安徽省宿州市2013届高三第一次教学质量检查数学(理)试题(扫描版)

17．解：（Ⅰ）当e t =-时，()e e x f x x =-，()e e x f x '=-．
由()e e >0x f x '=-，解得1x >；()e e <0x f x '=-，解得1x <．
∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞． ……………… 5分 （Ⅱ）依题意：对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，
即e 0x
tx +>即e x
t x >-在(0,2]x ∈上恒成立．
令e ()x g x x =-，∴2
(1)e ()x
x g x x -'=． 当01x <<时，()0g x '>；当12x <<时，()0g x '<．
∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减．
所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)e g =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值．
∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞． (12)
分
19.解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、
2、3，η的取值分别0、1、2、3
122130424242333666131(1),(2),(3)555
C C C C C C P P P C C C ξξξ=========
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
ξ
1 2 3 P 15 35 15 131()1232555
E ξ=⋅+⋅+⋅= ………………5分 因为2~(3,)3B η,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为： η 0 1 2 3 P
127 627 1227 827 16128()0123227272727
E η=⋅+⋅+⋅+⋅= ………………8分 （Ⅱ）因为31412820(2),(2)555272727P P ξη≥=+=≥=+= 所以(2)(2)P P ξη≥>≥ ………………10分 从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强. ………………12分
21．解：（Ⅰ）当1=n 时，31=a ．
（Ⅲ）()1212753-+++++=n n n S λλλ ．
当1=λ时， ()n n n S n 2127532+=+++++= ． ………… 10分
当1≠λ时，()1212753-+++++=n n n S λλλ ，
()()n n n n n S λλλλλ12125312++-+++=- ．
()()()()()n n n n n n n S λλλλλλλλλ12112312231112+---⨯+=+-++++=--- ①当1=λ时，左＝()3121≥+==+-n a a S n n n λλ，结论显然成立；
②当1≠λ时，左＝()()()n n n n n a n a S λλλ
λλλλ++---⨯+=+--12112311 ＝()λ
λλ--⨯+-11231n
而0λ>，1λ-和11n λ--同号，故()0111>---λλλn ∴ (1)3n n S a λλ-+≥对任意*n N ∈都成立. ………… 14分。