推荐学习K12高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之函数探讨函数的综合问题1 新人教

九、函数的综合问题：

典型例题：例1.设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈。 （1）讨论()f x 的单调性；

（2）设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围。 【答案】解：()sin f x a x '=-。

（1）∵[0,]x π∈，∴0sin 1x ≤≤。

当1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在[0,]x π∈上为单调递增函数； 当0a ≤时，()0f x '≤，()f x 在[0,]x π∈上为单调递减函数； 当01a <<时，由()0f x '=得sin x a =，

由()0f x '>得0arcsin x a ≤<或arcsin a x ππ-<≤； 由()0f x '<得arcsin arcsin a x a π<<-。

∴当01a <<时()f x 在[0,arcsin ]a 和[arcsin ,]a ππ-上为为单调递增函数；在

[arcsin ,arcsin a a π-上为单调递减函数。

（2）由()1sin f x x ≤+恒成立可得2

()111f a a πππ

≤⇔-≤⇔≤

。

令2

()sin (0)2

g x x x x π

π

=-

≤≤

，则2

()cos g x x π

'=-

。

当2(0,arcsin )x π∈时，()0g x '>，当2(arcsin ,)2x π

π∈时，()0g x '<。

又(0)()02g g π==，所以()0g x ≥，即2sin (0)2

x x x π

π≤≤≤

故当2

a π

≤

时，有2

()cos f x x x π

≤

+，

①当02

x π

≤≤时，

2

sin x x π

≤，cos 1x ≤，所以()1sin f x x ≤+。

②当

2

x π

π≤≤时，2

2()cos 1()sin()1sin 22

f x x x x x x ππ

π

π≤

+=+

---≤+。

综上可知故所求a 的取值范围为2

a π

≤

。

【考点】导数在研究函数中的运用，三角函数的有界性，。

【解析】（1）利用三角函数的有界性，求解单调区间。

（2）运用构造函数的思想，证明不等式。关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。 例2.已知函数3

21()3

f x x x ax =

++． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）设()f x 有两个极值点1x ，2x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值．

【答案】解：（1）∵321()3

f x x x ax =

++，∴()2

2()2=11f'x x x a x a =++++- ① 当 1a ≥时，()0f'x ≥，且仅当=1=1a x -，时()=0f'x 。∴()f x 是增函数。

②当 1a <时，()=0f'x 有两个根=1x -。列表如下：

（2）由题设知，1x ，2x 是()=0f'x 的两个根，∴1a <，且221122=2=2x x a x x a ----，。

∴()32222111111111112()=2=3333f x x x ax x x a x ax x ax =

++--+++ ()()2111122=2=13333a

x a ax a x --+--。

同理，()222()=133

a

f x a x --。

∴直线l 的解析式为()2=133

a

y a x --。

设直线l 与x 轴的交点为()00x ，

，则()020=133

a

a x --，解得()0=

21a x a -。 代入3

21()3

f x x x ax =

++得 ()()()()

()3

2

22

01()=12176321212121a a a a f x a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=++⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，

∵()00()f x x ，在x 轴上，∴()

()2

20()=12176=021a f x a a a -+-， 解得，=0a 或2=

3a 或3

=4

a 。 【考点】函数的单调性和极值，导数的应用。 【解析】（1）求出导函数，分区间讨论即可。

（2）由1x ，2x 是()=0f'x 的两个根和（1）的结论，得1a <，求出1()f x 关于1x 的表达式和2()f x 关于2x 的表达式，从而得到直线l 的解析式。求出交点的横坐标代入3

21()3

f x x x ax =++，由其等于0，求出a 的值。

例3.已知函数()f x 满足满足12

1()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+

； （1）求()f x 的解析式及单调区间；

（2）若2

1()2

f x x ax b ≥

++，求(1)a b +的最大值。 【答案】解：（1）∵121()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+，∴1

()(1)(0)x f x f e f x -''=-+。

令1x =得，(0)1f =。∴121

()(1)2

x f x f e x x -'=-+。

∴1

(0)(1)1f f e

-'==，得(1)f e '=。

∴()f x 的解析式为2

1()2

x f x e x x =-+

。 设()()1x

g x f x e x '==-+，则()10x

g x e '=+>。 ∴()g x 在x R ∈上单调递增。

又∵()0(0)f x f ''>=时，0x >，()f x 单调递增；

()0(0)f x f ''<=时，0x <，()f x 单调递减。

∴()f x 的单调区间为：单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞。 （2）∵2

1()2

f x x ax b ≥

++，∴(1)0x e a x b -+-≥。 令()(1)x

h x e a x b =-+-得()(1)x

h x e a '=-+。

①当10a +≤时，()0h x '>，∴()h x 在x R ∈上单调递增。