第十一讲 解直角三角形的应用

第十一讲 解直角三角形的应用
【典型例题1】
如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处．此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为︒=30α，︒=45β．求大桥AB 的长．（精确到1米，供选用的数据：41.12≈，73.13≈）
解：由题意，得∠PAC=︒=30α，∠PBC=︒=45β。

在Rt △PBC 中，∵PO ＝450，∴BO=450。

同理可得AO=3450。

∴AB=AO-BO=5.3284503450≈-=329。

答：大桥AB 的长为329米。

【知识点】
仰角和俯角的概念。

仰角和俯角就是水平线与视线所夹的角，如果视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

【基本习题限时训练】
1. 小李在楼上点A 处看到楼下点B 处的小明的俯角是35度，那么点B 处的小明看点A 处的小李的仰角是（ ）
（A ）25度；（B ）35度；（C ）45度；（D ）55度。

答案：B 。

2.在离房屋m 米处的地方测得房屋顶部的仰角为α，测角仪的高度为a 米（a<m ），那么此房屋的高度为（ ）
（A ）αm tan ；（B ）αm cot ；（C ）αm a tan +；（D ）αm a cot +。

答案：C 。

3. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，热气球与高楼的水平距离为66 m ，则这栋高楼高为（ ）
（A ）322；（B ）344；（C ）366；（D ）388。

答案：D 。

【压轴题1】 如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB =36米．
（1）求乙建筑物的高DC ；
（2）求甲、乙两建筑物之间的距离BC （结果精确到0.01米）．
1.414 1.732） 解：（1）作AH ⊥CD ，垂足为点H 。

P
α
β
D
乙
C
B A
甲
二楼 一楼
4m
A 4m
4m
B
28°
C
设乙建筑物的高DC =x ，则DH=x-36。

根据题意，得3
)36(3x x =
-。

解得x=54，即DC =54（米）。

（2）在Rt △BCD 中，由DC =54可得
39103183
54.BC ≈==
（米）。

【典型例题2】
如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间
安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o
≈0.47，tan28o ≈0.53）
解：过点C 作CM ⊥AC ，交AB 于点M 。

在Rt △ACM 中，AB=4，∠CAM=28°， ∴CM=4tan28°≈2.12（米）＞1.85（米）。

∴小敏乘电梯不会有碰头危险。

【知识点】 锐角的三角比。

在初中阶段，锐角的三角比钧在直角三角形中定义：
正切：的邻边的对边
ααα∠∠=tan ；
余切：的对边的邻边
ααα∠∠=cot ；
正弦：斜边
的对边
αα∠=sin ；
余弦：斜边
的邻边
ααs co ∠=。

【基本习题限时训练】
1. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）
（A
m ；（B ）4 m ；（C
） m ；（D ）8 m 。

答案：B 。

2. 长为4米的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业
时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了（ ）
（A ）1米；（B ）22米；（C ）32米；（D ）（2232-）米。

答案：D 。

3. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
（A ）8米；（B
）（C
（D
米。

答案：C 。

【压轴题2】
如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取A 、B 两点，对岸岸边有一块石头C ．在△ABC 中，测得∠A =60°，∠B =45°，AB =60米． （1）求河宽（用精确值表示，保留根号）； （2）如果对岸岸边有一棵大树D ，且CD ∥AB ，并测得∠DAB =37°，求C 、D 两点之间的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：41.12≈，73.13≈，60.037sin ≈︒，80.037cos ≈︒，75.037tan ≈︒，33.137cot ≈︒）
解：（1）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，河宽就是CH 的长．
在△ACH 中，CH
AH
A =
cot ，得A CH AH cot ⋅=． 同理可得B CH BH cot ⋅=．
∵AH +BH =AB ，∴6045cot 60cot =︒⋅+︒⋅CH CH ．
∴3309013
360
-=+=
CH （米）
． （2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ．
在△ADE 中，CH
AE
DE AE DAE =
=∠cot ． ∴48.5037cot )33090(≈︒⋅-=AE ． 同理可得96.21≈AH ．
∴CD =HE =50.48-21.96=28.52≈28.5（米）．
答：河宽等于（33090-）米，C 、D 两点之间的距离约等于28.5米． 【典型例题3】
如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度．
解：设AB=x ，则BC=2x 。

在Rt △BCD 中， ∵∠B =90°，∠D =30°，
∴BD=3BC ，即200+x=32x 。

解得x=
11
200
3400+。

∴BC=
11
400
3800+（米）。

【知识点】
仰角的概念，坡度的概念。

坡面的千锤高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度，也叫坡比，记做i 。

坡面与水平面的夹角叫坡角，记做α。

坡度等于坡角的正切，即i=tan α。

【基本习题限时训练】
1. 为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的
数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是
（A ）14；（B ）4；（C
；（D。

答案：A 。

2.小张在山脚测得山坡的坡度为1∶2，山坡上一棵大树顶的仰角为45度，山脚到大树底的长度为30米，那么这棵大树高度为（ ）
（A ）5；（B ）53；（C ）56；（D ）512。

答案：C 。

3. 斜坡AC 的坡度（坡比）为1∶3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．则旗杆BC 的高度为（ ） （A ）5米；（B ）6米；（C ）7米；（D ）8米。

答案：B 。

【压轴题3】 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶
部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF =23°，量得
树干倾斜角∠BAC =38°，大树被折断部分和坡面所成的
角∠ADC =60°，AD =4m ． （1）求∠CAE 的度数； （2）求这棵大树折断前的高度？
1.4=
1.7=
2.4=）． 解：（1）延长BA 交EF 于点P ，可得AP ⊥EP 。

∵∠AEF =23°，∴∠EAP =67°。

又∵∠BAC =38°，∴∠CAD =75°。

（2）作AH ⊥CD ，垂足为点H 。

∵∠ADC =60°，∠CAD =75°，∴∠ACD =45°。

∵AD =4，∴DH=2，AH=32。

∴CH=32，AC=62。

∴AB=AC+CD=62+32+2（米）。

【典型例题4】
C
60°
38° B D
E 23° A
F
某校的教室A 位于工地O 的正西方向，且OA ＝200米，一部拖拉机从O 点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行驶．设拖拉机的噪声污染半径为130米．试问教室A 是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A 受污染的时间有几秒？（已知：80.053sin ≈︒，60.037sin ≈︒，75.037tan ≈︒）
解：设拖拉机行驶的方向为OM ，作AH ⊥OM ，垂足为点H 。

在Rt △AOH 中，
∵∠AHO =90°，∠AOH =37°，AO=200，
∴AH=200sin37°=200×0.6=120（米）＜130（米）。

∴教室A 是在拖拉机的噪声污染范围内。

设当拖拉机行驶到点P 处教室A 开始受噪声污染，到点Q 处结束噪声污染， 则可知PH=QH ，AP=130。

∴HP=5022=-AH AP 。

∴PQ=100。

∴205
==
PQ
t 。

答：教室A 受污染的时间有20秒。

【知识点】
方位角的有关概念。

【基本习题限时训练】
1. 小明从A 地沿北偏东
30方向走到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到
C 地，此时小明离A 地（ ）
（A ）50；（B ）100；（C ）150；（D ）200。

答案：B 。

2. 甲船向正东方向航行，在A 处发现乙船在它的北偏东30°方向60海里的B 处，且正沿南偏西30°的方向航行，经过半小时，甲船航行至D 处，发现乙船恰在自己的正北方向的C 处．已知甲船的速度是乙船的1. 5倍，则甲、乙两船的速度分别为（ ）
（A ）30海里/时，20海里/时；（B ）20海里/时，30海里/时； （C ）45海里/时，30海里/时；（D ）30海里/时，45海里/时。

答案：C 。

3. 一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，则此时轮船与灯塔C 的距离为（ ）
（A ）10；（B ）20；（C ）310；（D ）320。

答案：D 。

【压轴题4】
一艘小船从码头A 出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B 处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C 处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离．
解：由题意，得∠CAB=30°，∠ABC=105°，∴∠C=45°。

作BH ⊥AC ，垂足为点H 。

在Rt △BCH 中，∠BHC=90°，∠C=45°，BC=10，∴BH=CH=25。

在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，∠BAH=30°，BH =25，
∴AH=65。

∴AC=AH+CH=65+25。

答：此时小船与码头之间的距离为（65+25）海里。