高中数学竞赛指导(第一讲)

（1）求f(x)在Ik上的解析式；
（2）对正整数k，求集合Mk＝﹛a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不等式的实根﹜
解：（1）由已知得f(x－2k)＝f(x),k∈Ζ.
由于当x∈Ik＝(2k－1,2k＋1]时，x－2k∈I0＝(-1,1]而当x∈I0时,有f(x)＝x²,所以f(x－2k)＝(x－2k)²,
f(x)＋f(x－3)＝f(x²－3x).
又f(4)＝2,则由f(x)＋f(x－3)≤2,得f(x²－3x)≤f(4)
由条件f(x)＞f(y)成立的充要条件是x＞y＞0，所以有： x²－3x≤4,
x＞0,解得：3＜x≤4.
x－3＞0.
9.已知α,β是方程4x²－4tx－1＝0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)＝的定义域为[α,β].求g(t)＝maxf(x)－minf(x).
当＞1,即a＞2时,g(a)＝f(1)＝1－.
故g(a)＝
易知maxg(a)＝
7.设f(x)＝ax²＋bx＋c,证明：对一切整数n，f(n)都为整数的充要条件是2a,a＋b,c均为整数.
【分析】考虑a＋b，得：
f(x)＝ax²－ax＋(a＋b)x＋c＝2a＋(a＋b)x＋c
证明：由x²＝2＋x知
.f(x)＝2a＋(a＋b)x＋c.
3.求下列函数的值域.
(1)y＝x＋
(2)y＝
(3)y＝㏒
(4)y＝＋
(5)y＝|x＋1|＋|x－1|＋|x＋2|
(6)y＝
(7)y＝x²＋(x＞0)
解：（1）令t＝(t≥0),则：
x＝,y＝1－
又t≥0，故y＝1－≤1，即函数的值域为(-∞,1]
(2)因为y＝＝,所以102x＝(y≠1)
且反函数为y＝lg
A.最大值是-2，最小值是0
B.最大值是3，最小值是2
C.最大值是3，最小值是1
D.最小值是2，最小值是1
3.函数f(x)＝ax²＋c,满足-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5,那么f(3)的取值范围是:()
A.[7,26] B.[-4,15] C.[-1,20]
D.[-,]
4.若f(x)＝(x＋|x|)，则f[f(x)]是:()
故f(x)在区间[α,β]上是增函数.
∵α＋β＝t,αβ＝－,
∴g(t)＝maxf(x)－minf(x)＝f(β)－f(α)
＝
＝＝.
巩固练习
1.函数f(x)满足f(x²－3)＝lg，那么f(x)的定义域是( )
A.(-,) B.(-3,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-,0)∪(0,)
2.函数y＝＋，下述判断中正确的是：( )
A.x＋|x| B.0
C.﹛D.﹛
5.函数f(x)＝的定义域是:()
A.{x|x＞0}B.{x|x＜0且x≠-1}
C.{x|x≥0} D.{x|x≠0且x≠-1,x∈R}
6.关于x的方程9-|x－2|－4·3-|x－2|－a＝0有实根的充要条件是:()
A.a≥-4 B.-4≤a≤0 C.-3≤a＜0 D.a＜0
14.设函数f(x)满足关系式af(xn)＋f(-xn)＝bx，其中a²≠1,n为奇数，则f(x)＝
15.函数y＝的值域是
16.定义在R上的函数y＝ax²＋ax＋1(a∈R)的值域为R+的子集的充要条件是
(6)由于y＝＝＝1＋(x≠-3),所以y≠1,且y≠,即值域为(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞)
(7)由于x＞0，所以y＝x²＋＝x²＋＋≥3＝,当且仅当x²＝，即x＝时等号成立，所以值域为[,+∞﹚.
4.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对于k∈Ζ，用Ik表示区间(2k－1,2k＋1].已知当x∈I0时，f(x)＝x².
综上所述，a满足0＜a≤
故所求集合为Mk＝﹛a|0＜a≤,k∈Ν*﹜
5.设0≤a＜1时，函数f(x)＝(a－1)x²－6ax＋a＋1恒为正，求f(x)的定义域.
【分析】若将f(x)改写成g(a)(0≤a＜1)，可知g(a)的图像是一条线段（无右端点），且位于a轴的上方.
解：设g(a)＝(a－1)x²－6ax＋a＋1＝(x²－6x＋1)a＋1－x²(0≤a＜1)，则g(a)是定义在[0,1﹚上的一次函数或常数，故其图像是条线段（有左端点无右端点），由已知得g(a)＞0恒成立，故该线段应在a轴上方.
∴g(0)＞0, 即：1－x²＞0
.g(1)≥0, x²－6x＋1＋1－x²≥0
∴-1＜x≤,∴f(x)的定义域是（-1，]
6.已知函数f(x)＝x²－ax＋(a＞0),x∈[0,1],求f(x)的最小值g(a)，并求g(a)的最大值.
解：f(x)＝(x－)²＋－.
当0≤≤1,即0＜a≤2时,g(a)＝f()＝－；
方法二： y＝＋表示为动点
P(x,1)到定点A(1,0),B(-1,0)的距离之和，故y≥2,即值域为[2，+∞﹚
(5)y＝|x＋1|＋|x－1|＋|x＋2|表示数轴点坐标为x的点P到点A(-1),B(1),C(-2)的距离之和。画图，观察动点P的位置，显然可以知当P点落在A(-1)点时，达到最小值3，故值域为[3，+∞﹚
x∈Ik,k∈Ζ即：f(x)＝(x－2k)²,x∈Ik,k∈Ζ
(2)当k∈Ν*且x∈Ik时，由(1)知，所求集合Mk是使方程(x－2k)²＝ax在(2k－1,2k＋1](k∈Ν*)上有两个不相等的实根的a的集合，而方程(x－2k)²＝ax可化为x²－(4k＋a)x＋4k²＝0，此方程在区间Ik(k∈Ν*)上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足
二、函数的值域
根据函数表达式的形式，值域的求法也各不相同，一般有以下几种求法：
1.配方法
如果所给出的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般可采用配方法进行求解.在求解时要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围.
2.利用函数的单调性
如果所给出的函数是熟悉的已知函数的形式，那么可根据函数的图像或利用函数的单调性来判断.在利用函数的单调性求解时，一定要注意其单调区间.
解：设α≤x1＜x2≤β，则4x1²－4tx1－1≤0,
4x2²－4tx2－1≤0,
∴4(x1²＋x2²)－4t(x1＋x2)－2≤0,
∴2x1x2－t(x1＋x2)－＜0.
而f(x2)－f(x1)＝－
＝
又t(x1＋x2)－2x1x2＋2＞t(x1＋x2)－2x1x2＋＞0,
∴f(x2)－f(x1)＞0.
(1)f(1)和f(4)的值；
(2)当x在什么范围取值时f(x)＋f(x－3)≤2.
解：(1)由于f(2)＝1，且对于x＞0,y＞0,f(xy)＝f(x)＋f(y),则令x=1,y=2,得f(2)=f(2)＋f(1),得：f(1)＝0.
令x=2,y=2,得：f(4)＝f(2)＋f(2)＝2
(2)由条件f(xy)＝f(x)＋f(y)，得
若对任意n∈Ζ,f(n)∈Ζ,则f(0)＝c,f(1)＝a＋b＋c,f(2)＝2a＋2(a＋b)＋c均为整数，所以a＋b,c,2a均为整数.
反之，若2a,a＋b,c，则对于任意整数n,n与n－1中必有一个为偶数，即∈Ζ，故：
f(n)＝2a·＋(a＋b)n＋c∈Ζ
8.设f(x)对x＞0有意义，f(2)＝1,f(xy)＝f(x)＋f(y),且f(x)＞f(y)成立的充要条件是x＞y＞0.求：
故定义域为[0,2)∪(2,3).
(2)由题意知，函数的自变量x的取值范围是
ax－kbx＞0,即（）x＞k.因a＞0,b＞0,a≠1,b≠1.则
1当a＞b＞0,k＞0时,定义域为{x|x＞㏒k}
2当b＞a＞0,k＞0时,定义域为{x|x＜㏒k}
3当0＜a＝b≠1,且0＜k＜1时,定义域为R.
4当k≤0时，定义域为R.
3.反函数法
若某函数存在其反函数，则可利用互为反函数的两个函数的定义域和值域的互反性，该求其反函数的定义域.
4.判别式法
若将y看成常数，所给函数y＝f(x)便可看成是关于x的方程；若是关于x的二次方程，则可利用判别式Δ≥0来求y的取值范围，但需注意取等号的问题.
5.变量代换法
一个复杂的函数，如果将其中得到某个式子看成一个整体，通过变量代换，就可以化为我们熟知的表达式，这时要注意所代换的表达式的取值范围.
第一讲 函数的概念
赛点直击
一、函数的定义域
1.几种常见的初等函数的定义域.
已知下列函数：①y＝﹙n∈Ν*﹚；②y＝；③y＝logQ(x)P(x)；④y＝tanP(x)；⑤y＝cotP(x).使各函数式有意义时，P(x)，Q(x)的约束条件分别为：
1P(x)≥0；②Q(x)≠0；
③ 0＜Q(x)≠1且P(x)＞0；④P(x)≠kπ＋﹙k∈Ζ﹚；
⑤P(x)≠kπ﹙k∈Ζ﹚
2.复合函数的定义域
已知函数f(x)的定义域为【a,b】,求函数y＝f[g(x)]的定义域的问题。其解题步骤为由a≤g(x)≤b，解出x的范围，即为函数y＝f[g(x)]的定义域.
若函数关系式是由图像给出的，则可由图像直接观察函数的定义域.
若函数关系式表示的是一个实际问题中的两个变量之间的关系，则要注意实际问题中变量的范围.
对应关系一般有显式和隐式之分.显式一般是用y＝f(x)或其图像，隐式一般可用f所满足的一些条件的形式给出，例如函数方程的形式.
赛题解析
1.求下列函数的定义域：
（1）y＝；
（2）y＝
解：（1）要使y有意义，则：
x(3－x)≥0, 0≤x≤3
(x－3)2＞0,即： x≠3
(x－3)2≠1,x≠2且x≠4
6.利用基本不等式
利用代数基本不等式x＋y≥2,x＋y＋z≥3﹙x,y,z＞0﹚等来求函数的值域，也是一种行之有效的方法，但是在使用时要注意是否符合公式的基本要求以及能否取到等号的问题
三、函数的对应关系
自变量x与函数y的对应关系是指对于自变量x的一个确定的数值x0（定义域内），应以何种方式求出函数y的对应值y0,对应关系一般用f,g等字母表示.
由＞0知反函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故原函数的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(3)因为2x－x²＋3＝－﹙x－1﹚²＋4,所以
0＜2x－x²＋3≤4.又0.5＜1,由y＝㏒的单调性可知值域为[-2，+∞﹚
(4)方法一：y＝＋≥2＝2≥2＝2
(当且仅当x＝0时取等号)，故值域为[2，+∞﹚
Δ＝(4k＋a)²－16k²＝a(a＋8k)＞0,
[4k＋a－]＞2k－1,
[4k＋a＋]≤2k＋1.
化简得:
a(a＋8k)＞0,①
＜2＋a,②
≤2－a,③
由(1)知a＞0或a＜-8k
当a＞0时，2＋a＞2－a,
则由②③得≤2－a，即:
a(a＋8k)≤(2－a)²,
2－a＞0 ,
解得0＜a≤.当a＜-8k时，2＋a＜2－8k＜0,不等式＜2＋a无解.
A.B.C.D.
10.函数y＝－的值域是( )
A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
11.函数f(x)的定义域为(-∞,1]，则函数
f[㏒]的定义域为
12.设定义在整数集上的函数f(x)满足
f(n)＝﹛,则f(1993)＝
13.函数y＝㏒＋㏒的定义域为{x|x＞a}，则实数k的取值范围是
7.函数y＝﹛的值域为:()
A.(-2,-1)B.[-1,0)
C.[-1,+∞) D.(-2,+∞)
8.若f(x)＝lg(-1＜x＜1)，那么f()用f(x)来表示是: ( )
A.－f(x) B.2f(x)
C.3f(x) D. [f(x)]²
9.对x∈R，设f(x)是4x＋1,x＋2,－2x＋4三个函数中的最小者，那么f(x)的最大值是: ( )
解：由题意得：0＜x＋a≤1,﹣a＜x≤1－a①
0＜x－a≤1,即a＜x≤1＋a②
0＜x≤1, 0＜x≤1③
∵﹣＜a≤0 ,
∴0≤﹣a＜, 1≤1－a＜,＜1＋a≤1.
∴不等式组的解为﹣a＜x≤1＋a.
∴g(x)的定义域为（﹣a,1＋a].
【说明】本题中a∈(-,0]给得恰到好处，不然就得对a进行分类讨论了；若a的取值范围使得由①，②，③组成的不等式无解，这时我们千万不能称g(x)的定义域是空集，因函数的定义域和值域均不能为空集，而要说这时不存在函数g(x).
说明（1）求函数的定义域一般可转化为求不等式的解，对于参数，应予以讨论
（3）函数的定义域一般应表示为集合形式或用区间表示
2.已知a∈(－,0]，函数f(x)的定义域是(0,1]，求
g(x)＝f(x+a)＋f(x-a)＋f(x)的定义域.
【分析】g(x)＝f(x+a)＋f(x-a)＋f(x)的定义域是f(x+a)，f(x-a)，f(x)的定义域的交集，解题时应注意参数a的取值范围，有时应对a进行分类讨论.