结构力学期末总复习

20.45
B
D
24.55
24.55 20.45
1pE 1( I2.5 3 4 5 3)1E 1 .5I2
3.求X1
x1
1P
11
9.82
C
M 图（kN.m）
4.绘 M 图。 MM1x1MP M B D 2 .5 9 .8 2.5 4 k5 M N
M B A 2 .5 9 .8 4 2 5 2 .4 k 0 5 M NM BC 09.8 20 请思考：若此题若改为对称荷载，结构又应该如何简化？
30kN
X1
30kN
3I
I
4m
2m
图b
图a
解： 1.绘 M1 MP 图
20
X1=1
5/9 1/3
5
10 5
1
M1 图
2.求系数Δ1P(提示：变截面杆应分段图乘）
MP 图
1 p 3 E 1 [ 1 2 I 2 4 0 ( 1 3 1 3 3 2 ) ] E 1 ( 1 3 I 1 1 3 0 2 ) 2 1 E 7 4 I0
2.5
X1=1
C
45 M0
3m 2.5m 2.5m 3m
3m 2.5m 简化的半结构
基本结构
M1 图
MP 图
解： 1.利用对称结构在反对称荷载作用下取左半跨结构进行计算，
取基本结构,列力法方程
11 X1 1P0
2. 绘 M1 MP 图，求系数和自由项，
A
1 1E 1(2 .I5 3 2 .5 3 2 .5 2 3 .5 2 .5 ) 1 E .4 1I 6
1P 1P P
二.力法解超静定结构的计算步骤 （以02级试题为例，25分）
用力法计算并绘图示结构的M图
M0
C EI
B
解: 1)取基本结构，确定基本未知量 x 1
l
2) 列力法方程 11x11p 0
2EI
3)绘 M 1 和 M p 图
A 原结构
l
M0
B
C EI
x1
2EI
A 基本结构
4) 求系数和自由项
或 1 p 3 E 1 [ 6 4 I ( 2 2 1 3 0 2 1 ) 0 ] E 1 ( 1 3 I 1 1 3 0 2 ) 2 1 E 7 4 I0
（03级试题） （15分）用力法计算并绘图示结构M图。EI=常数。
A=3I/2l2
q
l
l
q
x1
基本结构
l
x1 1
M1图
X2 1
4
10KN
1
2 2
11
32
1 E(I2444)EI
M2 4
Mp
20
1PE 1( I1 22 0 2 23 22 3 2 E0I0
6) 利用叠加法 绘 M 图
2PE 1( I1 22 024)8 E0 I
2.14
M ikM 1X 1M 2X 2M P
2.14
5) 把系数代入方程，求基本未知量
2hl 1(cd) 32
基线同侧积为正，反之为负。
⑸ 记住几种常用图形的形心位置、面积计算公式。
h l2 l2 2 hl
3
h
5l 3l 88
2 hl 3
h
3l 1l 44
1 hl 3
h
2l 1l 33
1 hl 2
举例：1.指出以下结构的超静定次数。
复铰
6
次
4
次
2.判断或选择
⑴ 静定结构的内力计算，可不考虑变形条件。（ √）
i —与多余约束相应的原结构的已知位移，一般为零。
iP —基本结构单独承受外荷载作用时，在xi作用点，沿xi方向的位移。(自由项） ij —基本结构由于xj=1作用，在xi作用点，沿xi方向的位移。（柔度影响系数）
4．在外荷载作用下，超静定梁和刚架的内力与各杆的EI的相对值有关，而与
其绝对值无关。（ ij 的iP分母中都有EI，计算未知力时，EI可约简）
超静定结构：具有多余约束的几何不变体。
2．判定超静定次数的方法：去掉多余约束使之成为静定结构。
超静定次数=多余约束的个数 去掉多余联系的个数及方法（掌握）：
静定结构的 基本形式
⑴ 去掉一根链杆支座或切开一根链杆 = 去掉一个约束。
简支梁式 悬臂梁式 三铰刚架式
⑵ 去掉一个铰支座或单铰 = 去掉二个约束。
EI
2EI
EI
L
L
对称结构
L/2
L/2
非对称结构
2。简化方法
⑴ 对称结构在对称荷载作用下（特点：M、N图对称，Q图反对称）
a. 奇数跨 — 取半边结构时，对称轴截面处视为定向支座。
M0
M0
M0
简化为
b. 偶数跨 — 取半边结构时，对称轴截面处视为固定端。
简化为
L/2
L/2
L/2
⑵ 对称结构在反对称荷载作用下（特点：M、N图为反对称，Q图为对称）
10
6 34X132 X2230 00
X1
553.93 14
5.71
M 图 (kN.m)
32 X1235X 62800
X2 12580M .5C 3 64 B 3 . 9 如： 4 3 ( 0 . 5 ) 3 ( 62 .42) 6 0 6 . 4 k . m 2 （N 右侧受拉）
（02级试题） （15分）图b为图a的基本体系，求Δ1P。 E=常数。
•⑷ 在超静定结构计算中，一部份杆件考虑弯曲变形，另一部份杆件考虑轴向变形， 则此结构为 ( D )。
A. 梁 B. 桁架 C.横梁刚度为无限大的排架 D. 组合结构
组合结构举例： 6
14 53 2
杆1、杆2、杆3、杆4、杆5 均为只有轴力的二力杆，仅 考虑轴向变形。
杆6为梁式杆件，应主 要考虑弯曲变形。
解: 1) 选 取基本结构，确定基本未知量x1、x2。
2) 列力法方程 11x112x2 1p 0
3)绘 M 1
2
1xi
2
2x2
2p
0
X1
M2 和 M p 图
4) 求系数和自由项
11E 1(I1 3444)36E4I
X2
基本结构
4m X1 1 10KN
2m 10KN
2m
2
M1
4
22 E 1(1 3 I444444)3 2 E5I6
⑵ 力法只能用于线形变形体系。
（√ ）
4 次
通过静力平衡条件能 求出静定结构的全部 反力及内力。
由力法方程的系数
ij
Mi Mj dx EI
可知，EI应为常数且不能均为无穷大。
只有线性变形体满足此条。
⑶ 力法典型方程的物理意义是： A. 结构的平衡条件 C. 结构的变形协调条件
（C ） B.结点的平衡条件 D.结构的平衡条件及变形协调条件
11 E 1(1 3 Illl)21 E(lIll)6 5 E l3 I l 1P21 E(IM 0ll)M 2E 0l2I
l
x1 1
l
M
图
1
M0
M0
M0
M
图
p
5) 把系数和自由项代入力法方程求未知量：
2M 0
x1 1 1p1M 2E 0l2I65E l3 I3M 5l0
5
6) 作结构的M图。
2M 0
C
ql 2 8
NBCql8
B M图
一．基本概念
第二部分 位移法
1. 位移法的基本未知量： 刚结点的角位移与独立的结点线位移(Δ1、 Δ2 、····)
结点的角位移符号：
结点的线位移符号：
（图示方向为正）
判断位移法基本未知量数目的方法：
⑴ 刚结点数目= 角位移数目 （不含固定端） ⑵ 用直观法或换铰法确定独立结点线位移的数目。 直观法：由两个不动点引出的两个不共线直杆的交点也为不动点。 换铰法：将结构所有的刚性联结均变为铰接后（含固定端），组成的可变铰接 体系的自由度数目，即为独立线位移数目。
（将解得的基本未知量直接作用于B支座处， 5
利用截面法计算即可）
M0
3M 0 5
x1
3M 5l
0
M图
M0
3M 0
5
2M 0
5
MC 0
三.对称性的利用 （重点掌握半刚架法） 1。对称结构的概念（几何尺寸、支座、刚度均对称）
EI EI
2EI 非对称结构
L/2
L/2
2EI 2EI
EI
EI
EI
2EI 2EI
3. 分别说出下面几种基本结构中，力法方程的具体意义及
并用图形表示。
P
P
P
B
C
x1 x1
A 原结构
基本结构⑴
基本结构⑵
11x11p 0
11 1P 的具体含义，
x1 x1
基本结构⑶
P
B
C
x1
A 基本结构⑴
P
B
C
原结构在C处
的竖向线位移
11x11p 0
11
基本结构在竖向力x1 和荷载P共同作用下在
a. 奇数跨 — 取半边结构时，对称轴截面处视为与杆件垂直的可动铰支座。
M0
M0
M0
简化为
b. 偶数跨 — 取半边结构时，对称轴通过的杆件，弯曲刚度取一半。
EI
简化为
EI
EI
EI
EI/2
L/2
L/2
L/2
⑶ 对称结构上作用一般荷载时，可将荷载分解为正对称与反对称两种情况之 后在于以简化。（例如，作业1第四题：略）
（01级EI试 2题2 ）（342l0分P）EI图1Pb为 图P1l6a2的基E 本I2体P 系0。x已1求知结E构PI的11M图172.l (EEI=I常12数)0
C
B
x1
说明 也可不画单位弯矩图 和荷载弯矩图，求出基 本未知量后，直接利用 AC段弯矩图是斜直线的 特点由比例关系求出A
截面的弯矩值：
ij ji
M i 图与 M P 图图乘，有正、负、零的可能。
应掌握图乘法的注意事项：
⑴ ω—一个弯矩图的面积。y0—与取面积的图形形心对应的另一个弯矩图的纵标值。 ⑵ 两个弯矩图中，至少有一个是直线图形。 y0取自直线图形。（折线应分段） ⑶ 必须是等截面的直杆。（变截面应分段） ⑷ 常用的图乘结果：
l
图a A
l/2 l/2
l
x2
3
图b
P
M AC
3 28
Pl
l3 2l 3
3 Pl（此方法简便） 56
X1=1 1
1 0.5
1
X2 =1
M1
1.5
M2
Pl/ 4 MP
P
3 Pl 28
解:１．列力法方程 11x112x2 1p 0
21xi 22x2 2p 0
11 Pl 56
２．将已知条件代入方程求基本未知量
⑶ 去掉一个固定端或切断连续杆 = 去掉三个约束。
⑷ 去掉一个定向支座 = 去掉二个约束。
⑸ 把刚性联接或固定端换成一个铰联接 = 去掉一个约束。
3．力法典型方程的形式，力法方程的物理意义，各符号的含义。
一次超静定结构 11 x11p1(0)
两次超静定结构
11x112x21p 1(0) 21x122x22p 2(0)
另：简化时，应充分利用局部平衡的特殊性，以简化计算。
例如： P
P/2
P/2 P/2
P/2
（a）
（b）
对称荷载
反对称荷载
（局部平衡，各杆弯矩为0）
P/2
P/2
P/2
简化
（b）
往届试题举例:
（03级试题） （15分）用力法求图示结构M图, EI=常数 ， M0=45kN.m 。
M0
M0
AB
M0
D
4m
M0 X1
C处的竖向线位移
x1 1
原结构在A处 的角位移
11x11p 0
P 1P
P
A x1
基本结构⑵
B x1 P C x1
A 基本Biblioteka Baidu构⑶
基本结构在力偶x1和 荷载P共同作用下在A
处的转角位移
11 x1 1
原结构在B处的 11
相对角位移
11x11p 0
x1 1
x1 1
基本结构在一对力偶
x1和荷载P共同作用下 在B处的相对角位移
5.求 ij iP 实质上是计算静定结构的位移，对梁和刚架可采用“图乘法”计算。
图乘法计算公式
EyI0
基线同侧图乘为正，反之为负。
2
主系数 ii
Mi ds EI
M i 图自乘，恒为正。
副系数 ij
Mi Mj ds EI
自由项 iP
Mi MP ds EI
M i 图与 M j 图图乘，有正、负、零的可能。
力法方程的物理意义： 基本结构在荷载和多余约束力共同作用下，在多余约束处的变形和原结构在 多余约束处的变形是相等的。
——实质是多余约束处的变形协调条件（位移条件）
应明确以下几点
⑴ 基本未知量xi是广义多余力，每个方程是与多余约束相应的位移条件。
⑵ 力法的基本结构是去掉多余约束后的静定结构。 ⑶ 力法方程中：
土木工程力学(本)
期末总复习
一．基本概念
第一部分
1．超静定结构的基本概念
力法
⑴ 由静力平衡方面分析: 静定结构：通过静力平衡条件能求出结构的全部反力及内力的结构。
超静定结构：通过静力平衡条件不能求出结构的全部反力及内力的结构(需增加变
形协调条件) 。
⑵ 由几何组成方面分析: 静定结构：无多余约束的几何不变体。
x2 0
3 Pl
M图
56
x1 1 1P1P 126 l1 7l2 2 38 p(即 l M CA M CB 3 2 P8 ， l 外侧受拉）
３．利用叠加法求Ｍ图 M AC M 1X1M 2X2M P32p8l1235p6l （右侧受拉）
（01级试题）（同作业1第三题3）
用力法计算图示结构，并绘出M图。EI=常数。（20分）
两个三角形图乘:
a
两个梯形图乘:
曲线图形与直线图形图乘:
h 1 ql 2
a
8
a b
l a
b
l
l
b
b
c
d
c
d
l
y0
1 abl 3
(1/3高高底）
l
y0
1 abl 6
(1/6高高底）
l
l
y06 l(2a c2bd ad b)c
y06 l(2a c2bd ad b)c
(1/6杆长乘2倍同侧积加1倍异侧积）
x 解； 1. 选取基本结构，确定基本未知量 1
ql 2
2.列出力法方程
11 x11P0
2
3.绘 M1 MP 图。
MP图
4.求系数和自由项。
11
l3 EI
1 1q2l 3 q4l
1pEI3
l l 2 4 8EI
5.求X1
x1
1P
11
q2l EIql 8EI l3 8
3 ql 2 8 A
6. 绘 M 图。 MABq82llq22lq82l MBA0