2012年数学一轮复习试题 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(优秀经典专题及答案详解)
专题7 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学习目标1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识点一二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分知识点二点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.知识点三简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【典例1】（山东烟台二中2019届模拟）(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞【答案】(1)B (2)D【解析】(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝⎛⎭⎫23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)． 若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.【方法技巧】1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高．若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可．2．平面区域的形状问题两种题型及解法(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．【变式1】（河南开封高级中学2019届模拟）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0所表示的平面区域被直线l ：mx －y ＋m ＋1＝0分为面积相等的两部分，则m ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2【答案】A【解析】由题意可画出可行域为△ABC 及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A (－1,1)，B ⎝⎛⎭⎫23，－23，C (4,6)．因为直线l ：y ＝m (x ＋1)＋1过定点A (－1,1)，直线l 将△ABC 分为面积相等的两部分，所以直线l 过边BC 的中点D ，易得D ⎝⎛⎭⎫73，83，代入mx －y ＋m ＋1＝0，得m ＝12，故选A.考点二 求线性目标函数的最值【典例2】【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-，当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时，z 取最大值5，故选C ．【方法技巧】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。
高考数学一轮复习学案 第32讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（解析版）
第32讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(解析版）考点内容解读要求常考题型二元一次不等式（组）表示平面区域掌握确定平面区域的方法(线定界．点定域) Ⅰ选择题简单的线性规划问题理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合Ⅱ选择题．填空题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0．所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C 的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义目标函数欲求最大值或最小值的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域例1：直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 【解析】由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)， 且斜率k ＝－2＜k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．【答案】 B 类题通法不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．变式训练1．已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )． A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．0【解析】 其中平面区域kx －y ＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx －y ＋2＝0又过定点(0，2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A (2,4)，代入直线方程，得k ＝1． 【答案】A考点2 求线性目标函数的最值例2：已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤ 2，y ≤2，x ≤ 2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)则z ＝OM →·O A →的最大值为( )． A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2【解析】画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·O A →＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4． 【答案】B 类题通法求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．变式训练1．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( )． A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B ．⎝⎛⎭⎫－12，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】画出x ．y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a ＜－12，∴a ＞12．【答案】D考点3 求非线性目标函数的最值例3：变量x ．y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． 【答案】（1）∵z ＝y x ＝y －0x －0．∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25．(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．∴2≤z ≤29． 类题通法求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值． 变式训练1． 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )．A ．32B ．45－1 C ．22－1 D ．2－1【解析】如图，当P 取点⎝⎛⎭⎫0，12，Q 取点(0，－1)时，|PQ |有最小值为32． 【答案】 A考点4 线性规划的实际应用例5 某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力．煤和电耗如下表：产品品种 劳动力(个)煤(吨) 电(千瓦)A 产品 3 9 4B 产品1045已知生产每吨该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【解析】 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝7x ＋12y ． 作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20,24)时z 取最大值． ∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润． 类题通解线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题． 变式训练1．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )． A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元【解析】设派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，获得的利润为z 元，z ＝450x ＋350y ，由题意，x ．y 满足关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，作出相应的平面区域，z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，在由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19确定的交点(7，5)处取得最大值4 900元．【答案】C1．如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为 ( )． A ．2x －y －3＜0 B ．2x －y －3＞0 C ．2x －y －3≤0 D ．2x －y －3≥0【解析】将原点(0,0)代入2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0． 【答案】 B2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的点是( )．A ．(0，0)B ．(－1，1)C ．(－1，3)D ．(2，－3) 【解析】 逐一代入得点(－1,3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内． 【答案】 C3．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 【解析】：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24． 【答案】B4．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0 【解析】 两条直线方程为：x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0． 将原点(0，0)代入x ＋y －1得－1＜0，代入x －2y ＋2得2＞0， 即点(0，0)在x －2y ＋2≥0的内部，在x ＋y －1≤0的外部，故所求二元一次不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0.【答案】 A5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是________．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x ∈N ＋y ∈N ＋6．设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )． A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2D ．2，－1【解析】 特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，排除D ，故选B ． 【答案】 B7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43【解析】：先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为⎝⎛⎭⎫23，23，故当x＋y ＝a 过点B 时a ＝43，所以a ≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰为A 点时，a ＝1＋0＝1，故当0<a ≤1时可行域也为三角形．故0<a ≤1或a ≥43．【答案】D8．已知实数x ．y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值( )A ．18B ．19C ．20D ．21 【解析】z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|12＋22，可以看做是⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，对应的平面区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍，结合图形可知|x ＋2y －4|的最大值是z ＝5·|7＋2×9－4|5＝21，故选D ．【答案】D9．给出平面区域(包括边界)如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A ．14B ．35C ． 4D ．53【解析】由题意分析知，目标函数z ＝ax ＋y (a >0)所在直线与直线AC 重合时，满足题意，则由－a ＝k AC ＝225－21－5，得a ＝35．故选B ．【答案】B10．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0，x ≥1目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( ) A ．2B ．－2C ．15D ．不存在【解析】如图为⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得点A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1,1)，C (5,2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k <－35，即k >35．将k ＝2代入，过点B 的截距z ＝2×1＋1＝3．过点C 的截距z ＝2×5＋2＝12．符合题意．故k ＝2．故应选A ．【答案】A11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a的最大值是( )A ．23B ．25C ．16D ．14【解析】目标函数z ＝x ＋ay 可化为y ＝－1a x ＋1az ，由题意a <0且当直线y ＝－1a x ＋1a z 与l AC 重合时符合题意．此时k AC ＝1＝－1a，∴a ＝－1．y x －a 的几何意义是区域内动点与(－1,0)点连线的斜率．显然y x －a ＝24－(－1)＝25最大．故选B ． 【答案】B12．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，x －y ≥1，则(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是________．【解析】可行域如图：(x －1)2＋(y －1)2表示点(1,1)到可行域内点的距离的平方，根据图象可得(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2．【答案】⎣⎡⎦⎤12，213．设m 为实数，若⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，mx ＋y ≥0，⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，则m 的取值范围是________．【解析】由题意知，可行域应在圆内，如图．如果－m >0，则可行域取到－∞，不能在圆内；故－m ≤0，即m ≥0．当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置．此时－m ＝－43，∴m ＝43．∴0≤m ≤43．【答案】0≤m ≤4314．某实验室需购某处化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格是120元．在满足需要的条件下，最少需花费________．【解析】设需要35千克的x 袋，24千克的y 袋，则总的花费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 35x ＋24y ≥106，x >0时，且x ∈Z ，y >0时，且y ∈Z .求z ＝140x ＋120y 的最小值．由图解法求出z min ＝500，此时x ＝1，y ＝3．另外，本题也可以列举出z 的所有可能取值，再求其中的最小值．由于x ＝0,1,2,3,4时相应的y 值和花费如下：当x ＝0，y ＝5时，z ＝600；当x ＝1，y ＝3时，z ＝500；当x ＝2，y ＝2时，z ＝520；当x ＝3，y ＝1时，z ＝540；当x ＝4，y ＝0时，z ＝560．易见最少花费是500元．【答案】500元15．当不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，kx －y ＋2－k ≥0(k <0)所表示的平面区域的面积最小时，实数k 的值等于________．【解析】不等式组所表示的区域由三条直线围成，其中有一条直线kx －y ＋2－k ＝0(k <0)是不确定的，但这条直线可化为y －2＝k (x －1)，所以它经过一个定点(1,2)，因此问题转化为求经过定点(1,2)的直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积的最小值问题．如图所示，设围成区域的面积为S ，则S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|2－k |·⎪⎪⎪⎪1－2k ，因为k <0，所以－k >0，有S ＝12⎝⎛⎭⎫4－k －4k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋(－k )＋⎝⎛⎭⎫－4k ≥12(4＋24)＝4，当且仅当－k ＝－4k，即k ＝－2时，平面区域最小．故填－2．【答案】－216．某人有楼房一幢，室内面积共计180 m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益？【解析】设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，且z ＝200x ＋150y .x ≥0，y ≥0，y ∈Z .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，交点为B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B ⎝⎛⎭⎫207，607． 由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B ⎝⎛⎭⎫207，607不是最优解，通过检验，要求经过可行域内的整点，且使z ＝200x ＋150y 取得最大值，经过的整点是(0,12)和(3,8)．此时z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大收益．17．设实数x ．y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥|2x －3|. (1)求作点(x ，y )所在的平面区域；(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数f (x ，y )＝y －ax 的最大值和最小值．【解析】(1)已知的不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥－(2x －3)，2x －3＜0.解得点(x ，y )所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1．(2)f (x ，y )表示直线l ：y －ax ＝b 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点． ∵a >－1，∴当直线l 过顶点C 时，f (x ，y )最大．∵C 点的坐标为(－3,7)，∴f (x ，y )的最大值为7＋3a ．如果－1<a ≤2，那么直线l 过顶点A (2，－1)时，f (x ，y )最小，最小值为－1－2a ． 如果a >2，那么直线l 过顶点B (3,1)时，f (x ，y )最小，最小值为1－3a ．18．已知x ，y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.M (2,1)，P (x ，y )．求：(1)y ＋7x ＋4的取值范围； (2)OM OP 的最大值；(3)|OP |cos ∠MOP 的最小值． 【解析】如图所示，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0所表示的平面区域：其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)． (1)y ＋7x ＋4可以理解为区域内的点与点D (－4，－7)连线的斜率．由图可知，连线与直线BD 重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD 重合时，倾斜角最大且为锐角．k DB ＝13，k CD ＝9，所以y ＋7x ＋4的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，9． (2)由于OM OP ＝(2,1)·(x ，y )＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由可行域可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过A 点时，z 取到最大值，这时z 的最大值为z max ＝2×4＋1＝9． (3)OP cos ∠MOP ＝cos OM OP MOP OM ∠5OM OP ＝2x ＋y 5， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由(3)可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过B 点时，z 取到最小值，这时z 的最小值为z max ＝2×(－1)－6＝－8，所以OP cos ∠MOP 的最小值等于－85＝－855．。
(全国通用)高考数学大一轮复习 第六篇 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题选题明细表知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,4,9含参数的线性规划3,5,6,7,10,12目标函数的最值2,8,13,14,15线性规划的实际应用11基础对点练(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域是( D )解析:画出直线x=2,在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身);再画出直线x-y=0,取直线的右侧部分(包含直线本身),两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2016·某某卷)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( C )(A)4 (B)9(C)10 (D)12解析: 作出不等式组表示的可行域如图所示,由x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点的距离平方可知,点A(3,-1)满足条件,即x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.3.(2016·某某模拟)已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象经过区域则a的取值X 围是( C )(A)(1,] (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)(2,+∞)解析: 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.联系函数f(x)=log a x(a>1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点A(3,3)时,a可以取到最小值,而显然只要a大于,函数f(x)=log a x(a>1)的图象必然经过区域内的点.则a的取值X围是[,+∞).故选C.4.(2015·某某校级三模)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( D )(A)9(B)3(C)(D)解析: 如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积S=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=.5.(2014·某某卷)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )(A)或-1 (B)2或(C)2或1 (D)2或-1解析:线性约束条件对应的可行域如图所示:目标函数z=y-ax化为y=ax+z,当a>0时,要使其取得最大值的最优解不唯一,需动直线y=ax+z与2x-y+2=0平行或重合,此时a=2;同理当a<0时,需动直线y=ax+z与x+y-2=0平行或重合,此时a=-1,故选D.6.(2016·某某章丘期末)若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m等于( C )(A)-2 (B)-1(C)1 (D)2解析: x-my+1=0恒过点(-1,0),旋转直线x-my+1=0可知可行域只可能是△ABC,且x+y的最大值只在点C处取得,联立方程组得C(,)(若m=,则与2x-y-3=0平行,不可能),(x+y)max=+=9,解得m=1.故选C.7.(2016·某某某某名校联考)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( A )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 根据约束条件画出可行域,如图,由图可知当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由解得所以z min=2×1-2a=1,解得a=.故选A.8.导学号 18702285已知x,y满足则的取值X围是( C )(A)[0,] (B)[2,] (C)[1,] (D)[0,]解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为==1+,表示区域内的点与(4,2)连线的斜率.斜率最小值为0,点(-3,-4)与M(4,2)连线斜率最大为=.所以的取值X围为[1,].故选C.9.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=.解析:由题意可得解得m=-3.答案:-310.(2016·某某模拟)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的取值X围是.解析: 由题意,由可求得交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则点(1,2)在可行域内,如图所示,可得m≤1.答案:(-∞,1]11.导学号 18702284某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:产品限额资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t) 9 4 360电(kW·h) 4 5 200劳力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z=6x+12y.如图,作出可行域,作直线l:6x+12y=0,把直线l向右上方平移至l1位置,直线经过可行域上的点M时z=6x+12y取最大值.解方程组得M(20,24).所以生产甲种产品20 t,乙种产品24 t,才能使此工厂获得最大利润.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·某某八校联考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值X围是( C )(A)(-6,-2) (B)(-3,2)(C)(-,-2)(D)(-,-3)解析: 作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,所以a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.导学号 18702286如果实数a,b满足条件:则的最大值是.解析: 根据约束条件画出可行域,如图,表示可行域内的点与原点(0,0)连线的斜率,设z的几何意义表示可行域内点P与原点O(0,0)连线的斜率,易知当直线OP过点B(,)时,取最大值,最大值为3,直线OP过点A(1,1)时,取最小值,最小值为1,所以∈[1,3].所以===2-因为∈[1,3].所以的最大值为.答案:14.(2014·某某卷)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X 围是.解析:可行域如图所示,则A(1,0),B(2,1),C(1,),设z=ax+y,即得1≤a≤.答案:[1,]15.导学号 18702287变量x,y满足(1)假设z1=4x-3y,求z1的最大值;(2)设z2=,求z2的最小值;(3)设z3=x2+y2,求z3的取值X围.解: 作出可行域如图中阴影部分,联立易得A(1,),B(1,1),C(5,2).(1)z1=4x-3y⇔y=x-,易知平移y=x至过点C时,z1最大,且最大值为4×5-3×2=14.(2)z2=表示可行域内的点与原点连线的斜率大小,显然直线OC斜率最小.故z2的最小值为.(3)z3=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=OB2<OA2<OC2=29.故z3∈[2,29].好题天天练1.(2015·某某卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( A )(A)(B)(C)12 (D)16解题关键:判断xy取得最大值的点,并分类讨论确定最大值.解析: 先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.①当M(x0,y0)在线段AD上时,x0∈[-2,0],此时S=xy≤0;②当M(x0,y0)在线段AB上时,x0∈[0,2],S=xy=x·=x(7-)=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,wordS max=-(2-7)2+=-+=12;③当M(x0,y 0)在线段BC上时,x 0∈[2,4],S=xy=x·(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,S max =.综上所述,xy的最大值为.2.导学号 18702288设实数x,y满足则z=-的取值X围是.解析: 由于表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)的连线的斜率,如图,求出可行域的顶点坐标A(3,1),B(1,2),C(4,2),则k OA=,k OB=2,k OC=,可见∈[,2],令=t,则z=t-在[,2]上单调递增,所以z∈[-,].答案:[-,]11 / 11。
高考专题练习： 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)不会用代点法判断平面区域； (2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．若点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________． 解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋1≥0.则z ＝x ＋y 的最大值与最小值的比值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过A 点时，z 最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，2x －y ＋1＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故A (2，5)，此时z ＝7；当直线y ＝－x ＋z 经过B 点时，z 最小，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，2x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－2，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，此时z ＝－72，故最大值与最小值的比值为－2.答案：－23．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：34．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取得最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(多维探究) 角度一 平面区域的面积不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于()A ．32B ．23C ．43D ．34【解析】 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C ．【答案】 C角度二 平面区域的形状若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．(2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．1．已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A ．作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k ＞0，则必有BC ⊥AB ，因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，满足题意，故选A ．2．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M内的点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[2，5]D ．(－∞，2]∪[5，＋∞)解析：选C ．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1，3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2，2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2，5]．求目标函数的最值(多维探究) 角度一 求线性目标函数的最值(2021·郑州第一次质量预测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则y －2x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－6 C ．－10D ．－15【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z ＝y －2x ，作出直线y ＝2x ，并平移，当直线z ＝y －2x 过点B (2，－2)时，z 的值最小，最小值为－6，故选B ．【答案】 B(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb (b ≠0)． ①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；②若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大．(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． 角度二 求非线性目标函数的最值(范围)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，则z 的取值范围为________；(2)若z ＝x 2＋y 2，则z 的最大值为________，最小值为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)， 所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2， 所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)， 所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5.【答案】 (1)[2，＋∞) (2)5 1【迁移探究1】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．【迁移探究2】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．角度三 求参数值或取值范围(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2≥y ，x ≤2，y －1≥0，若z＝x ＋ay (a >0)的最大值为10，则a ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2，4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以C (－1，1)．若(2，4)是最优解，则2＋4a ＝10，a ＝2，经检验符合题意；若(2，1)是最优解，则2＋a ＝10，a ＝8，经检验不符合题意；若(－1，1)是最优解，则－1＋a ＝10，a ＝11，经检验不符合题意．综上所述，a ＝2，故选B ．【答案】 B求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，解得a ＝1.答案：12．(2021·开封市第一次模拟考试)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．解析：依题意，画出不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，结合图形可知，|P A |的最小值等于点A (0，2)到直线x －y ＝0的距离，即|0－2|2＝ 2.答案： 23．(2021·湖北八校第一次联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋3≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝|x－y |的取值范围为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，z ＝|x －y |＝|x －y |2·2表示可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的2倍．作出直线x －y ＝0，由图可得可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的最小值为0，最大值为直线2x －y ＋3＝0与2x ＋y －5＝0的交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4到直线x －y ＝0的距离，即724，所以z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72线性规划的实际应用(师生共研)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元 C ．18万元D ．19万元【解析】 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．【答案】 C利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：36 800[A 级 基础练]1．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≤0，x －y ＋2>0表示的平面区域是( )解析：选C ．用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C ． 2．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A解析：选D ．若(2，1)∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32，所以当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A ，故选D ．3．(2020·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B ．画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选B ．4．若M 为不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2 连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域的面积为( )A ．1B ．32C ．34D ．74解析：选D ．在平面直角坐标系中作出区域M 如图中阴影部分所示，当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域为图中的四边形AODE ，所以其面积S ＝S △AOC －S △DEC ＝12×2×2－12×1×12＝74，故选D ．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ．作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)， 由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2. 故选A ．6．(2021·广州市阶段训练)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ≤3，0≤x ＋y ≤2，则z ＝x －2y的最小值为________．解析：依题意，在平面直角坐标系内作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －2y ＝0，并平移，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在x 轴上的截距最小，此时z ＝x －2y 取得最小值，最小值为－1.答案：－17．(2021·合肥第一次教学检测)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0，则z ＝2x＋y 取得最大值时的最优解为________．解析：方法一：作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，根据z 的几何意义，很容易看出当直线平移到点B 处时z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，得B (4，2)．方法二：易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在交点处取得，只需求出两两相交的三个交点的坐标，代入z ＝2x ＋y ，即可求得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0为原点，代入可得z ＝0；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，将(3，3)代入可得z ＝9；联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，将(4，2)代入可得z ＝10.通过比较可知，z 的最大值为10，故最优解为(4，2)．答案：(4，2)8．(2021·四省八校第二次质量检测)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋1≥0，若－x ＋y ≥－m 2＋4m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 解析：设z ＝－x ＋y ，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线－x ＋y ＝0，并平移可知当直线过点B (2，－3)时z 取得最小值，所以z min ＝－5，所以－m 2＋4m ≤－5，m 2－4m －5≥0⇒m ≤－1或m ≥5，所以m 的取值范围为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)9.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)．10．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ＞0，x ＋y ＋1＜0，3x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．解：平面区域如图所示(阴影部分)，易得A ，B ，C 三点坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)，C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点M (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4； 当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝x ＋3（－5）＋3，即x －y ＋4＝0.[B 级 综合练]11．已知点(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围为( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析：选B ．作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝ax ＋y 可得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a ， 因为k AC ＝2，k AB ＝－1，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点A (1，0)处取得最小值，则有k AB <k <k AC ， 即－1<－a <2，所以－2<a <1，即实数a 的取值范围是(－2，1)．故选B ．12．若点M (x ，y )满足⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，1≤x ≤2，0≤y ≤2，则x ＋y 的取值集合是( )A ．[1，2＋2]B ．[1，3]C ．[2＋2，4]D ．[1，4]解析：选A ．x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到|2－z |2＝1⇒z ＝2±2，易知2－2不符合题意，故z ＝2＋2，所以x ＋y 的取值范围为[1，2＋2]．故选A ．13．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA→，则z 的最大值是________． 解析：方法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4.方法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z ＝2x ＋y ，对应z 的值为0，4，－6，故z 的最大值是4.答案：414．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料 肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)． 所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[C 级 提升练]15．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)．由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值，z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3，故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]． 答案：[－2，ln 6]16．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎨⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆的直径为20，则n ＝________．解析：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点． 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－ 3. 又直线l 过点A (53，5)， 所以53＝－3×5＋n ， 解得n ＝10 3.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)． 综上，n ＝10 3. 答案：10 3。
二元一次不等式(组)与简单线性规划问题练习题含答案
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习题
1、画出下列二元不等式所表示的平面区域：21
03
x y x y +-≤-+
2、已知二次函数()f x 的图象过原点，且1(1)2(1)4f f -≤-≤≤≤，求(2)f -的取值范围。
3、求函数23z x y =+的最大值，式中的,x y 满足约束条件23240700
x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
4、某公司的A ，B 两仓库至多可以分别调运出某型号的机器14台，8台。
甲地需要10台，乙地需要8台。
已知从A 仓库将1台机器运到甲地的运费为400元，运到乙地的运费为800元；B 仓库将1台机器运到甲地的运费为300元，运到乙地的运费为500元．问怎样安排调运方案，可使运输费用最少?
5、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种机床上加工，A ，B 两种机床上每加工一件甲种产品所需时间分别为1小时、2小时；每加工一件乙种产品所需时间分别为2小时、1小时．如果A ，B 两种机床每月有效使用时数分别为400小时、500小时。
如何安排生产，才能使销售总收入最大?
6、要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格的小钢板，每张钢板可截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
如果至少需要A ，B ，C 三种规格的小钢板各15块，18块，27块，问分别截这两种钢板各多少张可以满足需要，且使所用两种钢板的张数最少？
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习题 答案
1、 2、 3、24 4、 5、 6、
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习题 答案
1、
2、 3、24 4、 5、 6、。
2012年高考试题分类考点28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考点28 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.（2012·安徽高考文科·Ｔ8）若x ，y 满足约束条件则yx z -=的最小值是（ ）（A ）-3 （B ）0 （C ）32 （D ）3【解题指南】先作出可行域，根据x y -的几何 意义求出最小值.【解析】选A .约束条件对应ABC ∆及其内部区域（含边界），其中3(0,3),(0,),(1,1)2A B C ，则 z[3,0]t x y =-∈-，其中(0,3)A 为最小值点. 2.（2012·广东高考文科·Ｔ5）已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为（ ）（A ）3 （B ）1 （C ）-5 （D ）-6 【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域，按照“直线定界，特殊点定域”的原则进行，在找最优解时，要判断准z 的值与直线z=x+2y 在y 轴的截距是正相关，还是负相关.本题是正相关.【解析】选C. 作出如图所示的可行域,当直线z=x+2y 经过点B(-1,-2)时,z 取得最小值,最小值为-5.3.（2012·广东高考理科·Ｔ5）已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y的最大值为（ ）（A ）12 （B ）11 （C ）3 （D ）1-【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域，按照“直线定界，特殊点定域”的原则进行，在找最优解时，要判断准z 的值与直线z=3x+y 在y 轴的截距是正相关，还是负相关.【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y 经过点B （3，2）时，z 取得最大值，最大值为11.4.（2012·福建高考文科·Ｔ10）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ）(A)1- (B)1(C)32(D)2【解题指南】本题考查线性规划问题，检验学生的数形结合能力和转化能力. 【解析】选B. 如图，当2y x =经过且只经过30x y +-=和x m =的交点时，m 取到最大值，此时，即(,2)m m 在直线30x y +-=上，则1m =．5.（2012·辽宁高考文科·Ｔ9）与（2012·辽宁高考理科·Ｔ8）相同设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…剟剟则2x+3y 的最大值为（ ）(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【解题指南】作出线性约束条件表示的可行域，找到最优解.【解析】选D. 如图，线性约束条件表示的可行域（图中阴影部分），最优解为点（5,15），则max 2531555z =⨯+⨯=.6.（2012·福建高考理科·Ｔ9）若函数2xy =图象上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ）(A)12(B)1(C)32(D)2【解题指南】结合不等式先画可行域，描出动直线x m =，其他直线和函数都是确定的，当x=m 向右移动到y=2x 的最终可接触点时，即为所求. 【解析】选B ．如图，当2xy =经过且只经过30x y +-=和x m =的交点时，即三条线有唯一公共点， m 取到最大值，此时，即(,2)mm 在直线30x y +-=上，由选项知，1m =是解． 7. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（ ） （A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 【解题指南】先求得点C 的坐标，然后画出可行域，通过平移目标函数，求得z 的取值范围.【解析】选A.由顶点C 在第一象限且与A ，B 构成正三角形可求得点C坐标为()12，将目标函数化为斜截式为y x z =+，结合图形可知当y x z =+过点C 时z取到最小值，此时min 1z =y x z =+过点B 时z 取到最大值，此时max 2z =，综合可知z的取值范围为()12.8.（2012·天津高考文科·Ｔ2）设变量x ，y 满足约束条件2+20,240,10,x y x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）(A)-5 (B)-4 (C)-2 (D)3【解题指南】作出可行域可知，所求目标函数的图象经过直线2+2=0x y -与直线-2+4=0x y 的交点A （0,2）时取得最小值-4.【解析】选B.作出可行域，设直线2+2=0x y -与直线-2+4=0x y 的交点为C ，解得C （0,2），故目标函数的图象经过点C 时取得最小值-4.9.（2012·山东高考文科·Ｔ6）与（2012·山东高考理科·Ｔ5）相同设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【解题指南】本题可先根据题意画出可行域，将目标函数化为斜截式，平移目标函数得取值范围.【解析】选A. 画出约束条件222441x yx yx y+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩表示的可行域如图所示,由目标函数3z x y=-得直线zxy-=3，当直线平移至点B(2,0)时, 目标函数3z x y=-取得最大值为6, 当直线平移至点)3,21(A时, 目标函数3z x y=-取得最小值为23-.所以目标函数3z x y=-的取值范围是3[,6]2-.10.（2012·江西高考理科·Ｔ8）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）(A)50，0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50【解题指南】由题意列出约束条件，写出关于总利润的目标函数，画出可行域，结合图形，将目标函数平移求得总利润最大时，黄瓜和韭菜的亩数. 【解析】选B .设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则z 关于,x y 的关系式为40.55 1.260.30.9z x x y y =⨯-+⨯-0.9x y =+，且,x y 满足约束条件为画可行域如图，设110:9l y x =-，将1l 上下平移可知，当直线0.9z x y =+过点()30,20A 时，z 取最大值，因此，当总利润z 最大时，30x =，20y =. 二、填空题11. （2012·新课标全国高考理科·T14）设x,y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z=x-2y的取值范围为 .【解题指南】由约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式后平移求得z 的取值范围.【解析】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线20x y -=，并向左上，右下平移，过点A 时，2z x y =-取得最大值，过点B 时，2z x y =-取最小值.由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,2B ，由030y x y =⎧⎨+-=⎩，得()3,0A .max 3203z ∴=-⨯=,min 1223z =-⨯=-.[]3,3z ∴∈-【答案】[]3,3-12. （2012·安徽高考理科·Ｔ11）若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围是 .【解题指南】先作出可行域，根据x y -的几何意义求出最大值和最小值即得到取值范围.【解析】约束条件对应ABC ∆边界及内部区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C 则[3,0]t x y =-∈-，其中A(0,3), C(1,1)为最值点.【答案】[3,0]-13.（2012·湖北高考文科·Ｔ14）若变量x ，y 满足约束条件则目标函数z=2x+3y 的最小值是________.【解题指南】本题考查线性规划,解答本题的关键是正确地画出可行域,找到最小值点,再代入求解即可. 【解析】先作出可行域,如图:当线性目标函数经过点A(1,0)时,目标函数z=2x+3y 有最小值2. 【答案】214.（2012·江苏高考·Ｔ14）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba 的取值范围是 . 【解题指南】考查不等式的性质、导数的应用以及转化和化归的思想.关键是对不等式的变形和构造函数()ln =-h x x x ，利用导数求最值. 【解析】534-≤≤-c abc a 变形为5341⋅-≤≤⋅-c b c a a a ，设1,()ln ()2==-≥a x h x x x x c ，利用导数可以证明()h x 在[1(,1)2上单调递减，在[(1,)+∞上单调递增，所以()(1)1≥=h x h ，故ln 1≥∴≥b b e a a ，ln 1≥∴≥b b ea a ②，由①②可得7≤≤b e a .【答案】[,7]e15.（2012·浙江高考文科·Ｔ14）设z=x+2y ，其中实数x ，y 满足则z 的取值范围是_________.【解题指南】利用线性规划的方法求出其最大值和最小值.【解析】由1020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得13(,)22.作直线:20l xy +=，平移l 至原点时取得最小值０； 平移l 至点13(,)22时取得最大值72． 【答案】70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2012·陕西高考理科·Ｔ14）设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 .【解题指南】先确定封闭区域D 的大致范围和关键点，其中求出切线方程是关键，然后确定z 的含义，最后再把点的坐标代入求最大值. 【解析】当0x >时，()ln f x x =，所以1()f x x'=，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率1k =，该曲线在点(1,0)处的切线方程是1y x =-，所以区域D 是一个三角形，当直线2x y z -=过点（0，1-）时,z 的值最大为2.【答案】2。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习题(基础、经典、好用)
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( )A ．a <5B ．a ≥8C ．5≤a <8D ．a <5或a ≥82．(2012·辽宁高考)设变量x ，y 满足则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．553．已知实数x ，y 满足则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．[－1，13]B ．[－1213]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)4．已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域上的一个动点，则OA→·OM →的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2]5．(2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元二、填空题6．已知点P (x ，y )满足定点为A (2，0)，则|OP→|sin ∠AOP (O为坐标原点)的最大值为________．7．(2012·浙江高考)设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足则z 的取值范围是________．8．已知变量x ，y 满足约束条件若目标函数z ＝ax ＋y (其中a＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围为________．三、解答题9．当x ，y 满足约束条件 (k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．10．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，求购买铁矿石的最少费用为多少百万元？11．(2012·江苏高考改编)已知正数a 、b 、c 满足约束条件其中c为参数，求ba的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】如图，的交点为(0，5)，的交点为(3，8)，∴5≤a<8.【答案】 C2．【解析】不等式组表示的区域如图所示，所以过点A(5，15)时2x＋3y的值最大，此时2x＋3y＝55.【答案】 D3．【解析】 作出可行域如右图所示，由于ω＝y －1x ＋1可理解为点P (－1，1)与点(x ，y )的斜率，而k P A ＝0－11－（－1）＝－12，另一直线斜率趋向1，因此ω的取值范围为[－12，1)．【答案】 D 4．【解析】 作出可行域，如图所示，OA→·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1，1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0，2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0，2]． 【答案】 C 5．【解析】 设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，每天利润为z 元，则且z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图阴影部分所示．作直线300x ＋400y ＝0，向右上平移，过点A 时， z ＝300x ＋400y 取最大值，∴A (4，4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800. 【答案】 C 二、填空题6．【解析】 可行域如图阴影部分所示，A (2，0)在x 正半轴上，所以|OP →|·sin ∠AOP 即为P 点纵坐标．当P 位于点B 时，其纵坐标取得最大值225.【答案】 225 7．【解析】不等式组表示的可行域为如图阴影部分，作出直线l 0：x ＋2y ＝0，当直线l 0经过点(0，0)时，z 取最小值，此时z ＝x ＋2y ＝0.当平移直线l 0经过x －y ＋1＝0与x ＋y －2＝0的交点时，z 取最大值．解不等式组此时z ＝x ＋2y ＝72.因此z 的取值范围是[0，72]． 【答案】 [0，72] 8．【解析】 由约束条件表示的可行域如图所示．作直线l ：ax ＋y ＝0，过(3，0)点作l 的平行线l ′，则直线l ′介于直线x ＋2y －3＝0与过(3，0)点与x 轴垂直的直线之间．因此，－a ＜－12，即a ＞12.【答案】 (12，＋∞) 三、解答题 9．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)． 当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．得x ＝y ＝－k3.∴点A的坐标为(－k3，－k3)．则z的最大值为－k3＋3(－k3)＝－43k，令－4k3＝12，得k＝－9.∴所求实数k的值为－9.10．【解】设购买铁矿石A为x万吨，购买铁矿石B为y万吨，总费用为z 百万元．根据题意得线性目标函数为z＝3x＋6y，画可行域如图所示：当x＝1，y＝2时，z取得最小值，∴z min＝3×1＋6×2＝15(百万元)．故购买铁矿石的最少费用为15百万元．11．【解】作不等式组表示的平面区域如图所示．又k ＝ba 表示平面区域内的动点P (a ，b )与原点O (0，0)连线的斜率．得a ＝c 2且b ＝72c ，即A (c 2，72c )，∴OA 的斜率最大，即(ba )max ＝7，设点B (x 0，c ·e x 0c )是函数b ＝c ·e ac 图象上任意一点．则曲线b ＝c ·e ac 的切线OB 的斜率最小． 又b ′＝c ·e a c ·1c ＝e a c ，∴k OB ＝b ′|a ＝x 0＝e x 0c ， 又k OB ＝c ·e x 0cx 0.∴c ·e x 0cx 0＝e x 0c ，从而x 0＝c ，则点B (c ，ce )．经检验知，点B (c ，c e)在可行域， 此时，k OB ＝e x 0c ＝e cc ＝e.因此(ba )min ＝k OB ＝e.所以ba 的取值范围为[e ，7]．。
第六章 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
一、选择题1．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，2x ＋y ≤5，x ≥1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点B (2,1)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x ＋y 取得最大值，最大值是7.答案：D2．(2011·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5解析：作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示． 又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)． 此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 答案：B3．若z ＝mx ＋y 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0，2y －x ≥0，x ＋y －3≤0上取得最小值时的最优解有无穷多个，则z的最小值是( )A ．－1B ．1C ．0D ．0或±1解析：画出平面区域，可以判断出z 的几何意义是直线mx ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，只有直线mx ＋y －z ＝0与直线x －2y ＝0重合时，才符合题意，此时，相应z 的最小值为0.答案：C4．(2012·海淀模拟)P (2，t )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域内，则点P (2，t )到直线3x ＋4y ＋10＝0距离的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：如图所示，结合图形可知点A (2,1)到已知直线距离最大，则最大值为|3×2＋4×1＋10|32＋42＝4.答案：B5．(2012·郑州模拟)设双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝2围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝12x －y 的最小值为( )A ．－2B ．－322C ．0D ．－522解析：双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，与直线x ＝2围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数z ＝12x －y 在点P (2，22)处取得最小值为z ＝122－22＝－322.答案：B 二、填空题6．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．解析：令b ＝2x －y ，则y ＝2x －b ，如图所示，作斜率为2的平行线y ＝2x －b ，当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，此时b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1.答案：17．(2012·西安模拟)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0表示的区域为图中阴影部分．又因为ax －y ＋1＝0恒过定点(0,1)， 当a ＝0时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0.所表示的平面区域的面积为12，不合题意；当a <0时，所围成的区域面积小于12，所以a >0，此时所围成的区域为三角形，其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解之得a ＝3.答案：3 三、解答题8．若点P 在区域⎩⎪⎨⎪⎧2y －1≥0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0内，求点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －1≥0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0所表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x －4y 所表示的平行直线系过点A (0,2)时，目标函数取得最小值，此时对应的直线方程为3x －4y ＋8＝0，其与直线3x －4y －12＝0的距离为d ＝8＋1232＋42＝4，即得点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值为4.9．变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0.x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0 解得A (1，225)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率. 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29.10．(2012·泰安模拟)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移， 由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．。
一轮复习课时训练§6.3：二元一次不等式(组)与简单的线性规划
第六章§3：二元一次不等式（组）与简单的线性规划(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数f(x)＝x 2－5x ＋4，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－f (y )≥01≤x ≤4表示的平面区域为2．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥－1x －2y ≤2，则z ＝x ＋yA ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 3．设x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0x ＋y －1≥0，则实数对(x ，y)表示的区域在直线y ＝4的下侧部分的面积是A ．4B ．8C ．92D ．94．已知平面区域D 由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y)可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m 等于 A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 5．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a>0，且a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是______． 7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2y ≤2x ＋y ≥2，则目标函数z ＝yx ＋1的最大值是________．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D ，若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 的面积的最大值是______．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．10．（本小题满分18分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大？最大收益是多少？参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 1．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－f (y )≥01≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －5≥01≤x ≤4，或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x ＋y －5≤01≤x ≤4，故其对应平面区域应为图C. 答案：C2．解析：由图象可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值z min ＝2，无最大值．答案：B 3．解析：如图所示，三角形为等腰直角三角形，且腰长为3，面积为92.答案：C4．解析：由目标函数z ＝x ＋my 得y ＝－1m x ＋zm.当m>0时，－1m <0，1m >0，可得－1m ＝k AC ＝3－11－3＝－1，∴m ＝1时有无穷多个点(x ，y)可使z ＝x ＋my 取得最小值．当m<0时，－1m >0，1m <0，则z ＝x ＋my 在点A 处取得最小值不合题意．∴m ＝1时符合题意．故选C 项．答案：C 5．解析：画出可行域如图由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0x ＋2y －19＝0， 得交点A(1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －14＝0x ＋2y －19＝0，得交点B(3,8)，当y ＝a x 的图象过点A(1,9)时，a ＝9， 当y ＝a x 的图象过点B(3,8)时，a ＝2. ∴2≤a ≤9.故选C 项． 答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1，表示的可行域如图所示，则y ＝x －z 表示的直线过点A(1,0)时，z ＝x －y 取最大值，且z max ＝1.答案：1 7．解析：根据约束条件作出可行域如图所示．目标函数z ＝yx ＋1＝y －0x ＋1可以看做定点(－1,0)与可行域内的点(x ，y)连线斜率的最大值．可知当目标函数线过点A(0,2)时有最大值，即z max ＝2－00＋1＝2. 答案：28．解析：画出可行域如图：⊙O 的所有点都在△ABC 内，圆心O 到直线BC 的距离 d ＝|－2|5＝25为⊙O 半径的最大值，∴圆O 面积的最大值为S max ＝π(25)2＝45π.答案：45π 三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值．结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.10.（本小题满分18分）解：设搭载产品A x 件，产品B y 件，预计总收益z ＝80x ＋60y. 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤30010x ＋5y ≤110x ∈N ，y ∈N，作出可行域，如图：作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝302x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝4，即M(9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)． 所以搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第六篇 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013青岛市高三模拟)如果实数x、y满足条件那么目标函数z=2x-y的最大值为( B )(A)2 (B)1 (C)-2 (D)-3解析: 做出满足条件的可行域如图所示,由图可知,当目标函数直线经过点D(0,-1)时,直线y=2x-z的截距最小,此时z最大,此时z=2×0-(-1)=1,所以最大值为1,故选B.2.(2013山东省泰安市高三模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为( D )(A)1 (B)(C)(D)解析: 做出不等式组对应的区域为△BCD.由题意知x B=1,x C=2.由得y D=,所以S△BCD=×(x C-x B)×=.故选D.3.(2012年高考福建卷)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( B )(A)-1 (B)1 (C)(D)2解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示.当直线x=m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时,m取最大值.解方程组得A点坐标为(1,2),∴m的最大值为1,故选B.4.(2013华南师大附中高三综合测试)若x,y满足约束条件则2x+y的取值范围是( D )(A) (B)(C)[-,] (D)解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分,令z=2x+y,由图知当直线z=2x+y过点A时有最小值.当直线与圆x2+y2=1相切且切点在第一象限时,z有最大值.由得A（-,）,z min=-,若直线z=2x+y与圆相切,则=1,.故选D.∴|z|=,即z5.(2012汕头模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( D )(A)a≥ (B)0<a≤1(C)1≤a≤(D)0<a≤1或a≥解析:如图所示,直线x+y=0从原点向右移动,移动到(1,0)时,再往右移,不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了;又从点A向右移动时,不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分的三角形.∴0<a≤1或a≥.故选D.6.(2013德州市高三模拟)已知变量x、y满足则z=log2(2x+y+4)的最大值为( D )(A)1 (B)(C)2 (D)3解析:设t=2x+y,则y=-2x+t.做出不等式组对应的可行域如图阴影部分.当直线y=-2x+t经过点C时,直线y=-2x+t的截距最大,此时t最大,对应的z也最大,由得x=1,y=2.即C(1,2)代入t=2x+y得t=4,所以z=log2(2x+y+4)的最大值为log2(4+4)=log28=3.故选D.二、填空题7.(2013河北省重点中学联合考试)设z=2x+y,其中x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为.解析: 不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=2x+y过点A(k,k)时,z取最大值,则z max=3k=6,解得k=2,易知当直线z=2x+y过点B(-k,k)时,z取最小值,则z min=-2.答案:-28.(2013济南高三模拟)已知x和y是实数,且满足约束条件则z=2x+3y的最小值是.解析: 做出不等式对应的可行域如图所示,由z=2x+3y得y=-x+,做直线y=-x,平移直线y=-x,由图象可知当直线经过C点时,直线y=-x+的截距最小,此时z最小,又C（,）,代入目标函数得z=2x+3y=2×+3×=.答案:9.(2013广东高三综合测试)已知函数f(x)=x2-2x,点集M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则M∩N所构成平面区域的面积为.解析:M={(x,y)|x2-2x+y2-2y≤2}={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤4},N={(x,y)|x2-2x-(y2-2y)≥0}={(x,y)||x-1|≥|y-1|},M∩N构成平面区域如图阴影部分所示,由图知平面区域的面积为·π·22=2π.答案:2π10.(2013深圳二调)点P(x,y)是以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形及其内部的任一点,则4x-3y的最大值为.解析:令z=4x-3y,由图知当直线z=4x-3y经过点B(-1,-6)时,z有最大值为4×(-1)-3×(-6)=14.答案:1411.(2013咸阳一模)设实数x、y满足则的最大值是.解析: 不等式组确定的平面区域如图阴影部分.设=t,则y=tx,求的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx 过A点时,t最大.由解得A（1,）.代入y=tx,得t=.所以的最大值为.答案:三、解答题12.(2013黄山模拟)设x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围. 解: (1)作出可行域如图所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线x-y=0,过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1. ∴z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<2.故所求a的取值范围是(-4,2).B组13.(2012年高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( C )(A)1800元(B)2400元(C)2800元(D)3100元解析:设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶,则根据题意得x、y的约束条件为设获利z元,则z=300x+400y.画出可行域如图.画直线l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值. 由解得即M的坐标为(4,4),∴z max=300×4+400×4=2800(元).故选C.14.(2012广州模拟)已知实数x、y满足若目标函数z=ax+y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个,则实数a 的值为.解析:画出平面区域所表示的图形,如图中的阴影部分所示,平移直线ax+y=0,可知当平移到与直线2x-2y+1=0重合,即a=-1时,目标函数z=ax+y的最小值有无数多个.答案:-115.实数x、y满足(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.解:由作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA的斜率不存在).而由得B(1,2),则k OB==2.∴z max不存在,z min=2,∴z的取值范围是[2,+∞).(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.由得A(0,1),∴|OA|2=()2=1.|OB|2=()2=5.∴z的最大值为5,没有最小值.故z的取值范围是(1,5].16.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解:设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润,利润总额为z元.由条件知:z=0.7x+1.2y,变量x、y满足作出不等式组所表示的可行域如图所示.作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程组得A点坐标(200,240).答:应每天配制甲种饮料200杯, 乙种饮料240杯方可获利最大.。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题测试题
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1、 已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．382、下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）Ａ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥Ｂ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤Ｄ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥03、已知点1(00)P ，，231(11)03P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，则在3210x y +-≥表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．1P ，2PＢ．1P ，3PＣ．2P ，3PＤ．2P4、若222x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）Ａ．[26]，Ｂ．[25]，Ｃ．[36]，Ｄ．[35]，5、原点(00)O ，与点集{()|2102250}A x y x y y x x y =+-++-，≥，≤，≤所表示的平面区域的位置关系是 ，点(11)M ，与集合A 的位置关系是 ．6、 点(3)P a ，到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式23x y +<表示的平面区域内，则P 点坐标是 ．7、某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？8、有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．现在要在一天内运输至少2000t 粮食和1500t 石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？ 9、 用图表示不等式(3)(21)0x y x y +--+<表示的平面区域．10、求22z x y =+的最大值和最小值，使式中的x ，y 满足约束条件27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥．11、预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍．问：桌、椅各买多少才合适？12、 已知点(31)，和(46)-，在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ） Ａ．7a <-或24a > Ｂ．7a =或24a = Ｃ．724a -<< Ｄ．247a -<<13、. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z ax y =+(0)a >取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ）Ａ．14Ｂ．35Ｃ．4 Ｄ．5314、能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（ ）Ａ．01220y x y ⎧⎨-+⎩≤≤≤Ｂ．1220y x y ⎧⎨-+⎩≤≥Ｃ．012200y x y x ⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≤≤Ｄ．10220y x x y ⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤≤15、已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --⎧⎪+<⎨⎪⎩≤，，≥．则（ ）Ａ．max min 123z z ==， Ｂ．max 12z =，无最小值 Ｃ．min 3z =，无最大值Ｄ．z 无最大值，也无最小值16、已知x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最小值为（ ）Ａ．5Ｂ．6-Ｃ．10Ｄ．10-17、不等式260x y -+>表示的平面区域在直线260x y -+=的（ ） Ａ．右上方Ｂ．右下方Ｃ．左上方Ｄ．左下方18、在ABC △中，三顶点(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在△ABC 内部及边界运动，则z x y =-最大值为（ ） Ａ．1Ｂ．3-Ｃ．1-Ｄ．3x119、 如图所示，(21)(3)0x y x y -++-<表示的平面区域是（ ）20、下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）Ａ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-<⎪⎨--⎪⎪-+⎩≥≤Ｂ．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Ｃ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+>⎩≤≤Ｄ．10236010220x y x y x y x y +-⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪-+⎩≥≥ＢＣＤ。
高考数学(理)一轮规范练【36】二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)
课时规范练36 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练第55页一、选择题1.在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,+∞)D.(0,1)答案:B解析:将x=-2代入直线x-2y+4=0中,得y=1.因为点(-2,t)在直线上方,所以t>1.2.若关于x,y的不等式组表示的区域为三角形,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(1,+∞)答案:C解析:y=ax为过原点的直线,当a≥0时,若能构成三角形,则需0≤a<1;当a<0时,若能构成三角形,则需-1<a<0.综上,a∈(-1,1).[:数理化]3.若实数x,y满足则S=2x+y-1的最大值为( )A.5B.4C.3D.2答案:A[:数理化]解析:由线性约束条件画出可行域(如图).当直线2x+y-1-S=0过点A(2,2)时,直线的纵截距最大,即S=2x+y-1取最大值.所以S max=2×2+2-1=5.故选A.4.已知集合A=,B={(x,y)|x2+(y-1)2≤m},若A⊆B,则m的取值范围是( )A.m≥1B.m≥C.m≥2D.m≥答案:C解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,三个顶点到圆心(0,1)的距离分别是1,1,,由A⊆B得三角形内所有点都在圆的内部,故,解得m≥2.5.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( )A.-1B.1 [:C. D.2答案:B解析:由约束条件作出其可行域如下图:由图可知当直线x=m过直线y=2x与x+y-3=0的交点(1,2)时m取得最大值,此时x=m=1.6.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则log3的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案:A解析:作出不等式组对应的可行域,如图中阴影部分所示,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0和3x-y-2=0的交点A(2,4)时,z取得最大值6,所以2a+4b=6,即a+2b=3,所以log3=lo g3=log3≥log33=1,当且仅当a=b=1时取等号,选A.二、填空题7.不等式组表示的区域为D,z=x+y是定义在D上的目标函数,则区域D的面积为;z的最大值为.答案: 5解析:图象的三个顶点分别为(-3,-2),(2,-2),(2,3),所以面积为.因为目标函数的最值在顶点处取得,把它们分别代入z=x+y得,x=2,y=3时有z max=5.8.已知实数x,y满足不等式组目标函数z=y-ax(a∈R).若z取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围是.答案:(1,+∞)解析:作出可行域,可行域为三条直线所围成的区域,则它的最大值在三条直线的交点处取得,三个交点分别为(1,3),(7,9),(3,1),所以所以a>1.9.若实数x,y满足的取值范围是.答案:[1,5]解析:把理解为动点(x,y)与定点(0,-1)连线的直线的斜率即可.[:三、解答题10.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),求z=的最大值.解:z=·=(x,y)·(,1),故z=x+y.由画出可行域,如图阴影部分所示.作出直线l0:y=-x,平行移动l0至l1位置时,z最大,此时l1过点(,2).故z m ax=+2=4.11.若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,求以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积.解:作出线性约束条件对应的可行域如图所示,在此条件下,要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大值不超过1即可.令z=ax+by,则y=-x+.因为a≥0,b≥0,[:则-1<-≤0时,b≤1或-≤-1时,a≤1,此时对应的可行域如图,所以以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的面积为1.12.某人上午7时,乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去,然后乘汽车以匀速w 千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇所用的时间分别是x,y小时.(1)作图表示满足上述条件的x,y的范围;(2)如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)(单位:元),那么v,w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?解:(1)由题意v=,w=,4≤v≤20,30≤w≤100,所以3≤x≤10,≤y≤.①由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14个小时之间,即9≤x+y≤14,②满足①②的点(x,y)的范围是图中阴影部分(包括边界).(2)因为p=100+3·(5-x)+2·(8-y),所以3x+2y=131-p.设131-p=k,那么当k最大时,p最小.在通过上图的阴影部分区域(包括边界)且斜率为-的直线3x+2y=k中,使k值最大的直线必通过点(10,4),即当x=10,y=4时,p最小.此时,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.。
总复习《第32讲 二元一次不等式与简单线性规划问题》
简单线性规划问题
1、二元一次不等式(组)表示的平面区域.
x y 0 例题1. ①满足条件 x y 2 0 的整点(x，y) ya
恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是
整数的点，则整数a的值为 A．－3 B．－2 C．－1 D． 0
1、二元一次不等式(组)表示的平面区域.
例题6.设实数x , y满足
3 xy 8,
2
x 4 9, y
2
则
x 思
直线定界， 测试点定域．
1、二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：
2、常见的目标函数： ①形如z＝ax＋by 的截距型． ②形如z＝(y－a)/(x－b) 的斜率型． ③形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的距离型．
x y 3 0 例题1. ②满足条件 x y 1 0 的点(x，y) 2 y3
构成的区域的面积为 .
2、求目标函数的最值. 例题2.设 x , y 满足约束条件 则 z = 2x -3y的最小值
.
x y 1 0 x y 1 0 x3
2、求目标函数的最值. 例题2.设 x , y 满足约束条件 则 z = 2x -3y的最小值
.
x y 1 0 x y 1 0 x3
.
y 1 变式1. 则 z x4
变式2. 则 z
的最小值
2 2
y 4 x
的最小值
.
2、求目标函数的最值. 例题2.设 x , y 满足约束条件 则 z = 2x -3y的最小值
z b 2a 2
3 1 A( , ) 2 2
B
A
a
B(3,1)
高三数学一轮专项练习：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高三数学一轮专项练习：二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题数学是学习和研究现代科学技术必不可少的差不多工具。
小编预备了高三数学一轮专项练习，具体请看以下内容。
1.设A={(x，y)|x，y,1-x-y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是解析：由已知得x+y1-x-y，x+1-x-yy，y+1-x-yx，即x+y12，y12，x12.答案：A2.(2021湖南)若变量x，y满足约束条件y2x，x+y1，y-1，则x+2y的最大值是A.-52B.0C.53D.52解析：由线性约束条件可画出其表示的平面区域为三角形ABC，作出目标函数z=x+2y的差不多直线l0：x+2y=0，经平移可知z=x+2y在点C13，23处取得最大值，最大值为53，故选C.答案：C3.(2021东城区模拟)已知约束条件x-3y+40x+2y-103x+y-80，若目标函数z=x+ay(a0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范畴为A.0C.aD.0解析：如图，约束条件为图中的三角形区域ABC.目标函数化为y=-1a x+za，当z最大时，za最大，依照图形只要-1akAB=-3，因此a13.答案：C4.设z=x+y，其中x，y满足x+2y0，x-y0，0k.若z的最大值为6，则z 的最小值为A.-3B.3C.2D.-2解析：如图，直线z=x+y过点A(k，k)时，z取最大值6，k=3.z=x+y在点B(-6,3)处取得最小值.zmin=-6+3=-3.答案：A5.(2021陕西)若点(x，y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域，则2x-y的最小值为________.解析：作出可行域如图所示.记z=2x-y，则y=2x-z.将y=2x沿y轴向上平移，过A(-1,2)时，-z最大，即z最小，最小值为-4.答案：-46.(2021浙江)设z=kx+y，其中实数x，y满足x+y-20，x-2y+40，2x-y-40.若z的最大值为12，则实数k=________.解析：约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分，其中点A(4,4)，B(0,2)，C(2,0).当-k12即k-12时，目标函数z=kx+y在点A(4,4)取得最大值12，故4k+4=12，k=2，满足题意;当-k12即k-12时，目标函数z=kx+y在点B(0,2)取得最大值12，故k0 +2=12，无解.综上所述，k=2.答案：27.(2021北京朝阳二模)若实数x，y满足x-y+10，x0，则x2+y2的最小值是________.解析：第一正确画出图形，然后利用几何意义求得x2+y2的最小值.原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.∵x2+y2表示可行域内任意一点P(x，y)与原点(0,0)距离的平方，当P在AB上且OPAB时有最小值，(x2+y2)min=(|0-0+1|2)2=12.答案：128.画出2x-3解：先将所给不等式转化为y2x-3，y3.而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求y2x-3y3x，y0的整数解.所给不等式等价于y2x-3y3.依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).关于2x-32x-3，y3，x，y0表示的平面区域.如图(2)所示：可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.9.某玩具生产公司每天打算生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时刻不超过10小时，若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元);(2)如何样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少?解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y，因此利润W=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.(2)约束条件为5x+7y+4100-x-y600，100-x-y0，x0，y0，xZ，yZ，整理得x+3y200，x+y100，x0，y0，xZ，yZ，目标函数为W=2x+3y+300，如图所示，作出可行域.初始直线l0：2x+ 3y=0，平移初始直线通过点A时，W有最大值.由x+3y=200，x+y=100，得x=50 ，y=50，最优解为A(50,50)，因此Wmax=550(元).答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元.B组能力突破1.若实数x，y满足x-y+10，x0，y2，则yx-2的取值范畴是A.[-2，-1]B.-2，-12C.-2，-12D.-12，+解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示：yx-2可看作区域内的点(x，y)与点P(2,0)连线的斜率，因为kPA=-2，kPB=-12，因此-2-12.答案：B2.(2021北京)设关于x，y的不等式组2x-y+10，x+m0，y-m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0-2y0=2.求得m的取值范畴是A.-，43B.-，13C.-，-23D.-，-53解析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P(x0，y0)，使x0-2y0=2成立，只需点A(-m，m)在直线x-2y-2=0的下方即可，即-m-2m-20，解得m-23，故选C.答案：C3.(2021广东)给定区域D：x+4y4，x+y4，x0，令点集T={(x0，y0)D|x 0，y0Z(x0，y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线.解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示.作出z=x+y的差不多直线l0：x+y=0.经平移可知目标函数z=x+y在点A(0,1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值.而集合T表示z=x+y取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线.答案：64.若a0，b0，且当x0，y0，x+y1，时，恒有ax+by1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积.解：作出线性约束条件x0，y0，x+y1，对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax+by1恒成立，只要ax+by的最大值不超过1即可.令z=ax+by，则y=-abx+zb.因为a0，b0，则-10时，b1，或-ab-1时，a1.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)
学案3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1． 若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是__________．2． 如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________．3、(2012·课标全国)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域例1 (2009·安徽)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是 ( )A.73B.37C.43D.34变式： 已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为 ( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．0题型二 求线性目标函数的最值例2 (2012·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，6B.⎣⎡⎦⎤－32，－1C.[]－1，6D.⎣⎡⎦⎤－6，32变式：（1）分别求22y x z +=和1+=x yz 的最大值;（2）(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的 最大值为 ( ) A ．3 B ．4C ．3 2D ．4 2题型三 线性规划的简单应用例3 (2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1 桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千 克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是 400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都 不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产 品中，公司共可获得的最大利润是 ( ) A ．1 800 元 B ．2 400 元 C ．2 800 元D ．3 100 元变式：(2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投 入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜 和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为 ( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50一、选择题(每小题5分，共20分)年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元1、(2010·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．22、(2010·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 3、 (2011·湖北)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个二、填空题(每小题5分，共15分)4、（2013·陕西）若点),(y x 位于曲线1-=x y 与2=y 所围成的封闭区域，则y x -2的最小值为__________．5、 (2011·陕西)如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．6． (2011·课标全国)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·福建)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－12B ．1C.32D ．22． (2012·课标全国)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)， 顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是 ( )A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)3．(2010·福建) 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中 的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4C.125D ．2二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________．5． 已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．6． (2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围 为__________．7．（2012·上海）满足约束条件|x |＋2|y |≤1的目标函数 x y z -=的最小值是__________．1． 答案 －5<m <10解析 由题意可得(2×1＋3＋m )[2×(－4)－2＋m ]<0， 即(m ＋5)(m －10)<0，∴－5<m <10. 2．答案 x ＋y －1>03． 答案 [－3,3]解析 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x －2y ＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A 时，z ＝x －2y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝x －2y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x ＋y －3＝0得B (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －3＝0得A (3,0)． ∴z max ＝3－2×0＝3，z min ＝1－2×2＝－3，∴z ∈[－3,3]． 例1答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 变式： 答案 A解析 其中平面区域kx －y ＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y ＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定 一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A (2,4)，代入直线方程， 得k ＝1. 例2由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2,0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0 解得B ⎝⎛⎭⎫12，3.∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32. ∴z ＝3x －y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，6. 变式答案 B解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.例3解析 设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，每天利润为z元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y作出可行域，如图阴影部分所示．作直线300x ＋400y ＝0，向右上平移，过点A 时，z ＝300x ＋400y 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，∴A (4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800.变式：解析 (1)设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ∈N ＋，求目标函数z ＝x ＋0.9y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l 向右平移，移至点A (30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大1、B[画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时纵截距z2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝1得A (2,1)，∴z max ＝10.]2 、A [作出可行域如图所示．目标函数y ＝34x －14z ，则过B 、A 点时分别取到最大值与最小值．易求B (5,3)，A (3,5)．∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11.] 3、答案 B解析 在坐标平面内画出直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个．4、-45、答案 1解析 令b ＝2x －y ，则y ＝2x －b ，如图所示，作斜率为2的平行线y ＝2x －b ，当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，此时b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1.6．答案 －6解析 作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝9，2x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5. 所以z min ＝4＋2×(－5)＝－6.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 答案 B解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x 的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0 所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件， 故m 的最大值为1. 2． 答案 A根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)． 3．答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离为d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB |的最小值为4. 二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 答案 5解析 在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2x－y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，－1)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x －y 取得最大值，最大值是z ＝2×2－(－1)＝5.5． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.6． 答案 [－3,3]解析 ∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，∴a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，z min＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0,1)时，z min ＝3.∴z∈[－3,3]．。
高考数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题专题卷
高考数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题专题卷一、单选题（共12题；共24分）1.已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是( )A. B. C. D.2.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点，且M,N关于直线2x-y=0对称，动点P(a，b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则取值范围是（）A. B. C. D.3.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. 2B. 3C. 5D. 64.实数x，y满足不等式组则z=x-y的最大值为（）A. 2B. 1C. -2D. -15.若满足约束条件，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为( )A.9B.8C.7D.67.设满足约束条件，则的最小值是( )A. B. C. D.8.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+4y的取值范围是（）A. ［－6,4］B. ［2,4］C. ［2，+∞）D. ［4，+∞）9.已知实数，满足约束条件，若的最小值为3，则实数（）A. B. C. 1 D.10.已知实数x，y满足，若z=3x﹣y的最大值为1，则m的值为（）A. B. 2 C. 1 D.11.已知x,y满足条件则2x+4y的最小值为（）A. 6B. 12C. -6D. -1212.若实数满足，则的最大值为（）A. B. 1 C. D. 2二、填空题（共6题；共8分）13.若实数x，y满足，则2x+y的最小值为________．14.若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为________．15.若实数满足不等式组则的最小值是________，最大值是________．16.在平面直角坐标系中，设点，，点的坐标满足，则在上的投影的取值范围是________17.给定区域D：，令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则z的最小值为________，且T中的点共确定________条不同的直线．18.已知实数满足，则的最小值为________。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点 组成的平面区域(半平面) 不包括 边界直线，把边界直 线画成虚线．
3x＋y≤4
＋43分为面积相等的两部分，则 k 的值是( )ຫໍສະໝຸດ 73A.3
B.7
4
3
C.3
D.4.
x－y≥0， 听前试做] (1)不等式组2x＋y≤2，表示的平面区域如图所示(阴影
y≥0
部分)．
解y2x＝＋x，y＝2得 A(23，23)；解y2＝x＋0，y＝2得 B(1，0)．若原不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则直线 x＋y＝a 中 a 应满足 0<a≤1
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、牛刀小试
1．若点(m，1)在不等式 2x＋3y－5>0 所表示的平面区域内，
则 m 的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，1]
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
解析：选 D ∵点(m，1)在不等式 2x＋3y－5>0 所表示的平面 区域内，∴2m＋3－5>0，即 m>1.
名称
意义
约束条件
由变量 x，y 组成的不等式
线性约束条件 由 x，y 的 一次 不等式(或方程)组成的不
等式(组)
目标函数
关于 x，y 的函数 解析式，如 z＝2x＋3y
数学一轮复习试题 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
第三十三讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为() A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24. 答案：B2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是()A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43解析：先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为⎝⎛⎭⎫23，23，故当x ＋y ＝a 过点B 时a ＝43，所以a ≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰为A 点时，a ＝1＋0＝1，故当0<a ≤1时可行域也为三角形．故0<a ≤1或a ≥43.答案：D3．已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值()A ．18B ．19C ．20D ．21解析：z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|12＋22，可以看做是错误!对应的平面区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍，结合图形可知|x ＋2y －4|的最大值是z ＝5·|7＋2×9－4|5＝21，故选D.答案：D4．给出平面区域(包括边界)如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A.14B.35C.4D.53解析：由题意分析知，目标函数z ＝ax ＋y (a >0)所在直线与直线AC 重合时，满足题意，则由－a ＝k AC＝225－21－5，得a ＝35.故选B.答案：B5．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0，x ≥1目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为()A ．2B ．－2C.15D ．不存在解析：如图为⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得点A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1,1)，C (5,2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k <－35，即k >35.将k ＝2代入，过点B 的截距z ＝2×1＋1＝3.过点C 的截距z ＝2×5＋2＝12.符合题意．故k ＝2.故应选A.答案：A6．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a的最大值是()A.23B.25C.16D.14解析：目标函数z ＝x ＋ay 可化为y ＝－1a x ＋1az ，由题意a <0且当直线y ＝－1a x ＋1a z 与l AC 重合时符合题意．此时k AC ＝1＝－1a ，∴a ＝－1.yx －a 的几何意义是区域内动点与(－1,0)点连线的斜率．显然y x －a ＝24－(－1)＝25最大．故选B. 答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，x －y ≥1，则(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是________．解析：可行域如图：(x －1)2＋(y －1)2表示点(1,1)到可行域内点的距离的平方，根据图象可得(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2. 答案：⎣⎡⎦⎤12，28．设m 为实数，若⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，mx ＋y ≥0，⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，可行域应在圆内，如图． 如果－m >0，则可行域取到－∞，不能在圆内； 故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置．此时－m ＝－43，∴m ＝43.∴0≤m ≤43.答案：0≤m ≤439．某实验室需购某处化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格是120元．在满足需要的条件下，最少需花费________．解析：设需要35千克的x 袋，24千克的y 袋，则总的花费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x >0时，且x ∈Z ，y >0时，且y ∈Z .求z ＝140x ＋120y 的最小值．由图解法求出z min ＝500，此时x ＝1，y ＝3.另外，本题也可以列举出z 的所有可能取值，再求其中的最小值．由于x ＝0,1,2,3,4时相应的y 值和花费如下：当x ＝0，y ＝5时，z ＝600；当x ＝1，y ＝3时，z ＝500；当x ＝2，y ＝2时，z ＝520；当x ＝3，y ＝1时，z ＝540；当x ＝4，y ＝0时，z ＝560.易见最少花费是500元．答案：500元10．当不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，kx －y ＋2－k ≥0(k <0)所表示的平面区域的面积最小时，实数k 的值等于________．解析：不等式组所表示的区域由三条直线围成，其中有一条直线kx －y ＋2－k ＝0(k <0)是不确定的，但这条直线可化为y －2＝k (x －1)，所以它经过一个定点(1,2)，因此问题转化为求经过定点(1,2)的直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积的最小值问题．如图所示，设围成区域的面积为S ，则S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|2－k |·⎪⎪⎪⎪1－2k ，因为k <0，所以－k >0，有S ＝12⎝⎛⎭⎫4－k －4k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋(－k )＋⎝⎛⎭⎫－4k ≥12(4＋24)＝4，当且仅当－k ＝－4k，即k ＝－2时，平面区域最小．故填－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益？解：设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，且z ＝200x ＋150y .x ≥0，y ≥0，y ∈Z .∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，交点为B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B ⎝⎛⎭⎫207，607. 由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B ⎝⎛⎭⎫207，607不是最优解，通过检验，要求经过可行域内的整点，且使z ＝200x ＋150y 取得最大值，经过的整点是(0,12)和(3,8)．此时z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大收益．评析：本题是一道用线性规划求解的实际应用问题，难点在于求目标函数的最优整数解．这里所用到的方法即是“局部微调法”，需要先判断出在B 点取得最大值，再在B 点附近区域做微调，找到满足题意的整数解．12．设实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥|2x －3|.(1)求作点(x ，y )所在的平面区域；(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数f (x ，y )＝y －ax 的最大值和最小值．分析：先把已知不等式组转化为等价的线性约束条件，然后作出可行域，并找出最优解．解：(1)已知的不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥－(2x －3)，2x －3＜0.解得点(x ，y )所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1.(2)f (x ，y )表示直线l ：y －ax ＝b 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点．∵a >－1，∴当直线l 过顶点C 时，f (x ，y )最大． ∵C 点的坐标为(－3,7)，∴f (x ，y )的最大值为7＋3a .如果－1<a ≤2，那么直线l 过顶点A (2，－1)时，f (x ，y )最小，最小值为－1－2a . 如果a >2，那么直线l 过顶点B (3,1)时，f (x ，y )最小，最小值为1－3a .评析：本题是一道综合题，利用化归和讨论的思想将问题分解为一些简单问题，从而使问题迎刃而解． 13．已知x ，y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.M (2,1)，P (x ，y )．求：(1)y ＋7x ＋4的取值范围；(2)OM OP 的最大值；(3)|OP |cos ∠MOP 的最小值．解：如图所示，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0所表示的平面区域：其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．(1)y ＋7x ＋4可以理解为区域内的点与点D (－4，－7)连线的斜率．由图可知，连线与直线BD 重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD 重合时，倾斜角最大且为锐角．k DB ＝13，k CD ＝9，所以y ＋7x ＋4的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，9.(2)由于OM OP ＝(2,1)·(x ，y )＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由可行域可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过A 点时，z 取到最大值，这时z 的最大值为z max ＝2×4＋1＝9.(3)OP cos ∠MOP ＝cos OM OP MOPOM∠＝2x ＋y5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由(3)可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过B 点时，z 取到最小值，这时z 的最小值为z max ＝2×(－1)－6＝－8，所以OP cos ∠MOP 的最小值等于－85＝－855.评析：本题是一道求解线性约束条件下非线性目标函数的最优解问题的题目，这类问题有比较典型的解析几何背景和平面向量的意义，一般地，在解答时常常借助几何图形的直观性求解，体现了数形结合思想的应用．。
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第三十三讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24) C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24. 答案：B2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43解析：先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为⎝⎛⎭⎫23，23，故当x ＋y ＝a 过点B 时a ＝43，所以a ≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰为A 点时，a ＝1＋0＝1，故当0<a ≤1时可行域也为三角形．故0<a ≤1或a ≥43.答案：D3．已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|12＋22，可以看做是错误!对应的平面区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍，结合图形可知|x ＋2y －4|的最大值是z ＝5·|7＋2×9－4|5＝21，故选D.答案：D4．给出平面区域(包括边界)如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35 C. 4D.53解析：由题意分析知，目标函数z ＝ax ＋y (a >0)所在直线与直线AC 重合时，满足题意，则由－a ＝k AC＝225－21－5，得a ＝35.故选B.答案：B5．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0，x ≥1目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( )A ．2B ．－2 C.15D ．不存在解析：如图为⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得点A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1,1)，C (5,2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k <－35，即k >35. 将k ＝2代入，过点B 的截距z ＝2×1＋1＝3.过点C 的截距z ＝2×5＋2＝12.符合题意．故k ＝2.故应选A.答案：A6．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a的最大值是( )A.23B.25C.16D.14解析：目标函数z ＝x ＋ay 可化为y ＝－1a x ＋1az ，由题意a <0且当直线y ＝－1a x ＋1a z 与l AC 重合时符合题意．此时k AC ＝1＝－1a ，∴a ＝－1.y x －a 的几何意义是区域内动点与(－1,0)点连线的斜率．显然y x －a ＝24－(－1)＝25最大．故选B. 答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，x －y ≥1，则(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是________．解析：可行域如图：(x －1)2＋(y －1)2表示点(1,1)到可行域内点的距离的平方，根据图象可得(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2. 答案：⎣⎡⎦⎤12，28．设m 为实数，若⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，mx ＋y ≥0，⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，可行域应在圆内，如图． 如果－m >0，则可行域取到－∞，不能在圆内； 故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置．此时－m ＝－43，∴m ＝43.∴0≤m ≤43.答案：0≤m ≤439．某实验室需购某处化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格是120元．在满足需要的条件下，最少需花费________．解析：设需要35千克的x 袋，24千克的y 袋，则总的花费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x >0时，且x ∈Z ，y >0时，且y ∈Z .求z ＝140x ＋120y 的最小值．由图解法求出z min ＝500，此时x ＝1，y ＝3.另外，本题也可以列举出z 的所有可能取值，再求其中的最小值．由于x ＝0,1,2,3,4时相应的y 值和花费如下：当x ＝0，y ＝5时，z ＝600；当x ＝1，y ＝3时，z ＝500；当x ＝2，y ＝2时，z ＝520；当x ＝3，y ＝1时，z ＝540；当x ＝4，y ＝0时，z ＝560.易见最少花费是500元．答案：500元10．当不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，kx －y ＋2－k ≥0(k <0)所表示的平面区域的面积最小时，实数k 的值等于________．解析：不等式组所表示的区域由三条直线围成，其中有一条直线kx －y ＋2－k ＝0(k <0)是不确定的，但这条直线可化为y －2＝k (x －1)，所以它经过一个定点(1,2)，因此问题转化为求经过定点(1,2)的直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积的最小值问题．如图所示，设围成区域的面积为S ，则S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|2－k |·⎪⎪⎪⎪1－2k ，因为k <0，所以－k >0，有S ＝12⎝⎛⎭⎫4－k －4k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋(－k )＋⎝⎛⎭⎫－4k ≥12(4＋24)＝4，当且仅当－k ＝－4k，即k ＝－2时，平面区域最小．故填－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．某人有楼房一幢，室内面积共计180 m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益？解：设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，且z ＝200x ＋150y .x ≥0，y ≥0，y ∈Z .∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，交点为B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B ⎝⎛⎭⎫207，607. 由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B ⎝⎛⎭⎫207，607不是最优解，通过检验，要求经过可行域内的整点，且使z ＝200x ＋150y 取得最大值，经过的整点是(0,12)和(3,8)．此时z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大收益．评析：本题是一道用线性规划求解的实际应用问题，难点在于求目标函数的最优整数解．这里所用到的方法即是“局部微调法”，需要先判断出在B 点取得最大值，再在B 点附近区域做微调，找到满足题意的整数解．12．设实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥|2x －3|.(1)求作点(x ，y )所在的平面区域；(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数f (x ，y )＝y －ax 的最大值和最小值．分析：先把已知不等式组转化为等价的线性约束条件，然后作出可行域，并找出最优解．解：(1)已知的不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥－(2x －3)，2x －3＜0.解得点(x ，y )所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1.(2)f (x ，y )表示直线l ：y －ax ＝b 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点．∵a >－1，∴当直线l 过顶点C 时，f (x ，y )最大． ∵C 点的坐标为(－3,7)，∴f (x ，y )的最大值为7＋3a .如果－1<a ≤2，那么直线l 过顶点A (2，－1)时，f (x ，y )最小，最小值为－1－2a . 如果a >2，那么直线l 过顶点B (3,1)时，f (x ，y )最小，最小值为1－3a .评析：本题是一道综合题，利用化归和讨论的思想将问题分解为一些简单问题，从而使问题迎刃而解． 13．已知x ，y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.M (2,1)，P (x ，y )．求：(1)y ＋7x ＋4的取值范围；(2)OM OP 的最大值；(3)|OP |cos ∠MOP 的最小值． 解：如图所示，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0所表示的平面区域：其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．(1)y ＋7x ＋4可以理解为区域内的点与点D (－4，－7)连线的斜率．由图可知，连线与直线BD 重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD 重合时，倾斜角最大且为锐角．k DB ＝13，k CD＝9，所以y ＋7x ＋4的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，9. (2)由于OM OP＝(2,1)·(x ，y )＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由可行域可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过A 点时，z 取到最大值，这时z 的最大值为z max ＝2×4＋1＝9.(3)OP cos ∠MOP ＝cos OM OP MOP OM∠＝2x ＋y5， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由(3)可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过B 点时，z 取到最小值，这时z 的最小值为z max ＝2×(－1)－6＝－8，所以OP cos ∠MOP 的最小值等于－85＝－855.评析：本题是一道求解线性约束条件下非线性目标函数的最优解问题的题目，这类问题有比较典型的解析几何背景和平面向量的意义，一般地，在解答时常常借助几何图形的直观性求解，体现了数形结合思想的应用．。