专题2.38 《有理数及其运算》全章复习与巩固(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年七年级数

专题2.38《有理数及其运算》全章复习与巩固（基础篇
（专项练习）
一、单选题
1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在我国开幕，开幕首周便吸引了约599000000名中国观众．将“599000000”用科学记数法表示为（）
A ．6
59910⨯B ．7
5.9910⨯C ．8
5.9910⨯D ．9
0.59910⨯2．如果某商场盈利3万元，记作3+万元，那么亏损1.8万元，应记作（）
A ． 1.8
-B ． 1.8-万元
C ． 1.8+万元
D ． 1.8
+3．如图，点A 在数轴上对应的数为-3，点B 对应的数为2，点P 在数轴上对应的是整数，点P 不与A 、B 重合，且PA +PB =5，则满足条件的P 点对应的整数有（
）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4．下列各数中，与5互为相反数的是（）A ．
15
B ．－5
C ．5-
D ．15
-
5．在下列各数中，比1-小的数是（）．A ．0
B ．1
C ．1
2
-
D ．2
-6．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足0a b +>，则b 的值可以是（
）
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．27．在简便运算时，把47249948⎛
⎫⨯- ⎪⎝
⎭变形成最合适的形式是（
）
A ．12410048⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭
B ．12410048⎛
⎫⨯-- ⎪⎝
⎭C ．47249948⎛⎫⨯-- ⎪
⎝⎭D ．47249948⎛
⎫⨯-+ ⎪
⎝
⎭8．计算下列各式，值最小的是（）
A ．20⨯
B ．24
-C ．52-÷D ．|3|
--9．()
()
2021
2022
22-+-所得的结果是（
）
A ．20212
B ．2021
2-C ．1D ．2
10．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．1
x ≤-B ．1x ≤-或2
x ≥C ．12
x -≤≤D ．2
x ≥11．如图数线上的A 、B 、C 、D 四点所表示的数分别为a 、b 、c 、d ，且O 为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（
）
A ．||a
B ．||b
C ．||c
D ．d
二、填空题
12．规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a 和b ，有a ☆b ＝a -b +1，请你根据新运算，计算（2☆3）☆2的值是___________
13．中国古代数学著作《九章算术》在方程一章首次正式引入“负数”，如果电梯上升3层记为+3．那么电梯下降5层应记为______．14．比较大小：56-______6
7
-．（填“<”或“>”）
15．某工厂有甲、乙、丙、丁、戊五台车床．若同时启动其中两台车床，加工10000个W 型零件所需时间如表：车床编号
甲、乙
乙、丙丙、丁丁、戊甲、戊所需时间（h ）13
9
10
12
8
则加工W 型零件最快的一台车床的编号是_____．
16．在数4.3，3-5，｜0｜，227⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，-｜-3｜，-（+5）中，___________是正数
17．把(－5)－（－6）＋（－7）－（－4）都统一转化成加法运算，即_____18．若a ＜0，且a =4，则a +1=________.
19．五一假期，班主任孙老师带着班级17名同学，去玉渊潭公园划船，项目收费标准如下：
船型
两人船（限乘两
四人船（限乘四
六人船（限乘六
八人船（限乘八
人）
人）人）人）
每船租金（元/小
时）
90100130150
若每条船划的时间均为1小时，则租船的总费用最低为______元．
20．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是______天．
21．小明在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数a ，加*键，再输入数b ，就可以得到运算a *b =3a +2b ，请照此程序运算（4-）*3=______．
22．按如图所示的运算程序，输入2m =，1n =，则输出y 的值是___________．
三、解答题
23．把下列各数：()4-+，3-，0，2
13
-，1.5
(1)分别在数轴上表示出来：
(2)将上述的有理数填入图中相应的圈内．
24．计算
(1)()()
4.70.8
5.38.2+-++-(2)1116312⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
25．计算
（1）2×（－3）2－6÷（－2）（2）－12020÷（－12）－（0.25－38）×24
（3）（－4
5）×
45
16
÷（－
5
4）
2；（4）（－24）×（
31
8
+
12
3－0.75）．
26．入冬以来，某品牌的羽绒服统计了在西乡市场某一周的销售情况，以每天100件为标准，超过的件数记作正数，不足的件数记作负数，记录如下：8，12，-9，6，-11，10，-2．
(1)求销量最多的一天比销量最少的一天多销售______件；
(2)该品牌羽绒服这一周的销售总量是多少件？若每件羽绒服的利润为130元，则这一周销售该品牌羽绒服的总利润为多少元？
27．我们知道，a的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的，x y-的几何意义就是：数轴上数,x y对应点之间的距离；比如：2和5两点之间的距离可以用25
表示，通过计算可以得到他们的距离是3
（1）数轴上1和3
-两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是_______
（2）数轴上表示x和3
-的两点A、B之间的距离可以表示为AB=；如果AB=2，结合几何意义，那么x的值为；
（3）代数式
12
x x
-++
表示的几何意义是，该代数式的最小值是
参考答案
1．C 【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．解：599000000=85.9910⨯．故选：C ．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．B 【解析】【分析】
盈利、亏损表示两个具有相反意义量，把盈利记作“+”，则亏损记作“-”，进而得出答案．【详解】
解： 盈利、亏损表示两个具有相反意义量，
∴亏损1.8万元，应记作 1.8-万．
故选：B ．
【点拨】本题主要考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．3．C 【解析】【分析】
由图可知，A 到B 的距离恰好为5，故点P 在点A 与点B 之间，找出3-与2之间的整数即可．【详解】
解： 点A 表示的数是3-，点B 表示的数是2，且2(3)5--=，
∴点P 在线段AB 上，不与A 、B 重合，∴点P 对应的整数有2-，1-，0，1，共4个．
【点拨】本题考查了数轴的应用，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键．4．B 【解析】【分析】
根据相反数的定义计算判断即可．【详解】
∵5的相反数是-5，故选B ．
【点拨】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．5．D 【解析】【分析】
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】
解：∵-2＜-1<1
2
-＜0＜1，
∴比1-小的数是-2．故选：D ．
【点拨】此题主要考查了有理数的大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的反而小．6．D 【解析】【分析】
根据题意可得21a -<<-，从而得到1a >，再由0a b +>，可得0b >，且1b a >>，从而得到1b a <->，即可求解．【详解】
解∶根据题意得∶21a -<<-，∴1a >，
∴0b >，且1b a >>，∴1b a >->，∴b 的值可以是2．故选：D
【点拨】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b 的取值范围．7．A 【解析】【分析】
根据乘法分配律即可求解．【详解】
47249948⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=12410048⎛
⎫⨯-+ ⎪⎝
⎭计算起来最简便，
故选A ．
【点拨】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的运用．8．D 【解析】【详解】
200⨯=，242-=-，52 2.5-÷=-，|3|3--=-，
∵3 2.520-<-<-<，∴最小的是-3，故选：D ．
【点拨】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加、减、乘、除运算法则及有理数的大小比较．9．A 【解析】【分析】
直接提取公因式（−2）2021，进而得出答案．【详解】
解：（−2）2021＋（−2）2022＝（−2）2021×（1−2）＝22021．故选：A ．
【点拨】此题主要考查了提取公因式以及有理数的混合运算，正确找出公因式是解题关键．10．C 【解析】【分析】
由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．【详解】
解：如图，由()1212x x x x ++-=--+-可得：点A 、B 、P 分别表示数1-、2、x ，3AB =．
|1||2|x x ++- 的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和，
∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3，当点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时，+>PA PB 3．
|1||2|x x ∴++-取得最小值时，x 的取值范围是12x -≤≤；
故选C ．
【点拨】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．11．A 【解析】【分析】
根据绝对值意义直接求解即可．【详解】
解：a 表示的点A 到原点的距离最近，||a ∴最小，
故选：A ．
【点拨】本题考查了绝对值，数轴，掌握绝对值的定义：数轴上一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．12．1
-
【解析】
【分析】
先按照新定义计算括号内的运算，得到括号内的结果后再利用新定义法则进行运算即可．【详解】
解： a☆b＝a-b+1，
∴（2☆3）☆2
()
231
=-+☆2
=0☆2
021 1.
=-+=-
故答案为：1-
【点拨】本题考查的是新定义运算，有理数的加减运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
13．-5
【解析】
【分析】
根据题意向上为正，下降为负结合负数的定义解答即可.
【详解】
解：上升3层记为+3，
则下降5层记为-5.
故答案为：-5.
【点拨】本题考查了负数的定义，结合题中所给的信息解答是解答的关键.
14．>
【解析】
【分析】
根据有理数大小比较的规律可知两个负数，绝对值大的反而小易求解．
【详解】
解：∵｜5
6-｜＝
5
6＝
35
42，｜
6
7-｜＝
6
7＝
36
42，
35
42＜
36
42，
∴5
6-
>
6
7-
故答案为：>
【点拨】此题考查了有理数大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解答此题的关键．
15．丙
【解析】
【分析】
根据表格分别求出两个一起的工作效率，然后比较即可得出结果．
【详解】
解：根据表格可得：甲乙一起的效率为1000013，乙丙一起的效率为100009
，∴甲的效率<丙的效率；乙丙一起的效率为
100009，丙丁一起的效率为1000，∴丁的效率<乙的效率；
丙丁一起的效率为1000，丁戊一起的效率为25003，∴戊的效率<丙的效率；丁戊一起的效率为
25003，甲戊一起的效率为1250，∴丁的效率<甲的效率；甲乙一起的效率为
1000013，甲戊一起的效率为1250，∴乙的效率<戊的效率；
综上可得：丁的效率<乙的效率<戊的效率<丙的效率，甲的效率<丙的效率；
最快的车床编号为丙，
故答案为：丙．【点拨】题目主要考查有理数的大小比较的应用，理解题意，找准突破口是解题关键．
16．4.3，227⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
首先将各数化简，再根据正数的定义可得结果．
【详解】
解：在数4.3，3-5，｜0｜=0，222277
⎛⎫--= ⎪⎝⎭，-｜-3｜=-3，-（+5）=-5中，4.3，227⎛⎫-- ⎪⎝⎭是正数．
故答案为：4.3，227⎛⎫-- ⎪⎝⎭
．【点拨】本题主要考查了有理数的定义，绝对值的意义，相反数的意义，熟练掌握有理数的分类是解答此题的关键．
17．(5)6(7)4
-++-+【解析】
【分析】
利用“减去一个负数等于加上这个数的相反数”即可求解．
【详解】
解：原式(5)6(7)4=-++-+，
故答案为：(5)6(7)4-++-+．
【点拨】本题考查多重符号化简、相反数等知识点，理解并掌握“减去一个负数等于加上这个数的相反数”是解题的关键．
18．-3
【解析】
【分析】
由题意易得4a =±，根据a ＜0可得2a =-，然后代入求值即可．
【详解】
解：∵|a |=4，
∴4a =±，
又∵a ＜0，
∴4a =-，
∴+14+13a =-=-．
故答案为：-3．
【点拨】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义及有理数的加法法则是解题的关键．
19．380
【解析】
分五种情况，分别计算即可得出结论．
【详解】
解：∵共有18人，
当租两人船时，∴18÷2＝9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9＝810元，当租四人船时，∵18÷4＝4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，
∴租船费用为100×4＋90＝490元，
当租六人船时，∵18÷6＝3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3＝390元，当租八人船时，∵18÷8＝2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，
∴租船费用150×2＋90＝390元，
当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，100＋130＋150＝380元，
∴租船费用为150×2＋90＝390元，而810＞490＞390＞380，
∴当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，
故答案为：380．
【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．20．38
【解析】
【分析】
由题可知，孩子出生的天数的五进制数为123，化为十进制数即可．
【详解】
解：根据题意得：
孩子出生的天数的五进制数为123，
化为十进制数为：21012315253538=⨯+⨯+⨯=（天），
∴孩子已经出生的天数是38天．
故答案为：38．
【点拨】本题以数学文化为载体，主要考查了进位制等基础知识和运算能力．解题的关键是会将五进制转化成十进制．
21．6
-
【分析】
根据题意即可得到()()43=3423-*⨯-+⨯，由此求解即可．
【详解】
解：∵a *b =3a +2b ，
∴()()43=3423=126=6-*⨯-+⨯-+-，
故答案为：6-．
【点拨】本题主要考查了有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键．22．1
【解析】
【分析】
由m >n 选择正确的运算程序，把m =2，n =1代入代数式，求值，即可求解．
【详解】
解：∵m =2，n =1，
∴m >n
∴y =2×1-1=1，
故答案是：1．
【点拨】此题考查了代数式的求值与有理数的混合运算，解题的关键是正确判断，并选择合适的运算程序．
23．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据有理数在数轴上对应的点解决此题．
（2）根据正数整数、负数的定义解决此题．
(1)
()4=4-+-，3=3
-∴()4-+，3-，0，213
-，1.5在数轴上表示为：
(2)
如图所示：
【点拨】本题主要考查负数、整数和正数的意义，熟练掌握负数、整数、正数的意义是解决本题的关键．
24．(1)1
(2)1 12
【解析】
【分析】
对于（1），将两个正数，两个负数分别结合，再计算；对于（2），先通分，再结合计算即可．
(1)
原式=(4.7+5.3)+(-0.8-8.2)
=10-9
=1；
(2)
原式=
214
-+ 121212
（）=34
-+
1212
=1 12．
【点拨】本题主要考查了有理数的加法运算，灵活应用有理数的运算律是解题的关键．
25．（1）21；（2）5；（3）－36
25；（4）－71
【解析】
【分析】
（1）根据有理数乘方、乘除法，减法运算法则计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则计算即可；
（3）根据有理数乘方以及乘除法运算法则计算即可；
（4）将括号里化解为假分数，然后运用乘法分配律进行计算即可．
【详解】
解：（1）解：22(3)6(2)
⨯--÷-=2962
⨯+÷=183
+=21；
（2）解：2020131()(0.25)2428
-÷---⨯=131(2)(2448
-⨯---⨯=11(2)248
-⨯-+⨯=23
+=5；
（3）原式=4451636()5162525
-⨯⨯=-；（4）原式=1173(24)242433561871834
-⨯-⨯+⨯=--+=-．【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则以及运算顺序是解本题的关键．
26．(1)23
(2)该品牌羽绒服这一周的销售总量是714件，总利润为92820元
【解析】
【分析】
（1）直接利用有理数的减法法则，用最大的数减去最小的数即可；
（2）可以先求出7天的标准件数，再加上比标准多或少件数即可，利用这周销售羽绒服的总件数×130即可．
(1)
12(11)23--=（件）
故答案为：23；
(2)
7×100+8+12+（-9）+6+（-11）+10+（-2）=714（件）
所以该品牌羽绒服这一周的销售总量是714件．
714×130=92820（元）
所以这一周销售该品牌羽绒服的总利润为92820元．
【点拨】本题主要考查正数和负数，正确利用有理数的运算法则是解题的关键．
27．（1）()13--；4；（2）()3x --；5-或-1；（3）数轴上表示数x 的点到1和2-两点的距离的和；3
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离表示即可得到结构；
（2）根据x y -的几何意义就是：数轴上数,x y 对应点之间的距离判断即可；
（3）根据两点间的距离表示几何意义即可，然后根据1x >，21x -≤≤，2x <-计算最小值即可；
【详解】
（1）数轴上1和3-两点之间的距离可以用()13--表示，通过计算可以得到他们的距离是4；
故答案是：()13--；4；
（2）数轴上表示x 和3-的两点A 、B 之间的距离可以表示为()3AB x =--，
由AB =2，得()32x --=，
∴32x +=或32x +=-，
∴1x =-或5x =-；
故答案是：()3x --；5-或-1；
（3）由题意可知：代数式12x x -++表示的几何意义是数轴上表示数x 的点到1和2-两点的距离的和；
当1x >时，原式12213x x x =-++=+>；
当21x -≤≤时，原式123x x =-++=；
当2x <-时，原式12213x x x =---=-->；∴最小值是3．
故答案是：数轴上表示数x 的点到1和2-两点的距离的和；3．
【点拨】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，准确分析计算是解题的关键．。