解析几何—直线过定点问题

解析几何之图像过定点问题是我们高考20题常考类型之一。

主要方向是弄懂：如何确定直线所过的定点；同时掌握几种常考类型。

此类题目题干中定有条件需要转化，结合联立利用韦达定理，得到关于所设直线中涉及的斜率（k ）、截距（b/m ）的式子。

然后可用含k 的式子表示b （m ），只需留有一个变量即可。

以下是常见情况：
例题精析①
例1（2017·全国高考真题（理））已知椭圆C ：（a>b>0），
四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直
2222=1x y a b
323
2
线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
【答案】(1) .(2)证明见解析.
【解析】
（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.
又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此，解得. 故C 的方程为.
（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，
如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知，且，可得A ，B
的坐标分别为（t ，），（t ，）.
则，得，不符合题设. 从而可设l ：（）.将代入得
由题设可知.
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=.
而
2
214
x y +=3P 4P 3P 4P 2222
11134a b a b +>+2
22
11131
4b a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩2
214
x y +=0t ≠2t
<2
2
-1222122k k t t
+=
-=-2t =y kx m =+1m ≠y kx m =+2
214
x
y +=()
2
22418440k
x kmx m +++-=()22
=16410k m ∆-+>2841km k -+2244
41
m k -+12121211
y y k k x x --+=
+1212
11kx m kx m x x +-+-=
+
.
由题设，故.
即.
解得. 当且仅当时，，欲使l ：
，即， 所以l 过定点（2，）
例题精析②
例2. 已知抛物线2:4C y x =，点M (m , 0)在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线 C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.
(1) 若m =1，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，
2
2
1
1AM
BM
+
恒为定值？
()()
121212
21kx x m x x x x +-+=
121k k +=-()()()12122110k x x m x x ++-+=()()22244821104141
m km
k m k k --+⋅+-⋅=++1
2
m k +=-
1m >-0∆>12m y x m +=-+()1
122
m y x ++=--1
-
【解析】：（I ）由题意得M （1，0），直线l 的方程为y =x ﹣1与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标与圆的半径，从而可得圆的方程；
（II ）若存在这样的点M ，使得
2
2
1
1AM
BM
+
为定值，直线l ：x =ky +m
与抛物线方程联立，计算|AM |，|BM |，利用22
11AM
BM
+恒为定值，
可求点M 的坐标．
答案:（1）()()22
3216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0).
解析：（1）当m =1时，M (1，0)，此时，点M 为抛物线C 的焦点，
直线l 的方程为y =x -1，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1
y x y x ==-，
消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).
又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为
()()
22
3216x y -+-=.
(2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线
2:4C y x =联立，
消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，
()()2
2
2222
11221111
AM
BM
x m y x m y +
=
+-+-+
()()()
22122222222
1212
11
111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()
()()
2
2212
12
2
22
2222
1221682111621
y y y y k m k m
k
y y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值，
于是m =2，此时2
2
111
4
AM
BM
+
=
. ∴存在定点M (2, 0)，满足题意.
例题精析③
例3. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， B
为椭圆的上顶点， 12BF F ∆
， A 为椭圆的右顶点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.
【解析】：
（Ⅰ）由已知(
)122
{
{
1
2c 4
BF F b b c S ∆==⇒==
= ∴2
2
2
4a b c =+=．∴椭圆的标准方程为22
143
x y +=．
（Ⅱ）设()11M x y ，， ()22N x y ，，
联立22
{ 1.43
y kx m x y =++=，
得()()222348430k x mkx m +++-=，
()()
22222264163430340m k k m k m ∆=-+->+->，即
()
122
2122
834{ 43·.34mk
x x k
m x x k +=-
+-=+，
又()()()(
)22
22121212122
3434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，
因为椭圆的右顶点为()20A ，， ∴1MA NA k k =-，即1212·122
y y
x x =---，∴()121212240y y x x x x +-++=， ∴
(
)()22
2
2
2
2
3443
1640343434m k m
mk
k k k --+++=+++，∴2271640m mk k ++=．
解得： 12m k =-， 227
k m =-，且均满足22340k m +->，
当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，
与已知矛盾； 当227
k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，直线过定点207⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207
⎛⎫ ⎪⎝⎭，。