2021全国中考数学试卷分类汇编第二期专题23 直角三角形与勾股定理(含解析)

直角三角形与勾股定理

一.选择题

1. （2021•四川省自贡市•4分）如图，在Rt △ABC 中，∠=∠=C 90,A 50，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ;则∠ACD 的度数为（）

A. 50°

B. 40°

C. 30°

D. 20°

【解析】∵∠A =50°，可得∠B =40°，∵BC =BD ，∴∠BCD =∠BDC ，

∵∠B +∠BCD +∠BDC =180°，∴∠BCD =70°，∴∠ACD =90°-70°=20°，故答案为D 2.（2021•内蒙古包头市•3分）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，BE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ．若2AC =，22BC =，则BE 的长为（ ）

A. 263

B. 6

C. 3

D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意将BD ，BC 算出来，再利用勾股定理列出方程组解出即可．

【详解】∵AC =2，BC =2

∴()2222223AB =+=

∵D 是AB 的中点，

∴AD =CD =BD 3．

由题意可得:

A D

C

()2222=338BE DE BE DE ⎧+⎪⎨++=⎪⎩

两式相减得: ()22383DE DE +-=-，

解得DE =

33，BE =263

， 故选A ． 【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理，关键在于找出等式列出方程组． 3.（2021•广东省广州市•3分）往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48AB cm =，则水的最大深度为（ ）

A. 8cm

B. 10cm

C. 16cm

D. 20cm

【答案】C

【解析】

【分析】 过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，根据垂径定理即可求得AD 的长，又由⊙O 的直径为52cm ，求得OA 的长，然后根据勾股定理，即可求得OD 的长，进而求得油的最大深度DE 的长．

【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，

由垂径定理得：11482422

AD AB cm ==⨯=， ∵⊙O 的直径为52cm ，

∴26OA OE cm ==，

在Rt AOD ∆中，由勾股定理得：22222624O m O A D A D c -=-，

∴261016DE OE OD cm =-=-=，

∴油的最大深度为16cm ，

故选：C ．

【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．

2. （2021•山东淄博市•4分）如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD ⊥BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（ ）

A ．a 2+b 2＝5c 2

B ．a 2+b 2＝4c 2

C ．a 2+b 2＝3c 2

D ．a 2+b 2＝2c 2

【分析】设EF ＝x ，DF ＝y ，根据三角形重心的性质得AF ＝2y ，BF ＝2EF ＝2x ，利用勾股定理得到4x 2+4y 2＝c 2，4x 2+y 2＝b 2，x 2+4y 2＝a 2，然后利用加减消元法消去x 、y 得到A.B.c 的关系．

【解答】解：设EF ＝x ，DF ＝y ，

∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，

∴点F 为△ABC 的重心，AF ＝AC ＝b ，BD ＝a ，

∴AF ＝2DF ＝2y ，BF ＝2EF ＝2x ，

∵AD ⊥BE ，

∴∠AFB ＝∠AFE ＝∠BFD ＝90°，

在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2＝c 2，①

在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②

在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③

②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），

∴4x2+4y2＝（a2+b2），④

①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，

即a2+b2＝5c2．

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．

4. （2021•陕西•3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都

在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）

A．B．C．D．

【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，

∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，

∴，

∴，

∴BD＝，

故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．

5. （2021•山东济宁市•3分）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心，∠A=60°，CD=2，BD=4．则△DBC的面积是（）

33 C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH3CD=2，于是求出△DBC的面积．

【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．

∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，

∴∠BDC=90°+1

2

∠A=90°+

1

2

×60°=120°，

则∠BDH=60°，

∵BD=4，BD：CD=2：1

∴DH=2，BH3CD=2，

∴△DBC的面积为1

2

CD•BH=

1

2

×2×33

故选B.