【理数】哈三中2021届高三第一次验收考试试题+答案!

哈三中2020-2021学年度上学期高三物第一次验收考试
数学试卷(理)
第I卷(选择题共60分)
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.)
1.已知全集(/ = {-1,0,1}，集合力={-1,0},8 = {0,1},则4n8)=
A. {0}
B. {-1。

C. {-U}
D. {0,1}
2.已知函数/(»的定义域为[0,2],则/(2x + l)的定义域为
A. [0,2]
B.卜;,
C. [-U]
D. [1,5]
3.函数/(》)二十=~^的值域为
x —2无 + 2
A.(0,1]
B. (O,；
C.(0,1) ° (K)
4.己知集合力=卜€2卜2-3工-4«()[,5 = {x|0<ln.v<2},则的非空其子集的个数为
A. 3
B. 6
C. 7
D. 8
5.若/(4 + l) = x-J7,则/(戈)的解析式为
A. /(x)=x2-l B /(x) = (x-2)2
c. f(x) = X2-3X +1 D, /(x)=-3大 + 2
6.已知集合4 = {0,1,/}, 8 = {1,0,3。

-2},若N = 8,则々等于
A. 1 或2
B. -1 或-2
C. 2
D. 1
理科数学试黝第1页(共6页)
理科数学试题第2页(共6页)
A. (；,2
B. [0J)U(L2]
C. (g,“U(l,2]
D. [0,2]
2" +3 r<0
8 .设函数/、")=《 ' •若/(。

)= 4,则实数。

的值为
l-log 2 x 9x>0
1
1 1 1 4X 1
2 8 16 2 8
9 .如果函数y = /(x)在区间/上是减函数，且函数^ = 丛»在区间/上是增函数，那 么称函数p = /(x)是区间/上的“可变函数”，区间/叫作,,口r 变区间若函数 /(、)= / —4* + 2是区间/上的“可变函数”・则“可变区间”/为
A.因2]
B.(7,-何和[a,2]
C.(0,V2]
D. [1,73]
10 .高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之・一,享有“数学王广的称号，他和阿 基米德、牛蟆并列为世界大数学家，用其名字命名的“高斯函数.,为：设K £ R ,用卜] 表示不超过x 的最大整数.则)，=卜]称为高斯函数，例如：卜3.5] = -4, [2.1] = 2, 已知函数/(x) = £；-g,则函故了=的值域是
全集U 的子集,下列结论中错误的是
A ・若尻则/(幻4/^F) B. f ZuA (x)^\-f A (x)
三、解答题（本大题共6小题.共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步5L ）
7.函数/(*) =
lg(2x-l) 的定义域是 A. {-1,0} B. {0} C {0,1}
D. {1} II.对于全集U 的子集/定义函数〃(x) = ,
(xe 』)
(xeC r /l) 为/的特征函数，设48为
C. /始8 (*) = /,3/(t) D ・ /4us(x) = /,(x) +，r(x)
17.（本小题满分10分）
已知全集为R.函数/（x） = log4 - 2）的定义域为集合4,集合6 =卜, 7-620}.
（1）求力。

8：
（2）若0 =k|1-机＜工4〃“，Cu（以8），求实数/〃的取值范围.
18.（本小题满分12分）
t =——4 + CQC a
已知曲线C；的参数方程为：{ 一 . （a为参数），C的参数方程为：
y = 3 + sina
r=8s，j夕为参数）
y = 3 sin P
（I）化C、G的参数方程为普通方程,并说明它们分别发示什么曲线：
（2）若直线/的极坐标方程为：2〃sin，-0cos夕=7,曲线C；上的点P对应的参数。

二工，曲线U上的点0月应的参数6 = 0,求P0的中点〃到直线/的距2 °离.
理科数学试题第4页（共6页）
19.(本小题满分12分)
已知函数/(x) = |2x _ 3|-x + 4.
（1）求不等式/（x）46的解集“：
（2）若r为集合M中的最大元素.且1 + ] =，（。

＞0,人＞。

），求[的最a 2b9 2 小值.
20.（本小题满分12分）
已知数列｛"J满足q ="】,《,工2, 一q,・ 43-1 = 0.
（1）求生.a y. a4：
（2）猜想｛q｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
理科数学试1»第5页（共6页）
21.（本小题满分12分）
已知函数/（x）=2c：；2e二,其中e为自然对数的底数.
（I）证明：八发）在（-8,0）上单调递减.（0,+«。

）上单调递增：
（2）设。

>0,函数g（x） = 2cos，x + acosx-a-；,如果总存在马,对任意升wR./（*J》g（X2）都成立,求实数Q的取值范用.
22.（本小题满分12分）
已知函数/（x） = ln（x - 1）一代x -1） +1 伏€ R）.
（1）求函数/（外的单调区间；
（2）若/（幻40恒成立，试确定实数A的取值范围：
八、E2 In3 Inn /（力-1）/ 十、一
（3）证明：——+ ——+ ...+ -- <- ----- '（rt€N •«>!）.
3 4 M +1 4 '
理科数学试题第6页（共6页）
哈三中2020.2021学年度上学期高三年级第一次验收考试
数学试卷(理)答案
一、选择题CBABD CCBBA DB
二，填空通
13.{邓4K <4}
14.(1.400) 2
15.(pl)
三、解答题
17.(1) A = {x|x>2},B = {x|xN3垢4-2} .............................. 3 分
/05 =卜次23} ............... ................................ 1分(2> GB={X|-2VX<3}.................................................... 分
Cc=^,l-— ~ ........ ................................ •••・•••・・分
■
\-m<m。

射。

,< l-mN-2,g<m<3 ........................................... 2 分m <3
线上3 MW(YO,3)
18.(1) C1:(x + 4)2+(y-3)2=l (2)
分
表示以(-4,3)为留心，1为半径的囱 ........................................ 1分
表示椭圆
<2）尸（一4,4）,。

（8,0）
则M(22), /:x-2y + 7 = 0 ................................... . . M 到/的距高"=吐冥=石
x + 146
3
X<2 -3x + 7S6
综上：解集为4,5]
20.
1
2-m 3-2m a 2s ^一，％ ==-，%=:一「 .................
2-m 3-26 4-3m . 1)- 证明："1时，% = 午卜=加.结论成立
假设〃=无时，结论成立.即4 = /以&《生 当曾二A + 1时:
(左-1)-(七-2M 2k - 2(A - l)w - (A - 1)+ (% - 2加 (A: +
l)-bw ，年一加― A 斗二]yr 结论成立.
19. (1) xU 3 2 ,XG [-,5]
—=5 ,:' 2b
a b 一十—= 9 2 f a b 、,l 1、
9 2, a Zb (2)
y L 2由通侬、
1) —2M 综上，数列通项为。

11H l ——『一\ '
/t -(w-
2
21. (1)证明：/'(x) = §(---”) ........
令/V) > 0，解得x > 0,•・・ /(X)在(0, +O0)上单调递增
令f\x) < 0,解得x < 0,.\/(x)在(-8,0)上单调递减
(2)由题意得：/(x)max^g(x)min
2 /(x)max = /(-a) = /(a) = -(e" +
♦ / = cosx(/w[-l,lJ),・,.g «) = 2/2+w-a-g,对称轴/ = -]<()
r.g(0max = g(l) = - .......................................
J
/.+ e ")2+。

" 2 - 令001s
加.(旭 >0),/./w+— ^”二加22
3 3 2 ' m 2
・T 22”,.a21n2 22. (1) /'(K ) = ----- k [x > 1)
x**l
当人40时，/(¥)>0恒成立，故函数在(1,+a 。

)上为增函数
当%>。

时，令rG)>o,即时,函数单调递增 A
令r(*)<o,即1<¥<丝1时，函数单调递减 * k
综上：当AM0时.函数在(1,48)上为增函数 .................
(2)当A40时，/(2)=4 + 121,显然/(x”0不恒成立
上为地函数，在(牛,y)上为减函数・・・l 分
当％>0时，函数在
当k>0时，/G)g=/(牛) = ln，40即左21
综匕后的取值范围是［1, +oo) ..................................... 3分(3)由(2)可知，士 = 1时/(力40恒成立，即ln(x-l)<x-2
,蛇士”2 X X
1DM Inn2n1 -1 ”1
ln2 ln3 Inn 1 2 3 n-\★-1)/ 小
3 4 〃+1 2 2 2 2 4 ' )
............................................. 4分。