＝2或x 3＝2，x 4＝1. 当x 3＝1时，x 2＝2，从而x 1＝1或4； 当x 3＝2时，x 2＝1或4，
因此当x 2＝1时，x 1＝2，当x 2＝4时，x 1＝8或3. 综上，x 1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}． 【答案】{1,2,3,4,8}
22．已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .
【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 1
3
＝2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)×2＝2n .
设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3
＝b 5b 2
＝8，解得q ＝2. 因为b 1＝b 2q
＝2，所以b n ＝b 1·q n －1
＝2×2
n －1
＝2n
. (2)由(1)可得，S n ＝
n 2＋2n
2
＋
－2n
1－2
＝n 2
＋n ＋2
n ＋1
－2.
23．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n
(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正
整数．
(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．
(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 2
2＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ
⎝ ⎛⎭
⎪⎫49λ－4，
故49λ2－4λ＋9＝49λ2
－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．
(2)因为b n ＋1＝(－1)
n ＋1
[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)
n ＋1
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n
(a n －3n ＋21)＝－23b n ，b 1
＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *
)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 则b n ≠0，所以
b n ＋1b n ＝－23
(n ∈N *
)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－2
3
为公比的等比数列．
24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足1
2
n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *
)．
(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和M n ；
(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．
(2)因为1
2
n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *
)，且a 1＝3，
所以T n ＝4n
λ＋2
λ，
当n ＝1时，b 1＝6
λ；
当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝
3·4
n －1
λ，
此时有
b n
b n －1
＝4，若{b n }是等比数列， 则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12
λ
，彼此相矛盾，
故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列．。