河南省焦作市2012届高三第一次质量检测(数学文)

河南省焦作市2012届高三第一次质量检测
文科数学
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试题卷上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．设全集U={1，2，3，4，5}，集体A={1，3，5}，B={3，4}，则（C U A ）∪B=（ ）
A 、{4}
B 、{3，4}
C 、{2，3，4}
D 、{3}
2. 已知i 是虚数单位，则复数23
z i+2i 3i =+所对应的点落在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 3.下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（ ）
A. f （x ）=x ｜x ｜
B. f （x ）= -x 3
C. f （x ）=sin ([0,
])2
x x π
∈ D. f （x ）=
ln x x
４．对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关
B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
５．(x －1
x
)9的展开式的第3项是（ ）
A ．－84x 3
B ．84x 3
C ．－36x 5
D ．36x 5
６．已知向量)5
2,(),2,(1+==n n a b a a 且11=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且a ∥b
，则n S =
（ ）
A.51(1)45n
⎛⎫- ⎪⎝⎭
B. 11(1)45n
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C. 111(1)45n -⎛⎫- ⎪⎝⎭
D. 1
51(1)45n -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
７．执行右图所示的程序框图，则能输出数对（x ，y ）
的概率为 （ ） A ．14 B ．2
π
C ．
4π D ．8
π ８．函数x y x e =⋅在点（1，e ）处的切线方程为（ ） A ．2y ex = B ．1y x e =-+
C ．23y ex e =-+
D ．2y ex e =-
9．已知数列{}n a 的通项公式216n n =-a ，其前n 项和164n =S ，则项数n=
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
10．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段
11B D 上
有两个动点E ，F
，且2
EF =，则下列结论中错误的
是 （ ）
A ．AC BE ⊥
B ．//EF ABCD 平面
C ．三棱锥A BEF -的体积为定值
D ．异面直线,A
E B
F 所成的角为定值
11.已知点P 是双曲线)0,0(,122
22>>=-b a b
y a x 右支上一点，12,F F ，分别是双曲线的左、右焦点，
I 为21F PF ∆的内心，若
21212
1
F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+= 成立，则双曲线的离心率为（ ） A ．4
B ．
52 C ．2
D ．
53
12．已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （-x ）= -f （x+4），当x>2时，f （x ）单调递增，如果x 1+x 2<4
且（x 1-2）（x 2-2）<0，则f （x 1）+f （x 2）的值 （ ） A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22
题
~第24题为选考题，考试根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．写出一个使不等式2
0x x -<成立的充分不必要条件 ．
14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方
程是
y =，它的一个焦点与抛物线232y x =的焦点相
同．则
双曲线的方程为 ．
15.右图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为 ____________________.
16．请阅读下列材料：若两个正实数12,a a 满足22121a a +=，
那么
12a a +≤证明：构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++，因为对一切实数x ，
恒有()0f x ≥，所以0∆≤，从而得2124()80a a +-≤，所以12a a +根据上述证明方法，若n 个正实数满足222121n a a a ++⋅⋅⋅+=时，你能得到的结论为 .（不必证明）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
函数4y x πφ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，φπ<，的一部分图像如图所示，其中(M -，(3,N 为图像上的两极值点. （Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，0 βπ剟，求()tan φβ-的值.
18．（本题满分12分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽
取8次．记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合
适?请说明理由．
19. （本小题满分12分）
如图，两矩形ABC D、ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD
及平面所成角分别为300、450
, M、N 分别为DE 与DB 的中点，且
MN=1.
（Ⅰ）求证：MN ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求线段AB 的长．
20．已知函数2
()ln 2f x mx x x =+-． （1）若4m =-，求函数()f x 的最大值．
（2）若()f x 在定义域内为增函数，求实数m 的取值范围．
21．（本大题满分12分）已知椭圆的离心率e =，左、右焦点分别为12,F F ，定点P (，点2F 在线段1PF 的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，直线22,F M F N 的倾斜角分别为
,,αβαβπ+=且，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 在ABC ∆中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交 于点P ，交BC 延长线于点D 。

（1）求证：
BD
PD
AC PC =； （2）若AC=3，求AD AP ⋅的值。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，
为参数x y ααα=⎧⎨=⎩
．以直角坐标系原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()
πcos 4ρθ-=P 为
曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知2225 5.y x y =+≥x-，求证：
参考答案
1—5 CCAAB 6—10 ACDBD 11—12 CA
13．略 14．211648
x 2
y －＝
15．16 16
．12n a a a ＋＋…＋ ()n N *∈ 17.解：
（Ⅰ）∵点(M -
在函数4y x πφ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图像上，
∴sin 14πφ⎛⎫
-
+= ⎪⎝⎭
，又∵φπ<，∴34φπ= ┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
（Ⅱ）如图，连接MN ，在M P N ∆中，由余
弦定理得
222
cos 2PM PN MN
PM PN
β+-=
=
=又∵ 0 βπ剟 ∴
5
6βπ
= ┈┈┈┈┈9分 ∴ 12
π
φβ-=-
∴ (
)tan tan
tan 21246π
ππφβ⎛⎫
-=-=--=- ⎪⎝⎭
┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 18．解：（1）茎叶图如下：
………………2分
学生乙成绩中位数为84，…………4分 （2）派甲参加比较合适，理由如下：
85)35124889290480270(81
=++++++++⨯+⨯+⨯=甲x
85)53535390480170(81
=+++++⨯+⨯+⨯=乙x ………………5分
222222
)8585()8583()8580()8579()8578(8
1-+-+-+---=甲S
])8595()8592()8590(222-+-+-+=35.5
222222
)8585()8583()8580()8580()8575[(8
1-+-+-+-+-=乙S
])8595()8592()8590(222-+-+-+=41……………………7分
2
2,乙
甲乙甲S S x x <= ∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．……………………8分
20．解：易见()f x 的定义域为(0,)+∞．1
()22f x mx x
'=+-．………………………1分 （1）当4m =-时，1
()82f x x x
'=-+-， 令()f x '=0，得1
4
x =或12-（舍去）．……………………………………………………3分
列表：
x
10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
14
1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
()f x ' + 0
-
()f x
↗
最大值：32ln 24
--
↘
故函数()f x 的最大值为3
2ln 24
--
．………………………………………………………6分 （2）令()0f x '>，即1220mx x +-≥，
2221
0mx x x
-+≥． ∵0x >，∴2
2210mx x -+≥．
∵()f x 在定义域内为增函数，∴2
2210mx x -+≥在(0,)x ∈+∞恒成立．……………7分 即2max
1
12m x x ⎛⎫≥-
⎪⎝⎭．………………………………………………………………………9分 当(0,)x ∈+∞时，2
211111
22x x x x
⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，
当
11x =时，取得2max 11122
x x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭． 故1
2
m ≥
．……………………………………………………………………………………12分 21．解：⑴由椭圆C 的离心率22=
e 得22
=a c ，其中2
2b a c -=，
椭圆C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -又点2
F 在线段1
PF 的中垂线上
∴
2
21PF F F =，∴222)2()3()2(c c -+=解得c ＝1，a2＝2，b2＝1，
∴椭圆的方程为 1
222
=+y x ．
⑵由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y ＝kx ＋m 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x ,12
22
消去y ，得（221k +）2x ＋4kmx ＋222m -＝0．
设M （1
1
,x y ），N （2
2
,x y ），则
1242
21+-=+k km
x x ，12222221+-=k m x x 且
1
112-+=
x m
kx k M F ，
1
222-+=
x m kx k N F
由已知α＋β＝π，得0
22=+N F M F k k ，即
01
12211=-++-+x m
kx x m kx
化简，得12122()()20kx x m k x x m +-+-=
∴22
2224()
2202121m km m k k m k k ----=++ 。

整理得m ＝－2k ． 22．解：（1）D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, ，
DPC ∆∴～DBA ∆，BD
PD
AB PC =∴
又BD
PD
AC PC AC AB =∴
=, （5分）
（2）,,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠
APC ∆∴～ACD ∆AD
AC
AC AP =∴，
92=⋅=∴AD AP AC
（10分）
23．解:将(
)
πcos ρθ-=化简为c o s
s i n 4ρθρθ+=，
则直线l 的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分
设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距
离d =
，即
d
，其中cos sin ϕϕ== ． ………8分 当()sin 1
αϕ+=
时，min d = 24.2
2
2
222
(2)25,512x y x y y x y ≥+∴+≥+=∴+≥+ 2222证明：由柯西不等式可知：（x +y ）(1+2)(x+2y) .又x
综上x 的取值范围为),1[]3,(+∞-⋃--∞ （10分）
（其它证明方法酌情给分）．。