第七章 面波

138
第七章 面波
至此，我们的论述局限于体波，即在全空间地震波动方程的解。

然而，当介质中存在自由表面时，可能有其他的解，称之为面波。

沿地球表面传播的面波
有两类：Rayleigh 波和Love 波。

对横向均匀的模型，Rayleigh 波径向偏振（SV P /），存在于任何自由表面，而Love 波横向偏振，且要求速度随深度（或球面几何结构）增大。

面波通常是远距离记录中最强的波至，对地球的浅层结构和震源的低频特性提供最好的约束。

面波与体波有许多方面的差别——面波传播比较慢，振幅随距离的衰减通常小得多，速度与频率有很强的依赖关系。

7.1 Love 波
7.1.1 Love 波的形成条件
设有均匀弹性半空间，上面覆盖一弹性层，层厚为h ，用这样的模型来简单描述地壳覆盖在上地幔的情况。

取x,y 在自由表面上（z=0），z 轴垂直向下，令层中横波速度为1β，密度为1ρ，令半空间中横波速度为2β，密度为2ρ，且有21ββ<，Love 波在层中为v 1。

半空间中为v 2，为简化分析，仍考虑平面波的情况，并令波沿x 方向传播，由于考虑的是SH 型面波。

因此振动应垂直于x 轴且平行于分界面，即振动应沿y 方向。

则V 1V 2应满足波动方程：
2
1
2
1
2
12
11t
V z
V x
V ∂∂=
∂∂+
∂∂β
2
2
22
2
22
21t
V z
V x
V ∂∂=
∂∂+
∂∂β
我们解上面的第一个方程：根据分离变量法，并且1V 与x,z,t 有关，我们可设()()t kx i e z V ωϕ-=1，其中c
k ω
=
，
代入上面的式子，可得：
()
()02
12
22
2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--z k dz
z d ϕβωϕ 该方程的特征方程为02
12
22
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--βωk r ，其解为212
2βω-±=k r ，根据微分方程理论，()2
1
22
2
1
22
βω
βω
ϕ-
--
+=k z k z Be
Ae
z ，其中A,B 为常数。

同理可以得到2
2
22
2
2
22
2βω
βω
-
-
-+=k z k z De
Ce
V 。

因要满
足∞→z 的收敛条件，将2V 中第二项去掉，上边方程的解可以写为：(
)(
)
()
()
()
h z e
Ce
V h z e Be Ae V t kx i z
b t kx i z
b z b >=<<+=----ωω211210,
其中2
22
22
12
1,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
βωβωk
b k
b ，k 为波数，
c 为面波速度。

上边的式子应满足自由表面边界条件及层与半空间的层面的边界条件
139
00
11=∂∂==z zy z
V μσ
⎪⎩
⎪
⎨⎧∂∂=∂∂=====h
z h
z h
z h
z z
V z V V V 22
1121μμ
因此有：()
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=---h
b h b h b h
b h b h b Ce b Be Ae b Ce Be Ae B A 211211221
10μμ
消去B 得：(
)()
⎩⎨⎧=+-=-+--00
2112112211h
b h b h b h
b h b h b Ce b e
e b A Ce e e A μμ 这是一个齐次方程组，要使得该方程有非零解，需使得行列式的系数为零，即：
()()
()1
12212211tanh 0
1111211211b b h b e
e
e e e
b e
e
b e
e
e
h
b h
b h b h b h
b h
b h
b h b h
b h
b μμμμ-
==+-=--+---- 其中，t a n h 为双曲正切，其定义为x
x x x
e
e e e x --+-=)t an h (，下面为x 为实数的图为：
-10
-8
-6
-4
-2
02
4
6
8
10
-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81x
y
y=tanh(x)
%tanh(x)函数
plot([-10:0.1:10],tanh([-10:0.1:10])) hold on
plot([0 0],ylim,'k'); xlabel('x');ylabel('y'); title('y=tanh(x)')
140
当x 为实数时，由于11b μ和22b μ为正值，找不到函数值对应的情况。

当11b μ和22b μ均为虚数时，方程右边为实数。

而)tanh(11b μ为虚数，也不满足方程。

因此只有11b μ为虚数，而22b μ为实数时才能满足方程，即方程有非零解的条件为： [
]
2
21
12
2
222
21
111tan p
p n p
h --=
--βμβμπβ
ω （7.10）
上式规定了Love 波在层里传播的频散曲线。

注意，p
c 1=
在1β与2β之间变化（2β>c 没有过
临界反射）。

由于正切函数的周期性，对每个c 值，有多个ω值。

最小的ω值定义了基阶模式，第二个最小的是第一个高阶模式，等等。

方程（7.10）没有c 的解析解，必须用数值法确定)(ωc 的值（见练习7.1）。

简正振型
解上述频散方程得： 2,1,0,11arctan 11
212122222
1
2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+---=
n n c c c
hk πβμβμβ 这就给出了
1
βc
与kh 的对应关系。

要使得方程有实根，应有：1
21
1βββ<
<
c。

对于满足该
条件的
1
βc
值，有无穷多个kh 与之对应，而每一个kh 值对应于一种Love 波。

当n=0时成为基
阶Love 波（Fundamental mode ），n=n 称为n 阶Love 波(overtone)。

由于c
k ω
=
，由上式可知： 2,1,0,11arctan 1212122222
1
2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+---=
n n c c c
h c
πβμβμβ
ω
截止频率
对n=0的基阶Love 波，当2β=c 时，
0→kh ,因而0
2→=
=c
h
h
kh ωλ
π，因此有波长∞
→λ或0→ω。

当2β=c 时，0,→∞→λω，此时没有截止频率。

对n 阶Love 波，当2β=c 时，
1
2
12
2
-=
ββ
πh
n kh ，频率的最小值为2
2
2
1
1
1
ββπω-
=
h
n c ；
波长的最大值为n
h
c 1
221
2
2-=
ββλ；这就是n 阶Love 波的最低频率和最长波长，我们称之为截
止频率；当1β=c 时，∞→kh ，∞→ω。

141
位移分布
下面讨论简正振型Love 波的位移分布，根据前面的式子，消去B 得：
()
()
t kx i t kx i k
iz
k
iz e
k z A e e
e
A V ωωβω
βω
βω
-----⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=2
2
1
21cos 22
21
2
2
21
2 并且根据前面的方程h
b h
b h
b Ce
Be
Ae
211=+-，A=B,得：2
2
22
21122
12cos 2βω
βω-
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
+=
k h
h
b h
b h
b e
k h A A e
e e
C
所以有:()
()()
t kx i k h z t kx i k z
e
e k h A e
Ce
V ωβω
ωβω
βω--
----
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==2
2
22
2
1
22
22
122cos 2
令1
1arctan
arctan
2
1
21
2
2
221
122--
==β
μβμμμc
c
b b g
根据频散方程得：πβ
ω
n g c
h +=-121
2
()()()()()
t kx i c
h z t kx i e
e
n g A V e
h z n g A V ωβωππ--
---+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+=2
2
2121cos 2cos 2
可见在覆盖层中振幅为()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+h z n g A πcos 2，令其为零，则可得到：()0cos =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+h z n g π，即()
2
π
ππ
+
=+m h
z n g
，得到：h
g
n m z ++
=
ππ
π2，在此深度上，Love 波的振幅为零。

由于
142
1
1arctan
arctan
2
1
21
2
2
221
122--
==βμβμμμc
c
b b g 在0~
2
π
之间，因此基阶Love 波在覆盖层无节点，一阶Love
波有一个节面，二阶Love 波有二个节面。

下面我们模拟,8.1,
/6.4,/6.31
221===μμββs km s km 地壳厚度为
30km 的频散曲线和Love
波振幅随深度的分布：
H=30; %地壳的厚度为30km
vs1=3.6;vs2=4.6; %地壳和地幔的速度，单位km/s
%den1=2.9;den2=3.38; %地壳和地幔的密度，单位kg/m3 miu21=1.8; n=0;
c=vs1:0.01:vs2; c2=c.*c;
sqc1=sqrt(c2/vs1/vs1-1); sqc2=sqrt(1-c2/vs2/vs2);
atann=atan(miu21.*sqc2./sqc1); omiga=c./(H*sqc1).*(atann+n*pi); figure(1)
plot(2*pi./omiga,c) hold on
omiga=c./(H*sqc1).*(atann+1*pi); plot(2*pi./omiga,c)
omiga=c./(H*sqc1).*(atann+2*pi); plot(2*pi./omiga,c) xlabel('Period/s');
ylabel('V elocity/km.s^-^1') figure(2) c=4.0; c2=c.*c;
sqc1=sqrt(c2/vs1/vs1-1); sqc2=sqrt(1-c2/vs2/vs2);
atann=atan(miu21.*sqc2./sqc1); omiga=c./(H*sqc1).*(atann+0*pi); D=cos((omiga/c*sqc1).*[0:30]);
D=[D,cos(omiga/c*sqc1*H)*exp(-omiga/c*sqc2*([31:40]-H))]; plot(D,[0:40]); hold on
omiga=c./(H*sqc1).*(atann+1*pi); D=cos((omiga/c*sqc1).*[0:30]);
D=[D,cos(omiga/c*sqc1*H)*exp(-omiga/c*sqc2*([31:40]-H))]; plot(D,[0:40]); hold on
143
omiga=c./(H*sqc1).*(atann+2*pi); D=cos((omiga/c*sqc1).*[0:30]);
D=[D,cos(omiga/c*sqc1*H)*exp(-omiga/c*sqc2*([31:40]-H))]; plot(D,[0:40]);
set(gca,'Ydir','reverse')
50
100
150
200
250
3.63.73.83.94
4.14.24.3
4.44.5
4.6Period/s
V e l o c i t y /k m .s -1
-1
-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
05101520253035
40
这就是n 阶Love 波的位移公式。

Love 波的特点：
144
（1）它产生于弹性半空间上覆盖有弹性层的情况，并要求层中的横波速度小于半空间的横波速度；
（2）它是SH 型横面波，振动方向平行于自由表面而且垂直于波的传播方向；
（3）其波速c 满足21ββ<<c ，Love 波存在频散；
（4）Love 波存在很多简正振型，基型Love 波振幅一般比较大，占优势，在层内无节面，一阶Love 波在层内有一个节面，n 阶有n 个节面；
（5）基阶Love 波波长范围为∞<<λ0，n 阶Love 波波长范围为n
h
1
202
2
21-<
<ββλ。

因此高阶Love 波存在截止波长，阶数越高，截止波长越短，但层厚越大，截止波长越长。

7.2 Rayleigh 波
SH
偏振波在自由表面的反射系数是1，下行的SH 波与折回到地表面的SH 波之间的干
涉，形成Love 波。

SV P /系统因其在地表面的反射涉及到p 和SV ，所以比较复杂。

在这情况下，上行和下行的体波不会相长累加产生面波。

然而，可能有在分界面捕获的不均匀波的解，其相长干涉所形成的面波叫Rayleigh 波。

让我们开始研究p 和SV 波与自由表面相互作用时出现的情况。

对横向均匀的介质，沿
x +方向传播的平面谐波的势函数为：())
(t kx i e
z f ωϕ-= （7.11）
())(t kx i e z h ωφ-= （7.11）
其中,c
k ω
=
为波数。

根据分离变量法，并且()z f 与x,t 无关，代入波动方程的表达式，可得：
022222
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--f k dz
f d αω 该方程的特征方程为02222
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--αωk r ，其解为22
2
αω-±=k r ，根据微分方程理论，
()2
22
2
22
α
ωα
ω-
-
-+=k
z k z Be
Ae
z f ，其中A,B 为常数。

同理可以得到()2
22
2
22
β
ωβ
ω-
-
-+=k z k z De Ce
z h 。

因要
满足∞→z 的收敛条件，将上面表达式的第二项去掉，P 波和SV 波的势函数表达式可以写为：
)
()
(2
22
2
22
t kx i k z
y t kx i k z
e
Ce
e
Ae
ωβ
ωωα
ωφϕ--
---
-== 令2
22
2
22
,β
ωα
ωβα-
=
-
=k k k k 。

由（3.2.1）节我们可根据P 波的标
量势ϕ和S 波的矢量势y φ来表达位移，即：y φϕ⨯∇+∇=u （7.12） 则可以得到：
()()
t kx i zk z p
z
t kx i zk x p
x e
Ae
k u e
ikAe
u ωαωα
α
ϕϕ-----=∂==∂= （7.17）
145
S
波的位移为：
()
()
t kx i zk y x SV z
t kx i zk y z SV
x e
ikCe
u
e
Ce k u ωωββ
β
φφ----=∂==-∂=
根据：
()()(
)y z
x z y x v v y z
v v z x v v x
y
∂∂=∇⨯=-∂∂∂∂+-∂∂∂∂+-
∂∂
u v x
y z 现在考虑在自由表面0=z 的边界条件。

垂直和剪切的牵引必须为零：0==zz xz ττ。

由（3.10），即有： )(z x x z xz u u ∂+∂=μτ （7.21）
z z z z x x zz u u u ∂+∂+∂=μλτ2)( （7.22）
把（7.17）—（7.20）代入（7.21）和（7.22），即得到：
()()[]
()
t kx i zk p
zz t kx i zk p
xz e
e
k k A e
e kk i A ωαωαα
α
λμλτ
μτ-----+=-=2
2
2)2( （7.23）
()
[]
()
t kx i zk S zz
t kx i zk S xz e
e
kk i C e
e k k C ωβωββ
β
μτ
μτ-----=+-=2)(2
2
在自由表面，有：0=+=s
xz p xz
xz τττ （7.27） 0=+=s
zz p zz zz τττ （7.28）
在0=z 把（7.23）—（7.26）代入（7.27）和（7.28），消去公共项，即得到：
()[
]()0
220)()2(2
2
2
2
=-+-+=++β
αβαμλμλkk i C k
k A k k C kk i A （7.29）
将22ραμλ=+，2ρβμ=和)2(22βαρλ-=代入得到：
()⎪⎩⎪⎨⎧=-+⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-=++0220)()2(22
22
2ββαβωkk i C k A k k C kk i A 这组方程描述了P 波和SV 波的自由表面边界条件。

只有当行列式为零时，上式给出的A 和C 的线性系统方程才具有有意义的解，即当：
0)(242
2
2222
=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--ββαβωk k k k k k （7.34） 把αk 和βk 的式子代入，可得：2
12
22
12
22
2
2)
1()
1(4)2(β
α
β
c
c
c
-
-
=-
（7.36）
146
这方程叫做Rayleigh 方程，c 有取决于β和α值的精确的解。

在我们所论及的问题中，只有2
12
2)
1(α
c
-
和2
12
2
)1(β
c
-
取正值才有意义。

为求Rayleigh 方程的根，我们将两边平方：
01161624
82
222
244
662
2=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-αβ
αββββ
c c c c
由上式可见，0=c 是方程的解，但这个解是没有意义的，因为根据ϕ和φ的时间空间因子
)
()
(z px t ikc z px t i e
e
ααηηω------=为常数，是不振动的。

对泊松固体，μλ=，可得βα3=，上面的方程为：
03
3216
3568
2
24
46
6=-+
-β
β
β
c c
c
对其进行因式分解得：0322322422
2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βββc c c ，得到方程有三个根：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=322,322,42
2β
c
，因为2
12
2
)1(βc -必须取正值，因此前两个根都不符合要求。

只有最小的根⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-322满足要求。

此时
9194
.0=c 。

Rayleigh 在100年以前得到的这个结果说明两个非均
匀的P 和SV 波在地表半空间里耦合传播是有可能的。

图7.3 在均匀半空间里从左向右传播的基谐模式Rayleigh 波的质点运动。

这里显示了一个水平波长（∧）的图像。

图中点的时间是以固定的时间点标绘的。

在地表面，运动是逆时针的（逆行），在大约5
∧
的深度，为纯垂直运动，在更大的深度为顺时针（顺行）。

注意在图中，按某固定的距离从右向左给出了时序特征。

根据关于A,C 的方程组，可得A k k kk i
C 2
2
2β
α+-=
147
因此：
()
()
()
t kx i zk zk t kx i zk t kx i zk sv
x p x x e e k k k k e ikA e
Ce
k e
ikAe
u u u ωβαβωβωβ
αβ
α
-------⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-=+=+=222
()
()
()()t kx i zk zk t kx i zk
zk
t kx i zk t kx i zk sv
z p
z z e e k k k k e k A e e k k kk i ik e k A e
ikCe
e
Ae
k u u u ωβααωβααωωαβ
αβαβ
α
----------⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-=+-=+=2222
222
取实部，并代入βαβ3,9194.0==c (泊松介质),可给出垂直和水平位移。

()
()
()
()⎩⎨⎧-+-=--=----kx t e e
Ak u kx t e e Ak u kz
kz z kz
kz x ωωcos 4679.18475.0sin 5773.03933.08475.03933.08475.0 在地表上：()()
⎪⎩⎪⎨
⎧-=-===kx t D u kx t D u z z
z x ωωcos 6204.0sin 4227.00
其中，Ak D =。

可得：16204.04227.02
02
=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==D u D u z z z x ，为椭圆方程式。

椭圆的水平轴和垂直轴的比值约为2/3,且质点的垂直位移比水平位移超前2π，我们研究x=0处的质点运动状态，当t=0时D u u z x 6204.0,0==；当ω
π2=
t 时，0,4227.0==z x u D
u ；当ω
π=t 时，D u u z x 6204
.0,0-==；当ω
π2
3=
t 时，0,4227.0=-=z x u D u ；当ω
π2
3=
t 时，
D u u z x 6204.0,0==，质点运动轨迹正好是一个逆进椭圆，表明
Rayleigh 波在传播过程中引起
地表介质的质点做逆椭圆运动。

基阶模式Rayleigh 波的质点运动如图7.3所示。

当z 逐渐增加，使得()05773.03933.08475.0=---kz kz e e ，即2258.14482
.0)5773.0l n (=-
=kz ，由于λ
π
2=
k ，当
1951.022258
.1==
π
λ
z
时，波没有水平运动。

当继续增加深度时，x
u 的振幅变为负数，当x 固定
时，随着时间t 的增加，质点的运动轨迹为顺进椭圆。

波沿地表均匀半空间传播的Rayleigh波没有速度频散（因为在这模型中没有长度标度）。

然而，在地球里，由于地壳和上地幔里的垂向速度梯度使得速度有频散。

由于深部介质速度更快，所以长周期的波传播较快。

kz=0:0.01:4;kx=kz*2*pi;
uamp=exp(-0.8475*kx)-0.5773*exp(-0.3933*kx);
zamp=-0.8475*exp(-0.8475*kx)+1.4679*exp(-0.3933*kx);
plot(uamp,kz,zamp,kz)
legend('水平分量','垂直分量')
hold on
plot([0 0],ylim,'k')
set(gca,'Ydir','reverse')
xlabel('相对振幅')
ylabel('z/\lambda')
148
149
-0.1
00.10.2
0.30.40.50.60.7
00.511.5
22.533.54相对振幅
z /
图7.4给出了
Love 波和Rayleigh 波质点运动的比较。

像Love 波的情况一样，可以用传播因子矩阵的方法来计算垂向分层介质的Rayleigh 波的频散。

图7.4 沿水平方向传播的基谐Love 面波（上图）和Rayleigh 面波（下图）
的位移。

Love 波是纯剪切的运动，而Rayleigh 波包含垂直和径向运动。

在这两种情况下，波的振幅都随
深度迅速衰减。

7.3 面波的解释
1、 勒夫波是SH 波相长干涉的结果
地壳中的SH 波速度比下面半空间的波速小，当地震波以一定的角度自地壳向分界面入射时，会出现超临界入射现象，在分界面上产生类全反射。

满足一定条件的类全反射均匀平面波之间发生
150
同相叠加而增强，形成相长干涉。

考虑时刻t 的A 点的超临界SH 波的波前（PQ ）和刚从地表B 点反射的SH 波的波前（P ’Q ’），为了使PQ 的质点运动与P ’Q ’的质点运动相互干涉，必须使这段行程的总相位差正好为π2的整数倍（πm 2），而相位差可以表示为：
2122φφλ
π
πφφ++==-AOB m A B
这里，λ
π
2AOB 为AOB 传播路径上的相位差别，1φ为O 点反射的相位变化，即我们前面所讲的
/
\
S S 相位差，2φ为自由表面B 点反射的相位变化，根据前面的反射系数理论，2φ=0. 而
(
)()
()
1212sin
12cos 21cos
2cos cos 1
cos 2cos 1cos 22cos cos 2
112
112
112
1
1
12
1
12
11
-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=-==-+
=
+=-=-===
βββc c H c H j H j H j j H
j H OB AO AOB j j H j OB j OB AO j H OB
注意，1β为沿着自由表面的水平传播速度。

而c 为波前传播的速度，因此c
j 1
1sin β=
.
注意到
1
1
22ββωλ
πλ
π
c
k
T
T ==
=，则1222
1-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=βλ
π
c kH
AOB
,而根据前面的SH 波反射系数公式
2
2
1
1
2
2
2
2
2
22
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
arctan
21
1
arctan
1
1
arctan
22
2
2
2
21
1
22
2
22
21
12
2
2
222
12
1122
222212112
22111222111/
\
1
1
1
1
1111cos cos cos cos p
p i p
p i p
p i e
e
e
p i p p i p p p p p S S --------==
-
+----=
-+----=
+-=
βμβμβ
μβμβμβμβ
μβ
μβμβμββρββρββρββρθβρθβρθβρθβρ
即SH 波在地壳底部反射的相位超前为
2
211
2
2
2
2
1
1
arctan
2p
p --βμβμ
151
因此有：πβμβμβm p
p c kH
21
1
arctan 2122
2
1
1
2
2
2
2
2
1+--=-⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛
这正好为勒夫波的频散方程。

2、 瑞雷波是P ,SV 相互干涉的结果
当SV 波以s i 角度入射到自由表面时，设可以全部转换为P 波，则根据反射系数公式，应有：
02cos 2sin 2sin 2
22=-s s p i i i αβ
我们利用视速度来求解：s
p
i i c sin sin βα=
=
c 为自由表面上观测的地震波速度。

将上式代入第一式可得：
2
12
22
12
22
2
2)
1()
1(4)2(β
α
β
c
c
c
-
-
=-
这就是瑞雷方程。

7.4 频散
当不同频率成分的波以不同的速度传播时，脉冲在传播中不会保持同样的形状，而是随着频率而分离。

这导致干涉效应，使得除了在由波的群速度所规定的某些特定的时间外，能量相互抵消。

下面通过考虑两个频率的波束稍有不同的谐波求和来加以说明：
()()()x k t x k t t x u 2211cos cos ,-+-=ωω
相对于平均频率ω和波数k ，有：
k
k k k k k δδωωωδδωωω+=+=-=-=2211,
,
因此有：()()()
()()[]()()[]()()
kx t kx t kx t kx t kx t kx t kx kx t t kx kx t t t x u δδωωδδωωδδωωδδωωδδωω--=-+-+---=--+++--=cos cos 2cos cos cos cos ,
这里我们利用了恒等式)cos()cos(cos cos 2B A B A B A -++=，所产生的由平均频率ω的信号组成，其振幅由频率为δω得较长周期的波来调制。

在声学上，这种现象称为节拍。

当两个音乐有些走调时会观测到这种现象。

短周期的波以速度k ω传播，较长的周期波的包络线以速度k ωδ传播。

前者叫做相速度c ，后者称为群速度U 。

当δω和k δ趋于零时，即有：dk
d U ω=
152
这与前面的结果一致。

利用谐波参数之间的各种关系，可以把群速度表示为： ()
1
2
1-⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛==+===
ωωωω
ωω
ω
ωd dc k c c dc cd d c d d dk d U dk dc k
c dk ck
d dk d U
Love 波和Rayleigh 波的相速度c 通常随周期的增大而增大，于是ωd dc 为负。

群速度小于相速度。

图7.6给出了根据PREM 模型计算的Love 波和Layleigh 波的频散曲线。

图7.5 两个频率稍有不同的波之和导致一个谐波，群速度
153
是波包的速度，相速度是各个波峰的速度
图7.6 根据各向同性的PREM 模型计算的Love 波和
Rayleigh 波频散曲线（Gabi Laske 的教程）
实际上地震波是由许多频率不同的简谐波相互叠加而成，其频谱是连续的，可以写成形式：()()()
⎰
∞
∞
--=
dk e
k g t x f ct x ik ,
其中()k g 为波的振幅谱，令()ct x k -=θ，θ即为波的相位，每一个简谐波都以自己的相速度c 传播，而相速度c 为ω和k 的函数，即对不同波数的简谐波，其相速度是不同的。

这些简谐波在传播过程中相互干扰，而使θ为常数的波数0k 处，它们相互叠加而使振幅增强，而θ为常数在数学上意味着：
00
=k dk
d θ或
()[]()0=-=-
=
-=
Ut x t dk
kc d x ct x k dk
d dk
d θ则:
()0k k dk dc k c dk
kc d t
x =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+==
该式表明波数为0k 的波的极大振幅经过t 时间后传到了x 处，因此t
x 就是波数为0k 的波的群速度U 。

这从另外角度说明了群速度和相速度的关系。

现在在0k k =处展开（）式的被积函数，当x,t 充分大时，一般振幅谱函数()k g 在0k k =附近比指数部分的变化慢很多，因此可设()()0k g k g ≈。

()k θ在0k k =附近进行泰勒展开得：()()()()
() +-+
-+
-+
====3
03
3
2
02
2
000
!31!21k k
dk
d k k dk
d k k
dk
d k k k k k k k k θθθθθ忽略二阶项以上的高阶
项，并考虑群速度使得
00
=
=k k dk
d θ得: ()()()2
02
2
00
!21k k
dk
d k k k k -+
==θθθ
154
则：
()()()
()()
()()()
⎰
⎰
⎰
∞
∞
-±=∞
∞
--∞
∞
--=
==
=dx
e
e
k g dk
d dk
e e
k g dk e
k g t x f ix
k i k k k k dk d i
k i ct x ik k k 2
2
00
2
2
02
2
2102,θθθθ
其中
00
2
2
>=k k dk
d θ对应于被积函数的正号，
00
2
2
<=k k dk
d θ对应于被积函数的负号。

由数学手册可以查到菲涅尔积分公式
()()2
sin ,2
cos 2
2
ππ=
=
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-dx
x
dx
x
，并注意到
4
4s i n 4c o s 2222
22
2
2
π
ππππππ
π
i
e i i i
±=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
±=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
±=±，可得：
()()()⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡
±==
402
2
00
2,πθθπk i k k e
k g dk
d t x f ，其中
00
2
2
>=k k dk
d θ对应于正号，
00
2
2
<=k k dk
d θ对应于负号。

考虑到 ：
()t dk U
d Ut x dk d t dk d x dk d dk ct kx d dk d dk
d -=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
ωθ)(2
2
所以：
()()()()⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡
-=
40002,ππ t k c x k i e
k g dk
U d t
t x f ，其中当
dk
U d >0对应于负号。

而
ω
ω
ωωd U d x
U d U d t
k
d d d U d t
dk
U d t
===，则()()()()⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡
-=
40002,ππ t k c x k i e
k g dk
U d x
t x f
其中
k
d U d >0对应于负号。

由此可见，由于频散，使得随着x 的增大，振幅以2
1-
x
衰减， 而面波是沿
着表面呈柱状向外扩散的，因扩散造成的衰减因子为2
1-
r。

当
k
d U d =0时，上式并不成立，此时必须考虑()
k θ的三阶展开项，得到的()t x f ,的表达式可以表示为正比于Airy 函数的表达式，其推导已超出本书的范围，请参看傅承义等的《地球物理学基础》。

在此种情况下频散曲线群速度出现极小值。

在地震记录图上相应的面波振幅为极大，称为埃利相(Airy phase)。

埃利相附近的振幅以3
1-r 的形式缓慢衰减，所以当r 足够大
时，埃利相占面波的主要部分，这已被地震观测所证实。

地球内部Rayleigh 波的Airy 震相在50s 和200s
左右的周期出现。

波包
震源激发的面波不是离散的频率点，而是具有连续的频率分布。

随着这些波远离震源，它们随频率散
155
开。

总的面波位移为所有传播的谐波的叠加。

考虑到以0ω为中心的有限频带宽度ω∆的幅度均匀的连续频率谐波的叠加，有:()[]⎰∆+∆--=
00
cos ωωωω
ωωωd x k t U
对于较小的ω∆，我们对()ωk 进行泰勒展开有：()()() +-⎪⎭⎫
⎝⎛+=000
ωωωωωω
d dk k k
忽略两阶以上的小量，代入上式进行积分， ()()()⎪
⎪⎭
⎫
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-
- ⎝⎛
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫
⎝⎛-=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
⎰∆+∆-x k x d dk x d dk t x k x d dk x d dk t x d dk t d x k x d dk x d dk t U 00
000
02
200
0000
000
002sin 2sin 1
cos ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ω
ωω 考虑到()()βαβαβα--+=sin sin cos sin 2，令⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛-∆=x d dk t Y 0
2ωωω，上式可以表示为：()()x k t Y
Y U 00cos sin ωωω
-∆=
考虑到()Y
Y Y c sin sin =
（见图），我们发现余弦谐振波的叠加被峰值在Y=0处的sinc 函数所调制，
其旁瓣振幅很快减小至零。

这样考虑到连续频率变化的波被调制为独立的波包。

7.5 全球面波
在地球里Love 波和Rayleigh 波沿从震源幅射出发的大圆通道传播。

因为面波限于地球
表面，因此与体波（在体积里传播）比较，其几何扩散效应减小。

对一个特定的接收器的位置，第一个面波波至沿较小的（短的）大圆弧传播，后面的波至沿地球相反一边的大圆弧传播（图7.7）。

第二个波至是经过对映点的面波。

这对映点正好位于与震源相反的地球的另一
156
边。

第一个和第二个到达的Love 波至分别叫做1G 和2G ，而相应的Rayleigh 波至叫做1R 和2R 。

这些波没在接收器的地方停下来，而是继续环绕地球传播。

因此在大地震后的许多小时里观测到一系列的后续的波至。

编号奇数的面波（例如，531,,R R R 等等）从震源出发，沿小圆弧的方向传播，而偶数的面波沿大圆弧的方向传播。

图7.7 前三个Rayleigh 波的射线路径
可用图7.8作图解说明。

图中画出了在秘鲁NNA 的IRIS/IDA 台站记录汤加消减带发生的
230公里深度的地震的三分向运动的图。

注意，SH 偏振的Love 波在水平方向最突出，而SV
p /偏振的Rayleigh
波主要在垂直和径向分量出现。

由波至振幅随时间的减小可以看出面波的衰
157
减。

在长周期的情况下，Rayleigh 波是充分相干的，许多不同地震的记录可能迭加在一起，形成反映面波波至的地震波场的全球图像（图7.9）（Shearer ，1994）。

垂直分向的图像可对我们在这章提出的许多概念作出说明。

Rayleigh 波是很明显的，特别是在这张图的后部更清楚。

甚长周期（≥300秒）的波传播最快，先于在艾里相位频带里的周期明显短的波到达。

艾里震相的高振幅是由群速度频散曲线在240秒附近有局部最小值所造成的。

相速度与群速度之间的差别可以在艾里相位的图像中清楚地看出来。

由地震图上波峰和波谷所规定的恒定相位线与能量运移总的方向不平行，而是在接近于水平的取向上相交，这是由于相速度比群速度高些所致。

图7.8 在秘鲁的NNA 的IRIS/IDA 台站记录的1989年3月11日汤加海沟230公里深度的垂直、径向和
横向运动分量。

在垂直和径向分量，、SV
P 和Rayleigh 波最明显，SH 和Love 波在横向出现。

在第一个Rayleigh 波（1R ）之前的三角形区域的图像中也可以看到较大的P 和SV 体波震相。

在1R 和第二个Rayleigh 波（2R ）之间有其他明显的体波波至。

这些波至包括某些P 波震相，但最突出的是在地表多次反射的高阶位的S 波和多次反射所产生的P S 转换震相族。

这些震相可追踪到超过720°，是Rayleigh 波波至之间地震能量的主要来源。

在面波的文献中，这些波至叫做谐波波包，有时称之为X 震相。

7.6 观测的面波
面波通常是远距离最强的波至，包含了地壳和上地幔结构以及震源的大量信息。

大量的面波观测结果是基于这样的事实：在一张地震图上，可以在许多不同的频率测量速度，直接提供震源—接收器路径的各个地方的速度—深度剖面约束。

而相应的体波观测结果只提供每个震相的单一的走时，要用其来还原完整的速度结构，需要有震源—接收器之间大范围里的许多台站。

158
图7.9 在垂直分向地震仪上作为地震的时间和距离函数的地球长周期地震响应图像。

正的振幅用黑线表示，负的振幅用白线表示。

在展现前3小时数据的左边的图上，Rayleigh 波1R 和2R 很明显。

在右
边的图上可以看到3R 和4R 。

多数面波研究的主要目的是确定在一系列周期的群速度和相速度。

这可以按几种方法来做。

如果震源位置和发震时间是已知的，那么可以根据在某个台站的面波记录，在某个特定的频率测量能量传播到这台站的走时来估算群速度。

其做法是把窄带通滤波器用于记录，把目标频率的波分离出来，或用更原始些的做法，测量每张频散地震图中，相邻的两个波峰之间的时间。

同样的方法可以用来确定经过震源的大圆弧射线路径上两个台站之间的群速度。

办法是测量这两个台站的到时之差。

此方法（双台方法）不要求有精确的震源位置，只要位置近似是正确的就可以。

多数现代面波分析研究测量的是相速度，而不是群速度。

做法是通过计算记录的付里叶谱来确定每个频率成份的相位。

如果在震源的相位是已知的（这要求知道这个地震的震源机制或矩张量），那么可以用一个接收器来测量相速度。

另一方面也可以用双台方法来确定一对接收器之间的相速度。

相速度测量的复杂性在于某特定的频率观测的相位φ只在π20-之间变化，而通常在观测点之间有许多周期，所以总的相移φ实际上是φπ+n 2，这里n 是整数。

例如考虑用在90°和120°的台站测量图7.9中240秒周期（接近于高振幅艾里相位的卓越周期）的Rayleigh 波的相速度。

在这些距离里单独测量相位不能告诉我们怎么在这些台站之间存在许多周期n 。

如果没有独立地知道n ，就不能确定相速度。

在长周期的情况下，这不是重要的问题，因为n 可以根据标准的一维地球模型来估算。

然而，在短周期的情况下，
159
因为在上地幔速度的横向变化造成n 随位置和距离变化，要估算可信的n 是相当困难的。

在这种情况下，一个有效的方法是首先测量最大周期的相速度。

然后，保持总的累积的相移φ的轨迹，逐渐向比较小的周期移动。

结果给出的相速度频散曲线是平滑的，是频率的连续函数。

用全球分布的震源和接收器所开展的面波相速度的综合研究可以用来反演Love 波和Rayleigh 波速度图像。

做法是对每个周期独立地用类似于第5章讨论的体波速度反演的方法。

在这些图像中所展现的结构与地球横向速度变化有关。

不均匀性与深度的依赖关系可以用不同周期的结果来约束。

反演面波相速度观测结果是当前分辨地幔上部几百公里三维速度变化的最好方法之一。

7.7 简正模型
至今我们考虑的仿佛是无穷大的地球的体波和面波的传播。

然而，地球是一个有限体，在地球里所有波的运动必然受到限制。

体波在地球表面反射，面波沿大圆路径环行。

在地球表面的一特定的点，有一系列不同震相的波到达。

这些波至的同步将导致相长或相消干涉，使得只有一定的频率在长的时间间隔里产生共振。

这些共振的频率叫做地球的简正模型，它提供了一种代替行波来描述传播的方法。

一个两端固定的绳子的振动提供了我们在物理教科书中熟悉的模拟。

这绳子只有在一定的频率才会共振（图7.10）。

这些叫做绳子的驻波，绳子的任何运动都可以用这些驻波的加权和来表示。

这是一个本征值问题，共振的频率叫做本征频率，这绳子的位移叫做本征函数。

在音乐乐器中，最低的频率叫做基谐模型，高频模型是泛音或谐音。

对振动的绳子，本征函数是正弦和余弦，
习惯上采用付里叶表达式:
222221t u c x u ∂∂=∂∂ ()()()()()()modes
normal ions;Eigenfunct / sin pattern nt displaceme )1(encies Eigenfrequ 0,1,2,....n ,)1(/
.0/ sin 2 0t)u(L,C2;
C1 0t)u(o,0
t)u(L,t)u(o, :B.C ,0
:,,: n 1/ 2/12122
⇔+=
⇔∞=+==⇒=-=⇒===+=+==+''=-+-c x e L n c n c L c L i e C e
C e C t x u e C e C c get e t x u let n t i t i c x t i c x t i i c i t i n ωπ
ωπωωϕϕωϕϕωωωωωωω
160
图7.10 两端固定的绳子振动的前四种波型
地球的简正模型也用本征频率和本征函数来说明。

地球简正模型理论的详细论述已超出本书的范围，实际地球的本征解的计算是艰难的工作。

然而，牢记任何振动系统的本征函数的某些性质是有用的：
（1）它们是完整的。

在地球里任何波的运动都可以表达为不同激振因子的简正模型的和。

（2）就任何两个本征函数的乘积对整个地球体积积分为零这个意义上来说，它们是正交的，这意味着简正模型描述波的运动是唯一的。

地球的简正模型看起来像什么呢？对球对称的固体，它可能表明有两种明显不同类型的模型：类似于SV p /和Rayleigh 波运动的球型振荡和类似于SH 和Love 波运动的环型振荡。

地球的不完全球对称意味着不能完全做这样的区分，但这是很好的一级近似。

环型振荡不涉及径向运动，只对剪切波速度反映灵敏，而球型振荡有径向和水平运动，对压缩波和剪切波的反映都灵敏。

长周期的球型振荡的观测结果对重力的反映也灵敏，是对地球密度结构的最好的、直接的地震约束。

而由于环型振荡只涉及到地球的切向运动，与重力场无关。

最好是用球谐来描述简正模型本征函数的横向变化。

球谐给出了球面上一组正交的基函数（球谐在地球物理许多领域是有用的，适用于描述球面的函数，其叙述在许多标准的教科书中都可以找到；见Aki 和Richard （1980）、Lay 和Wallace （1995）关于地震学的论述）。

球谐函数可以表达为m l Y ，这里l 叫做角序数，m 是方位序数。

指数l 有时也叫做球谐的次，是可
取任意值的整数。

方位序数m 的数目为12+l ，其值在l ±之间。

序数确定了这函数中出现的零点相交线的数目。

这零点相交线的总数由l 给出。

经过极点的零点相交线的数目由m 给出。

图7.11给出的一些低谐次的m l Y 的例子。