七年级初一数学数学第六章实数的专项培优练习题(及答案

七年级初一数学数学第六章实数的专项培优练习题（及答案
一、选择题
1.
下列说法错误的是（ ）
A.是16的平方根 C.丄的平方根是丄
D.履=5
16 4
2. 有四个有理数1, 2, 3, -5,把它们平均分成两组，假设1, 3分为一组，2, -5分
为另一组，规泄：A=|l+3| + |2-5|,已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、 n,再取这两个数的相反数，那么，所有&的和为（
）
A.
4m B. 4m+4门 C. 4门 D. 4m - 4n 3. 已知Jx-2 + Jy+8=0,则x + y 的值为（）
8.如图，若实数J7+1,则数轴上表示m 的点应落在（ ）
r # G * 0「… -4 -3-2-1012345 A.线段上
B.线段BC 上
C.线段CD 上
9.若\a\ = 4 ,丽=3,且a 十b<0,则a-b 的值是（） A. 1.或 7 B.或 7
C. 1 或-7
10・2的平方根为（
）
B.皿的算术平方根是2 A. 10
B ・-10
4. 在下列结论中，正确的是（）・
C.平方根是它本身的数为0, ±1 5. 下列计算正确的是（）
C. -6
D.不能确定
B. x2的算术平方根是X
D. 屈的立方根是2
C ・百=±2
D. （_1）
6.下列说法中：①0是最小的整数：②有理数不是正数就是负数：®
- |不仅是有理数,
而且是分数：④〒是无限不循环小数.所以不是有理数：⑤无限小数不一左都是有理 数：⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数：⑦非负数就是正数：⑧正整数、负整 数、正分数.负分数统称为有理数：其中错误的说法的个数为（
A. 7个 B ・6个
C. 5个
)
D. 4个
7.
_____ /
\2O12
已知如y 为实数且H+1I+J 戸=0,则- \y ）
的值为（
A. 0
B. 1 D. 2012
D ・线段D
E 上
D.或-7
A・4 B. ±4c・V2 D・±^2
二填空题
11.如图，按照程序图计算，当输入正整数X时，输出的结果是161,则输入的工的值可
能是 ___________ .
是
—A输出结果
&+b+ I 爲—I〉I
12・用“☆〃左义一种新运算：对于任意有理数a和b,规立aWfb ・
『A_3 + 2 + |-3_2|
例如：卜3)承2二------- ! ------ =2・
2
从・8 , - 7 f -6, - 5 f・4, - 3 # -2, -1,0,1,2,3M, 5,6^, 8,中任选两个有理数做a , b(a^b)的值，并计算a^b,那么所有运算结果中的最大值是 _________________________ •
13.已知M是满足不等式—y/3<a<>/6的所有整数的和，N是满足不等式二
的最大整数，则M + N的平方根为____________ .
14.某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设汁植树方案如下：第斤棵树种植
£-1 £-2
在点无处「其中^=1 ,当k>2时，^=^1+T(—)-7(—f T@)表示非负实
J
数。

的整数部分，例如”2.6) = 2 , T(0.2) = 0.按此方案，第6棵树种植点％为
______ ；第2011棵树种植点心皿______________ •
15.规左运算：(d祜)=匕一对，其中a、b为实数，贝1J(V15 *4) + 715=—
16.若^43300 = 35.12，貢=一0.3512，则乂= __________________ •
17.若J7二I + |2-x|=x+3,贝ijx 的立方根为___ .
18.已知a、b为两个连续的整数，且aVjQvb,则a+b= ______________ .
19.用表示一种新运算：对于任意正实数d, b,都有“*” = @+1.例如
8*9 = 79 + 1=4 > 那么w*(w*16) = _____ .
20.利用计算器，得姬厉a 0.2236,20.7071,的a 2.236,嗣a7.071,按此规
律，可得J顽的值约为_____________________
三、解答题
21.在有理数的范围内，我们立义三个数之间的新运算法则"㊉"：
, \a - b - c\ + a + b + c ,z I-1 - 2 - 3| + (-1) + 2 + 3
a 涉
b ㊉c二------- ! --------- ■如：(_1)㊉2 ㊉3二-------- ! -------------- = 5.
2 2
① _________________________________________ 根据题意，3 e (一7)®斗的值为:
②在号号…冷'。

'馬'…'沖5个数中,任意取三个数作和,b, C 的值,进
行㊉力㊉C"运算，在所有计算结果中的最大值为 _______________________ :最小值为 _______________
22.
先阅读内容，然后解答问题:
111111 1 2 2 3 3 4 9
10
1 9
=
1 -—=—
10 10
____ ■
(2)若 a 、b 为有理数，且|a- 1|+ (ab-2) —0,求
药十(a+ 1)3 + 1) * (a+ 2)少+ 2)七•
•+ (« +2018)(/? +2018)的匕L
(2)
严"; 请回答下列问题：
因为:
1 _ 1 1
3^4*3"4 1 _ 1 _ 1 9xiom
所以:
L+ 1x2
问题：(1)请你猜想(化为两个数的差)
1 1
2015x2016 一 ------ : 2014x2016
23
-观察下列等式：占心
]_ 1 [ ] _1 ]
2^3"2~3 # 丽_5_才
将以上三个等式两边分别相加得:
1 1 1(11111」3 1x
2 2x
3 3x
4 2 2 3 3 4
4 4
(1)猜想并写出:
11( H + 1)
(2)直接写岀下列各式的计算结果:
1 1 1 --- 1 ---- 1 --- + …+ 1x
2 2x
3 3x
4 1
2015x2016 1 1 1 1 ---- 1 ---- 1 ---+・・・ ------ 1x2 2x3 3x4 --- 7zx(n + l)
(3)探究并计算:
1 1 1 1
-- + -- + --- + ・.・ ----
24 •阅读下列解题过程:
(1)
諾：黑聖h 爲综y =辰@"_2 ；
1 1 1
----
1 --- .・・ ---- 2x3 3x4 9x10
(2)利用上面所提供的解法，请化简：
] ] ] [ ]
1 + >/
2 >/2 + >/
3 苗+苗…… 他+阿何+
25.计算：
⑴ 1-21 +(-3)2 - ^4
(2) 1 辰>/1| + "-21-1返-11
+ ^64 + V52-3i
V 27 Z 3 丿
26.在已有运算的基础上左义一种新运算区>：= y| + y, 0的运算级别髙于加
减乘除运算，即0的运算顺序要优先于+、一、x、十运算，试根据条件回答下列问题.
< 1)计算：5 ®(-3) = ____ :
(2)若x®3 = 5，贝iJ* ____ :
(3)在数轴上，数X、y的位垃如下图所示，试化简：l®x—)Gx：
--- —| _______ L—4_I ----- >
y o x 1
(4)如图所示，在数轴上，点A、B分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点A向正方向运动，点3向负方向运动，/秒后点A、B分别运动到表示数d和/?的点所在的位置，当a®b = 2时，求/的值.
A B
’ | ------- --- 1 --- -------- >
-1 0 1 2 3 4 -
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一.选择题
解析:C
【分析】分别根据平方根的立义，算术平方根的龙义判断即可得出正确选项・
【详解】
2・4是16的平方根，说法正确；
B.V16的算术平方根是2,说法正确：
C.丄的平方根是土丄，故原说法错误：
16 4
D.^5=5，说法正确•
故选：C.
【点睛】
此题考查了平方根以及算术平方根的左义，熟记相关左义是解题的关键.
2.C
解析:C
【分析】
根据题意得到m, n的相反数，分成三种情况⑴m, n： -m, -n (2)m, -m： n, -n
(3)m, -n： n, -m分别计算，最后相加即可.
【详解】
解：依题意，m, n (m<n)的相反数为-m, - n,则有如下情况：
m, n为一组，-m, - n为一组，有A=\m+n\ + \ (-m) + (- n) | =2m+2n
m, - m为一组，n,- n为一组，有A=\m+ ( - m) | + |n+ ( - n) | =0
m, - n为一组，n, - m为一组，A=\m+ ( - n) \ + \n+ ( -m )| =2n - 2m
所以，所有力的和为2m+2n+0+2n - 2n? = 4n
故选：C.
【点睛】
本题主要考査了新立义的理解，注意分类讨论是解题的关键.
3.C
解析：C
【分析】
根据算术平方根的非负性求出x, y,然后再求x+y即可：
【详解】
解：由题意得：x-2=0, y+8=0
/. x=2, y=-8
・°.x+y二2+ (-8) --6
故答案为C.
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，掌握若干个非负数之和为0,则每个非负数都为0是解答本题的关键.
4 . D
解析:D
【分析】
利用算术平方根、平方根、立方根的左义解答即可.
【详解】
扎jq)2=令错误：
B.x2的算术平方根是|x| ,错误：
C.平方根是它本身的数为0,错误：
D.>/64=8,8的立方根是2,正确：
故选D.
【点睹】
此题考查算术平方根、平方根、立方根的泄义，正确理解相关左义是解题关键.
5.B
解析：B
【分析】
根据有理数的乘方以及算术平方根的意义即可求出答案.
【详解】
解：=丄，所以，选项A运算错误，不符合题意；
I 5丿25
B.(_3)'=9,正确，符合题意：
C.JJ = 2,所以，选项C运算错误，不符合题意；
D.(—1)'=—1,所以，选项D运算错误，不符合题意；
故选：B.
【点睛】
本题考查了有理数的运算以及求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则.
6.B
解析:B
【分析】
根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案.
【详解】
解：①没有最小的整数，所以原说法错误：
②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；
③-扌是无理数，所以原说法错误：
23
④丁是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误：
⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确：
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；
⑦非负数就是正数和0,所以原说法错误：
⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误：
故其中错误的说法的个数为6个.
故选：B.
【点睛】
本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的泄义与特点是解题的关键.注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数.
7. B
解析：B
【分析】
利用非负数的性质求出x、y,然后代入所求式子进行计算即可.
【详解】
由题意，得
x+1二0, y-l=0,
解得:x二T, y二1,
丿
故选B.
【点睛】
本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0,那么每个非负数都为0是解题的关键.
8. B
解析：B
【分析】
估算岀-J7+1的取值范围进而得出答案.
【详解】
解：•・•实数m= - /7+1. 2< 77<3
-2<m< - 1,
・•・在数轴上，表示m的点应落在线段BC上.
故选：B.
【点睛］
此题主要考査了实数与数轴，正确得出J7的取值范国是解题关键.
9. D
解析:D
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及二次根式性质化简，确定岀a与b的值，即可求出a—b的值.
【详解】
解:V |«| = 4, A/? = 3,且a+b<0 ,
a=-4 , a=-3； a=-4 , b=3 ,
则a-b=-l或-7.
故选D.
【点睛]
本题考査实数的运算，掌握绝对值即二次根式的运算是解题的关键.
10.D
解析：D
【分析】
利用平方根的左义求解即可.
【详解】
解：T2的平方根是士血•
故选D.
【点睛】
此题主要考査了平方根的泄义，注意一个正数的平方根有2个，它们互为相反数. 二填空题
11 ........
【解析】
解：•/ y=3x+2 ,如果直接输出结果，贝l]3x+2=161 ,解得:x=53 ；
如果两次才输出结果：则x=(53-2R3=17 ；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)-3=5 ；
解析：53、17、5、1.
【解析】
解：•••y=3x+2,如果直接输岀结果，则3x+2=161,解得：x=53；
如果两次才输岀结果：则x=(53-2R3=17：
如果三次才输岀结果：则x=(17-2R3=5；
如果四次才输出结果：则x=(5-2R3=l；
则满足条件的整数值是:53、17、5、1.
故答案为:53、17、5、1.
点睛：此题的关键是要逆向思维.它和一般的程序题正好是相反的.
12. 8
【解析】
解：当a>b时，a^b= =a, a最大为8：
当d<b时，a*b==b, b最大为8,故答案为：8.
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 解析:8 【解析】
解：当cr > b 时，b二 ------- - --- =a , a最大为8 ；
2
当a<b时，g b= “ +方T" 仁b , b最大为8,故答案为：8 .
2
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
13.±2
【分析】
首先估计出d的值，进而得出M的值，再得出X的值，再利用平方根的定义得出答案.
【详解】
解：TM是满足不等式一的所有整数a的和，
・・』=一1+0 + 1 + 2 = 2,
TN是满足不等式xW的
解析：±2
【分析】
首先估计岀a的值，进而得岀M的值，再得出A/的值，再利用平方根的左义得出答案.
【详解】
解：TM是满足不等式一的所有整数a的和，
.•.M=-l + 0 + l + 2 = 2,
・・・N是满足不等式xW F二彳的最大整数，
2
:・N=2,
.•・M+/V的平方根为：土JJ = ±2.
故答案为：±2.
【点睛】
此题主要考査了估汁无理数的大小，得出M, /V的值是解题关键.
14.403
【解析】
当 k二6 时，x6=T (1) +1 二 1+1 二2,
当 k二2011 时,=T 0+1=403.
故答案是：2, 403.
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题H信息，理解xk的表达
解析:403
【解析】
当k=6 时,X6=T (1) +1=14-1=2,
当k=2011 时，x20II =T( -- )+1 =403.
故答案是2403.
【点睛】本题考查了坐标确圧位置，读懂题目信息，理解xk的表达式并写出用T表示岀的表达式是解题的关键.
15. 4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可.
【详解】
=4
故答案为4.
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的讣算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键
解析：4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可.
【详解】
(V15 * 4) + V15
=|715-4| + 5/15
= 4-715+715
=4
故答案为4.
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的讣算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键.
16.-0. 0433
【分析】
三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩
大或缩小10倍，根据规律可得x的值.
【详解】
从35.12变为一0.3512,缩小了 100倍，且添
解析：一0.0433
【分析】
三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值.
【详解】
从35.12变为一0.3512,缩小了100倍，且添加了“一”
・••根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“一”
故答案为：一0.0433
【点睛】
本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍.
17. 3
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出x的值，求出答案. 【详解】
解：•・•有意义，
・・・x - 2$0,
解得：xM2,
・°・+x - 2=x+3,
则=5,
故乂・2 = 25,
解得
解析：3
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得岀x的取值范弗I进而得出x的值，求出答案.
【详解】
解:•：莎迈有意义，
Ax - 2>0,
解得：x>2,
Jx - 2+x - 2=x+3,
则Jx_2 =5,
故x-2=25,
解得：x=27,
故x的立方根为：3.
故答案为：3.
【点睛】
此题主要考査了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键.
18.9
【分析】
首先根据的值确定a. b的值，然后可得a+b的值.
【详解】
•・<,
Va<<b,
•• a —4, b — o,
/. a+b = 9,
故答案为：9.
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的
解析:9
【分析】
首先根据J诃的值确左a、b的值，然后可得a+b的值.
【详解】
V V16<Vi9<V25 ,
.•.4<Vf9 <5,
Ao=4, b=5,
a+b=9,
故答案为：9.
【点睛】
本题主要考査了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值.
19.+1
【分析】
首先正确理解题LI要求，然后根据给岀的例子进行计算即可. 【详解】
m* (m*16)
二m* (+1)
=m*5
二+1.
故答案为：+1.
【点睛】
此题考查实数的运算，解题的关键是要
解析：^5 +1
【分析】
首先正确理解题目要求，然后根据给岀的例子进行计算即可.
【详解】
m* (m*16)
=m* ( V16+1)
=m*5
= A/5+1.
故答案为：V5+1-
【点睛】
此题考査实数的运算，解题的关键是要掌握运算法则.
20.36
【分析】
从题LI已经给出的儿个数的估值，寻找规律即可得到答案.
【详解】
解：观察，
不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，笫二个数扩大10
倍得到第四个数，
因此得到笫三个数的
解析:36
【分析】
从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.
【详解】
解：观察J3忑a 0.2236, V05 2 0.7071,石q 2.236,屈〜7.071,
不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，
因此得到第三个数的估值扩大10倍得到第五个数的估值，即22.36.
故答案为22.36.
【点睛】
本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.
三、解答题
21.(1) 3
11
(3)
7
【分析】
(1)根据给泄的新泄义，代入数据即可得岀结论：
(2)分a-b-c>0和a-b-cSO两种情况考虑，分别代入左义式中找出最大值，比较后即可得出结论・【详解】
解：①根据题中的新沱义得: 口_3 — (-7)—£+3 + (—7)+ ?
-=3
②当a-b-c>0时，
原式=£(d-b-c + a + /? + c) =(/, 则取d的最大值，最小值即可，此时最大值为专，最小值为-号:
当a-b-c<0 时，
原式=£( 一d + /? + c + d + b + c) = b + c,
5 8
6 11
- ---------------
39 7 7
•••综上所述最大值为最小值为一?・
37
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，读懂题意弄淸新定义式的运算是解题的关键.
1111 2019
22 ・------------- (1) ---------- 9 :
2015 2016 4028 4032
【分析】
(1)根据题目中式子的特点可以写岀猜想:
(2)根据|a-l|+ (ab-2) 2=0,可以取得a、
可以求得所求式子的值.
【详解】
2014x2016 2 2014 2016 4028
1 4032
11
7 8 5
此时最大值灿+ C二+厂§,
最小值为b + c= 一石+ _〒=_〒,
2020
的值，代入然后由规律对数进行拆分，从而2015x2016 2015 2016
1 1 1 1 2015 2016 ' 4028 403
2 *
(2) V \a - 1|+ (ab ・ 2) 2=0.
.•・ a - 1 = 0, ab - 2=0,
解得,o=l> b=2,
1 1 1 1
— + ---------- + ----------- + ..... + ----------------
ab (a +1)(/? +1) (a + 2){b + 2) (“ + 2018)(/? + 2018)
1 1 1 1
---- 1 ---- 1 --- ・・・ --------
1x2 2x3 3x4 2019x2020
11111 1 1
=1 - 一 + ―—一 + — 一一+ . + ------- — ------
2 2
3 3
4 2019 2020
2019
_ 2020 •
【点睛】
本题考查数字的变化类、非负数的性质、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题 意，求出所求式子的值.
(1)观察所给的算式可得：分子为1,分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒
数之差，由此即可解答：(2)根据所得的规律把各分数进行转化，再进行分数的加减运算
即可解答；⑶先提取扌，类比⑵的运算方法解答即可.
【详解】 1 2. 3 1 论+ i) ,11111 1 1 二]——+ — — — + — — — + +
---------------- — ---------------------------- 2 2 3 3 4 …2015 2016 11111 1 1 =1 1 H +・・・+
1x2 2x3 3x4 2015x2016
3 1 1 1
—+—+—+... ------------------
故答案为: 1
2020
2015 2016 (3) 1007 4032 , 1 2015 1 — 2016 2016 ②丄+丄+丄+...+ 5x2 2x3 3x4 ] z?x(n + l) 【分
析】 (2)①
(2)①
1 1 1 1
22334 n n+\
n
,x 1 1 1 1
(3 ) ---- 1 ---- 1 ---- …------------
2x4 4x6 6x8 2014x2016
1/111 1 \
=—(------- + ------ + ----- + ・・・------------ )/
41x2 2x3 3x4 1007x1008
1,11111 1 1 、
4 2 2 3 3 4 " 1007 1008 '
1 1007
4X1008
1007
_ 4032 ■
【点睛】
本题考查了有理数的运算，根据题意找岀规律是解决问题的关键.
24. (1) ;(2)9
【分析】
(1)利用已知数据变化规律直接得岀答案：
(2)利用分母有理化的规律将原式化简进而求岀即可.
【详解】
解：⑴ 亦+上r(c+幕咅)于!尼?厂亦
[十] 十[ 十卜 1 十 1
'} I + V2 72 + ^3 73 + 74 …… 極 + 府799 4-7100
=V2 -1+ V?-5/2 + V?->/3 +-.+ >/99 ■極+烦6•何
=-i+Vioo
=-1+10
=9
【点睛】
此题主要考査了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.
25・(1) 9： (2) 3_2近；(3) -3；(4) 1
【分析】
(1)分别根据绝对值的代数意义、有理数的乘方以及算术平方根运算法则进行计算即可:
(2)先去绝对值，再合并即可：
(3)先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解；
(4)先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解. 【详解】
(1)I-21+(-3)2 - x/4
=2+9-2
=9：
(2) 1^->/21 + 1 V3-2I-I V2-1I
= V3-x/2 + 2-V3-^+l
= 3-2>/2 ：
2 2
=1.
【点睛】
此题主要考査了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键.
26. (1) 5； (2) 5 或 1；
(3) l+y-2x ； (4) ti=3： t 2=- 3 【分析】
(1) 根据题中的新运算列出算式，计算即可得到结果；
(2) 根据题中的新运算列出方程，解方程即可得到结果；
(3) 根据题中的新运算列出代数式，根据数轴得出x 、y 的取值范由进行化简即可：
(4) 根据力、8在数轴上的移动方向和速度可分别用代数式表示出数d 和b,再根据(2) 的解题思路即可得到结果.
【详解】
解：(1) 5 ® (—3)= |5—(―3)|+(-3)= 5:
(2) 依题意得：卜-3|+3 = 5,
化简得：卜一3|二2,
所以兀一3 = 2或尤一3 = —2,
解得：x=5或x=l;
(3) 由数轴可知:0<x<l, y<0,
所以
1
5
3 2 3
4 +
=(|l-x|+x)-(|j-x|+x)
=1 一x + x + y-x-x
= l + y-2x
(4)依题意得:数a=-l+t, b=3-t：
因为a®b = 2t
所以卜l+f)_(3_7)|+3_? = 2, 化简得：|2r-4|=r-l,
解得：Q3或
3
所以当a®b = 2时，/的值为3或◎・
3
【点睛】
本题主要考查了左义新运算、有理数的混合运算和解一元一次方程，根据左义新运算列出关系式是解题的关键・
------ 1------ =-x (―1---------- —) = —。