分数应用题之工程问题

第五讲 分数应用题之工程问题

1． 回顾工程问题的基本数量关系与一般解法；

2． 精讲工程问题的常见解题方法：

一、解题关键是把“一项工程”看成一个单位，抓住数量关系：工作效率×工作时间=工作总量，来解答。

二、要善于利用常见的数学思想方法，如假设法、转化法、代换法等。工作的先后顺序可以改变（假设）；要善于抓住工作效率之间的关系，并适当将它转化为工作时间和工作量之间的关系，这样的转化和代换，往往能化难为易。

三、一些稍复杂的分数应用题、流水行程问题，其实质也是工程问题，要善于抓住问题的本质特征，把它看作工程问题来解决。

【例1】 ★★（小学数学冬令营竞赛试题）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。乙请假多少天?

【例2】 ★★★搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A 和B ，甲在A 仓库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【例3】★★★（北京市第六届“迎春杯”决赛试题）一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？

一、代换法

关键是将单干与合作的实际情况，根据需要等量代换成新的条件。

【例4】★★★一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时。乙单独开几小时可以灌满？

【例5】【铺垫】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？

【例6】★★★一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半。已

知甲、乙工效的比是2：3。如果这项工程由乙单独做需要多少天才能完成？

二、比例法

通过比例关系，得到相关条件，是工程问题的一种常见方法。

【例7】★★★（奥数研究中心）

打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。

如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两合做需几天完成？

【例8】★★（第15届“迎春杯”小学数学竞赛初赛）

甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？

三、方程法

抓住等量关系解题。

【例9】★★★（小学数学奥林匹克决赛第9题）

甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？

四、列表法

数据很多，可列表整理。

【例10】★★★（奥数研究中心）

放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；

如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分可以完成？

【例11】★★★（小学数学奥林匹克竞赛）

一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元，现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？

五、工程法

对于行程或者其它一些题，可以用工程习惯来解题。

【例12】小王和小李同时从两地相向而行，小王走完全程要60分钟，小李走完全程要40分钟。出发后5分，小李因忘带东西而返回出发点，因取东西耽误了5分钟，小李再出发后多长时间两人相遇？

1、（06年西城八中选拔考试真题）

一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完。现在甲先抄2小时，剩下的甲乙合作，还需要几小时才能完成？

2、（04年人大附考试真题）

我们规定两人轮流做一个工程是指，第一个人先做一个小时，第二个人再做一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？

3、抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相

当甲、乙每天工作效率和的1

5

。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多

少天都能完成？

4、有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成

甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

5、（小学数学奥林匹克）

一件工程,甲队独做12天可以完成,甲队做3天后乙队做2天恰可完成一半,现在甲乙两队合做若干天后,由乙队单独完成,做完后发现两段所用时间相等,则共用多少天?

法国数学家彭加勒，童年时由于患过运动神经系统的毛病，视力和书写能力都受到很大的影响，但非凡的记忆力和高度集中的注意力却弥补了他这方面的缺陷。

彭加勒具有过目不忘的“照相机式”的记忆力，他对事物的记忆迅速、持久而准确。由于视力不好，上课时看不清黑板上的字，记笔记对于他来说是一件很不容易的事。彭加勒索性就不记笔记，上课时集中注意力全神贯注地听讲、记忆和思考。由于长期采取这种方式学习，彭加勒养成了在脑子中完成复杂计算的能力，他的许多论文就是采用这种方式构思的。以这种独特的方式，彭加勒闯进了数学大世界。

19岁那年，彭加勒的数学才能已经远近闻名。这一年，彭加勒报名参加了巴黎综合工科学校的入学考试。为了试探这位数学奇才的能力，主考官精心设计了两道难题。谁知道彭加勒竟然不费吹灰之力，轻而易举地解答了出来，主考官们吃惊不已。可是，他的画图能力太差，在几何画图的考试中他落下马来。

按学校的规定，彭加勒已与这所著名的高等学府无缘，但主考官认为他是一个难得的数学奇才。因此，在主考官的竭力推荐下，彭加勒被破格录取了。

在巴黎综合工科学校学习两年后，彭加勒又升入了高一级的矿业学院，准备毕业后当一名工程师。但是，数学深深吸引着彭加勒，他仍花许多时间和精力来研究各种各样的数学问题。1878年，他向法兰西科学院提交了一篇关于微分方程的论文，这篇论文被科学院的专家评定为优秀论文。第二年，法兰西科学院授予彭加勒数学博士学位。这一年，彭加勒25岁，33岁时他又当选为法兰西科学院院士。

彭加勒一生共发表过500多篇学术论文和30多卷著作，其内容涉及数学、物理学、天文学和哲学等众多学科。

有趣的是，这样一位数学天才的智商，却不像他所取得的成就那样光彩夺目。在彭加勒成名后，德国心理学家比内测定了他的智商，结论是彭加勒是个“笨人”。

也许，有的同学会为自己的高智商而沾沾自喜，有的同学则会为自己的低智商而垂头丧气。从彭加勒的故事中，你至少应该明白这样一个道理：智商不能反映一个人能力的高低；

对一个人的成才来说，勤奋比智慧更重要。