船舶静力学：第3章 初稳性

1 2
y12dx
L/2 L / 2
1 2
y22dx
0
上式表示WL水线面对o-o轴的静矩为零，故该轴一定通过水线面的形心。 可见，两等体积水线面的交线必过原水线面的漂心（形心）。
二、浮心的移动
为便于研究浮心的移动，先介绍重心移动原理。 如图两物体W1，W2，重心为g，g1, 总的重心 为G，对g点取矩
由于 f 为小量
M R GM f
由复原力矩的方向，或G点和M点之间的关系，可以判断船舶平衡
的稳定性。
1）G在M之下， GM 为正值，MR为正值，与倾斜方向相反，外力消 失后可回复到原平衡位置，则原平衡状态为稳定平衡；
2）G在M之上， GM 为负值，MR为负值，与倾斜方向一致，外力消 失后，船舶在MR作用下继续倾斜，则原平衡状态为不稳定平衡； 3）G与M重合， GM 为零，MR为零，外力消失后，船舶不动，则原 平衡状态为中性平衡或随意平衡。
• >0 ： 稳定平衡；＝0：中性平衡；<0：不稳定平衡。
• 若系统处于稳定平衡状态，则：
F 0;M 0
P 2P l 0; l 2 0
• 打破平衡需要外力做功，或由外界输入的能量大于阀值H（h）。
船舶受外力矩作用，WL 不变，但形状变化，B
W1L1，W，G 不变，故▽大小 B1，复原力矩
M R GZ
t
aw1 w0
aw1
IT
2 3
L y3dx 2
0
3
L ( a )3 dx a3L
02
12
KB
1 2
w1a
BM IT a3L 1 a 12 atL 12w1
GM
KB BM
KG
1 2
w1a
a 12 w1
a 2
0
6w12 6w1 1 0
解得： w1 0.21 或 w1 0.79 所以： w1 0.21 或 0.79 w1 1.0 时物体处于稳定平衡状态
L
所以
M RL
GM L
t L
当 t=1cm=1/100 m 时，
M RL
GM L 100 L
~
MTC
每厘米纵倾力矩
BM L BG GM L BG GM
BM L GM L
MTC BM L 100 L
如有外力矩 MT 作用时，则纵倾为
以上讨论中，G，B，M三者的 关系尤为重要，需牢记
t MT (cm) MTC
2
(
y
y0 )2
tanf
dx
L
/
2
1 2
(
y
y0
)2
tanf
L/2
L/2 2 yy0 tanfdx y0 Aw tanf 0
因此：y0=0
z
O f
y0
WL1 y WL0
K
y
纵倾时等体积倾斜水线：
纵倾水线与原水线交线平行与y轴，纵坐标为x0
z
z dT
x0
WL0
T
y x
取任意一个横剖面，倾斜前后横剖面水线增量为：
第三章 初稳性
稳性:船舶在外力作用下发生倾斜,当外力消失后,仍能回复到 原平衡位置的能力。
§3-1 概述
浮性研究船舶的平衡问题，稳性研究船舶平衡的稳定性问题。
稳定平衡
不稳定平衡 中性平衡
静平衡条件
H
不稳定平衡
中性平衡
h 稳定平衡
• 当系统处于静平衡位置时，系统所受合外力为零。当系统略微偏离平 衡位置时，若系统所受的恢复力/力矩
B1，G1，M1
当有一小倾角f时，
M R ( p)G1M1 sin f
又由图可见：
M R GM sin f pcAsin f
而
cA z (T 1 T )
2
所以有：
MR
GM sinf
p sinf[z (T
1 T )]
2
(
p)G1M1
GM
p[z
(T
1 2
T
)]
G1M1
GM
p (
[T p)
小量载荷 p<10%Δ
增减 p T改变 f， θ 改变 先在过漂心的垂线上加载，再移动到指定位置
1、在过漂心的垂线上装卸载荷对船舶浮态及初稳性的影响 在(xF,0,z)处加p，原平衡方程为
p w( v)
p wv
设δv的形心在漂心处，并且 v AWT
故有
T v p AW wAW
此时不产生倾斜，但B，G，M
W Gg W1 gg1
W1由 g1 移动到 g2 后 W G1g W1 gg2
从而
所以 故有
W1 Gg G1g W gg1 gg2 G1gG2 与 g1gg2 相似
GG1
W1 W
g1g2
上式表明：系统重心的移动方向平行于部分重量的重心的移动方向，且 移动的距离与总重量成反比，这就是重心移动原理。
M R GM sin f
由于： M H M R
所以：
GM sin f p( y2 y1) cosf
tanf p( y2 y1) GM
如有外力作用，可将其与p的移动一起用该法计算
三、重量的纵向移动
重量 p 从A→ A1， 距离为x2-x1，G→G1
tan p(x2 x1) GM L
dT x x0 tan
排水体积增量：
L/2
L/2
dV
2 ydTdx
L/2
L/2 2 y(x x0 ) tandx
x0 x f
L/2
2xydx
L/2
L/2 L / 2
2
x0
ydx
tan
x f AW x0 Aw
tan
浮心的变化和移动轨迹
因
v1 v2
所以
L/2 L / 2
重量 p 从A(x1,y1,z1)→ A1(x2,y2,z2)，该移动可分解为， 沿z向： AA1 z2 z1
沿y向： A1A1 y2 y1 沿z向： A2A2 x2 x1
1) 新的稳心高为
G1M
GM
p(z2
z1 )
G1M
L
GM L
p(z2 z1)
GM L
2) 横倾角为 3) 纵倾角为
复原力臂
船舶在任何方向的倾斜可分成横倾和纵倾两种基本状态. 横倾力矩～使船舶产生横倾，作用平面平行于yoz平面的力距 纵倾力矩～使船舶产生纵倾，作用平面平行于xoz平面的力距 静稳性～倾斜力矩逐渐加于船上，使船缓慢倾斜的稳性问题 动稳性～倾斜力矩突加于船上，使船快速倾斜的稳性问题 初稳性～一般指倾角小于10～15度或甲板边缘如水之前的稳性 大倾角稳性～一般指倾角大于10～15度或甲板边缘如水之后的稳性
§3-2 浮心的移动，稳心及稳心半径
基本假定: 小角度横倾，舷侧为直壁（正浮时舷侧垂直于水线面）。 倾斜过程只受外力矩作用，倾斜时排水体积保持不变。
横倾时的等体积倾斜水线: 假设横倾时水线面绕平行于x轴的
直线旋转，新水线面与原水线面交线 为y=y0,z=T。倾斜后排水体积增量为：
dV
L/2
1
§3-4 船舶静水力曲线图
§3-5 重量移动对船舶浮态和初稳性的影响
重量 p 移动，排水量Δ不变，浮态和稳性变化
一、重量的垂向移动
重量 p 从A(z1)→ A(z2)，B，M不变，
G→G1
GG1
p
(z2
z1)
G1M GM GG1
G1M
GM
p(z2
z1 )
同理
G1M
L
GM L
p(z2
解： 1) 新的稳心高为
G1M
GM
p(z2
z1)
0.8
50 (6.0 2360
2.5)
0.726m
2) 新的纵稳性高
G1M L GM L 115m
3) 横倾角为 4) 纵倾角为
tanf p( y2 y1) 50(1.5 3.0) 0.044 G1M 2360 0.726
tan p(x2 x1) 50(10 25) 0.00276 GM L 2360115
对船舶而言， WL W1L1
v2 v1
浮心移动为
BB1
v1
g1g2
并且
BB1
与
g1 g 2
BB1
v1
(og1
og2
)
v1
og1
v2
og2
平行
v1 g1o
L/ L
2 /2
1 3
tan
fy13dx
v2 g2o
L/ L
2 /2
1 3
tan
fy23dx
因为
tanf f y1 y2 y
tanf p( y2 y1) GM
tan p(x2 x1) GM L
4) 首尾吃水的变化为
TF
[L 2
xF ]
p(x2 x1) G1M L
TA
[
L 2
xF
]
p(x2 x1) G1M L
5) 最后船的首尾吃水
TF TF TF
TA TA TA
例：某船长L＝110米，B=11.5米，TF＝3.3米，TA＝3.2米，Δ＝2360吨，初稳 心高GM＝0.8米，纵稳心高GML＝115米，xF =-2.2m米，现将船上重量 p=50吨的载荷自x1=25米。y1=3米，z1＝-2.2米移至x2=10米。y2=1.5米， z2＝6.0米，求船的浮态和稳定性。
1 T
2
z
GM
]
G1M1
GM
p (
[T p)
1 T
2
z
GM
]
根据上式可判断z 对GM的影响：
当 z T 1 T GM
2
时， G1M1 GM
当 z T 1 T GM
2
当 z T 1 T GM
2
时， G1M1 GM 时， G1M1 GM
设想有一高为
T 1 T GM 2
所以
BB1
f
L/2 2 y3dx L/2 3
IT f
三、稳心及稳心半径
WL W1L1 时浮心B→B1，将浮心的轨
迹假设为一圆弧，圆心为M，半径为 BM 这样，在倾斜过程中浮力作用线均过M点。 M～横稳心（初稳心） BM ～横稳心半径（初稳心半径）
BB1 BB1 BMf
BM IT
船舶纵倾时，同样可得类似的结果：
的平面，当p加于它之上时， GM
减小，反之
GM 增大，当p加于该面上时， GM 不变，但Δ变，故 MR 改变，由公式
(
p)G1M1
GM
p[T
1 2
T
z]
可见，只当 而
z T 1 T
2
时， MR 不变，
z T 1 T 时， MR 减小，反之， MR 增大
z1 )
GM L
二、重量的横向移动
重量 p 从A→ A， 距离为y1-y2，G→G1
p GG1 ( y2 y1)
tanf GG1 p( y2 y1) GM GM
应用力线平移原理，设在A加上一对共线力p，可看作G不变，而p移动导致 增加了一个力矩MH
M H p( y2 y1) cosf
1）等体积倾斜水线面相交于过漂心的横轴；
2）浮心移动
BB1
IL
3）纵稳心半径
BML
IL
IL～水线面对于过漂心的横向轴的惯性矩
I L I AW xF2
I 2 L/2 x2 ydx L / 2
WL W1L1 时浮心B→B1，G不变，复原力矩为
M R GZ GM sin f
该式称为初稳性公式，GM 称为横稳心高或初稳心高
横倾
GM KB BM KG BM zB zG BM BG
纵倾
GM L KB BM L KG BM L zB zG BM L BG BM L
例1：某海船长Lpp=120米，首尾吃水均为T=7.40米，排水量Δ＝10580吨， KB＝3.84米，BML＝125.64米，KG＝6.56米，xF=0，当船上有一重 量p=100吨，从船尾移向船首，移动距离为60米，求此时船的首尾吃 水为多少？
f 2.5 0.160
5) 船倾斜后的首尾吃水
TF
TF
(L 2
xf
) tan
3.3 (55 2.2) (0.00276)
3.14m
TA
TA
(L 2
xf
) tan
3.2 (55 2.2) (0.00276)
3.35m
§3-6 装卸载荷对船舶浮态和初稳性的影响
一、装卸小量载荷对船舶浮态和初稳性的影响
解： GM L KB BM L KG 3.84 125 .64 6.56 122 .92m
MTC GM L 10580 122 .92 108 .4t m
100 L
100 120
MT p (x1 x2 ) 100 60 6000 t m
t MT 6000 55.4cm MTC 108.4
横稳心高 GM 是衡量初稳性的主要指标，也是决定船舶摇摆快慢的重要 参数。 由初稳性公式，当 f 10 时
MR
GM 57.3
M0
如有外力矩 MH 作用时，倾角为 f MH M0
对于纵倾，同样可得纵稳性公式：
M RL GM L sin GM L
GM L 为纵稳心高
因为 tan t
TF
T
t 2
7.40
0.554 2
7.68m
t
0.554
TA T 2 7.40 2 7.12m
例2：某方形剖面的匀质物体正浮于水中，水的重量密度为1.0吨／米3 ，试问 该物体的重量密度w1为多少时才能保持其稳定漂浮状态。
解：设剖面边长为a，体长为L，吃水为t
a2Lw1 taLw0
TF
[L 2
xF ] tan
[L 2
xF ]
p(x2 x1) GM L
TA
[ L 2
xF ] tan
[ L 2
xF ]
p(x2 x1) GM L
TF
TF
TF
TF
[L 2
xF ]
p(x2 x1) GM L
TA
TA
TA
TA
[
L 2
xF
]
p(x2 x1) GM L
三、重量沿任意方向的移动