行测数量关系技巧：求解二元一次不定方程之三看法

⾏测数量关系技巧：求解⼆元⼀次不定⽅程之三看法
在考场上⼈与⼈拉开差距的除了平常的知识点的积累，还有⾯对考试题型能够有⼀个更好的解答思路，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：求解⼆元⼀次不定⽅程之三看法”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！
⾏测数量关系技巧：求解⼆元⼀次不定⽅程之三看法
在⾏测备考过程中，⾏测理科数量关系⾥对应的计算问题、⾏程问题、利润问题、⼯程问题、年龄问题等，⼏乎⼀次考试中的⼤部分数量关系的题⽬都可以⽤⽅程法去完成。

若是找到等量关系，设好未知数，⽅程列出来，就算不会解，我们也可以将选项带⼊排除，从⽽找到那个唯⼀的正确选项。

普通⽅程对于我们的考⽣⽽⾔，是很容易解的，但解不定⽅程，有些学员就有点迷糊了。

在这⾥给⼤家介绍⼆元⼀次不定⽅程的解法——三看法，熟练操作⼏次，相信你再也不怕不定⽅程了。

⼀、认识不定⽅程
1.⽅程
含有未知数的等式，叫⽅程。

例如：
2.不定⽅程
未知数的个数超过独⽴⽅程的个数，这样的⽅程叫不定⽅程。

(独⽴⽅程，简⾔之就是这个⽅程能否由其他⽅程线性组合得到，如果能，则不是独⽴⽅程，如果不能，则是独⽴⽅程。

)例如：
这个⽅程也叫⼆元⼀次不定⽅程，因为它未知数的个数有两个，且未知数的次数都是1，这样的⽅程是我们现在研究的重点。

这样的⽅程都叫做不定⽅程。

3.不定⽅程的解
能够让⽅程左右两边相等的未知数的值叫做⽅程的解。

在这⾥，主要介绍数量关系中最常见的⼆元⼀次不定⽅程的解的求法。

例如：
可见，在实数范围⾥，这样的不定⽅程的解有⽆数组。

但是在数量关系的应⽤题当中，我们借助不定⽅程去解⼀些应⽤题的时候，往往是在正整数范围⾥去解⽅程。

在正整数⾥去解这样的⼆元⼀次⽅程，它的解往往只有⼀个或者有限个解。

⼆、求不定⽅程的解
1.求解⽅法
案例⼀：在正整数范围⾥去求解这个⽅程：
⼀看，x和y前⾯的系数有没有偶数——限定未知数的奇偶性。

经观察，x前⾯的系数是2,2是偶数，所以⽆论x取到什么正整数，2x这⼀项⼀定是偶数。

再看常数项21，是奇数。

由于偶数加上奇数才能得到奇数，所以7y这⼀项必为奇。

由此判定y必为奇数，因为y若为偶，7y也为偶了，不符合要求。

y限定为奇数，y只能等于1、3、5···，当y=1时，x=7;当y=3时，x=0,不是正整数，排除;当y=5时，x也不是正整数，往后更加不可能。

因此，在正整数范围⾥，它只有唯⼀的⼀组解，就是x=7,y=1.
下⾯，再举⼀个例⼦，来⼀起感受三看法解题的快捷准确性。

案例⼆：在正整数范围⾥去求解这个⽅程：
⼀看，x和y前⾯的系数有没有偶数——限定未知数的奇偶性。

4是偶数，4y这⼀项必为偶，32是偶数，偶数+偶数=偶数，因此5x这⼀项也必为偶数，x必为偶数。

⼆看，x和y前⾯的系数有没有5的倍数——尾数(个位数)。

x前⾯的系数是5，是5的1倍，所以5x这⼀项的尾数⼀定是0或者5，根据刚才的结论，5x这项为偶，所以5x的尾数⼀定是0。

32的尾数是2，根据0+2=2，得4y的尾数⼀定是2.从⽽限定了y的范围，y=3,8,13,18,23,28······代⼊⽅程，y=3才能让x是正整数,此时，x=4。

因此这个⽅程的解为：x=4,y=3。

此外，这个⽅程还可以限定x的范围，我们可以：
三看，未知数的系数和常数项这三个数有没有公共因⼦(公约数)——利⽤整除去求解。

5，4和32，这三个数，我们发现4和32这两个数有公共因⼦4，这两项都可以被4整除，那么5x这⼀项也必能被4整除。

⼜由于5不能被4整除，所以x⼀定能被4整除。

X的范围也限定了。

x=4,8,······，x只能等于4，才能让y是正整数，此时y=3.因此这个⽅程的解为：x=4,y=3。

2.⽅法总结
在正整数范围⾥求⼆元⼀次不定⽅程的解。

⼀看x和y前⾯的系数有没有偶数——限定未知数的奇偶性;⼆看x和y前⾯的系数有没有5的倍数——尾数(个位数)法限定未知数的范围;三看，未知数的系数和常数项这三个数有没有公共因⼦(公约数)——利⽤整除法进⼀步去限定未知数的范围。

三、⽅法应⽤
例1.校学⽣会组织篮球和⾜球⽐赛，需要篮球和⾜球总数不超过20个，篮球80元⼀个，⾜球50元⼀个，买两种球共花去2420元，问，买篮球多少个?
A.16
B.17
C.18
D.19
[解析]两种球共花去2420元建⽴等量关系。

设篮球买了x个，⾜球买了y个。

根据等量关系列出⽅程：
，化简这个⽅程得到：
。

接下来解此⼆元⼀次不定⽅程：⼀看系数有8，是偶数，8x这项必为偶，242是偶数，则5y这项必为偶，y必为偶数。

⼆看，5是5的倍数，结合尾数，5y的尾数⼀定为0,2+0=2，则8x的尾数定为2，结合选项只有19×8满⾜尾数是2。

因此答案选D。

此外，这个题⽅程得出之后，直接将选项⼀个⼀个代⼊，满⾜题⽬中正整数及和不超过20的要求即可。

例2.某超市将99个苹果进⾏包装，恰好⽤⼗多个盒⼦装完。

⼤包装盒每个装12个苹果，⼩包装盒每个装5个苹果，每个盒⼦刚好装满。

问这两种包装盒相差多少个?
A.3
B.4
C.7
D.13
[解析]题⽬中存在着⼤包装盒装的苹果数加上⼩包装盒装的苹果数的和是99个，这样的等量关系。

设⼤包装盒⽤了x个，⼩包装盒⽤了y个。

得到⽅程：
。

x和y都是正整数，且和在10到20之间。

解⽅程：⼀看x前的系数有12是偶数，12x这项必为偶数，99是奇数。

偶数加奇数才能得奇数，因此5y必为奇数，y必为奇数。

⼆看y前有5，结合奇数性，5y的尾数必为5,99的尾数是9，由于4+5=9，得12x 的尾数必为4，x的范围限定为2,7,12,17,22,27······依次代⼊，找到x=2时，y=15，当x=7时，y=3.再结合和在10和20之间，排除第⼆组解。

正确的答案就出来了，x=2,y=15，⼤⼩包装盒数量差为13，因此本题选D。

此外，本题，也可三看有没有公共因⼦。

12和99都有公约数3，因此，12x和99都能被3整除，5y也必能被3整除，y必能被3整除，y的范围限定为
3,6,9,12,15,18······，依次代⼊找到满⾜题⽬要求的唯⼀的那个解，求得当y=15的时候，x=2满⾜题意。

因此，本题答案选D。

通过以上题⽬练习，⼤家熟练掌握了三看法了吗?对于其中原理感兴趣的学员可以查阅相应的同余定理相关资料。

在我们备考的过程中，碰到的⼆元⼀次不定⽅程的情况较多，还有少许其他不定⽅程，⽐如说三元⼀次不定⽅程组，解法多样，其中最简单的就是直接令其中⼀个系数较复杂的那个未知数为0，然后在实数范围⾥去解普通⽅程组，从⽽找到要求的那个固定值。

总之，遇到⼆元⼀次不定⽅程不要怕，代⼊排除法配合三看法包你⼀定能够解出来。

注意具体题⽬具体分析，有的不定⽅程⼀看就限定了范围找到了答案，有的不定⽅程⼀看、⼆看加三看才能限定范围找到那个答案，⼤家要记得灵活使⽤此三看法。