(教师用书)高中数学 第二章 推理与证明章末归纳提升课件 新人教A版选修2-2

法一：综合法
∵a>0，b>0，a＋b＝1， 1 1 1 ∴1＝a＋b≥2 ab， ab≤2，ab≤4，∴ ≥4. ab 1 1 1 1 b a 又 ＋ ＝(a＋b)( ＋ )＝2＋ ＋ ≥4， a b a b a b 1 1 1 1 ∴ ＋ ＋ ≥8(当且仅当 a＝b＝ 时等号成立)． 2 a b ab
2．分析法证明的逻辑关系 分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着 分析，逐渐地靠近已知． 用分析法证“若 P，则 Q”这个命题的模式是： 为了证明命题 Q 为真，从而有…… 这只需证明命题 P1 为真，从而有…… 这只需证明命题 P2 为真，从而有…… …… 这只需证明命题 P 为真． 而已知 P 为真，故 Q 必为真．
三角形的面积等于任意一 边的长度与这边上高的乘 积的一半 三角形的面积等于其内切 圆半径与三角形周长的乘 积的一半
三棱锥的体积等于任意一 个面的面积与该面上的高 的乘积的三分之一
【思路点拨】 (1)观察后一个图形与前一个图形中小正 方形个数的关系． (2)根据前两组类比特点，找出类比规律．
【规范解答】 (1)设第 n 个图形中小正方形的个数为 Sn， 观察图形，当 n＝1 时，S1＝2＋1；当 n＝2 时，S2＝3＋2＋1； 当 n＝3 时，S3＝4＋3＋2＋1；当 n＝4 时，S4＝5＋4＋3＋2 ＋1；当 n＝5 时，S5＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…，可得 Sn＝(n [1＋n＋1]· n＋1 ＋ 1) ＋ n ＋ (n － 1) ＋ … ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ ＝ 2 n2＋3n＋2 . 2
法二：分析法 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， 1 1 1 要证 ＋ ＋ ≥8， a b ab 1 1 a＋b 只要证( ＋ )＋ ≥8， a b ab 1 1 1 1 只要证( ＋ )＋( ＋ )≥8， a b b a 1 1 即证 ＋ ≥4. a b a＋b a＋b 也就是证 ＋ ≥4. a b
x2 3n－2 ∴ ＝ ，∴x＝ 3n－2. 4 4 即 an＝ 3n－2(n≥3)． 经验证知 an＝ 3n－2(n∈N*)．
【答案】 an＝ 3n－2
(2)已知点 O 是△ABC 内任意一点，连接 AO、BO、CO OA′ OB′ OC′ 并延长交边于 A′、B′、C′，则 ＋ ＋ ＝1. AA′ BB′ CC′ OA′ 这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： ＋ AA′ OB′ OC′ S△OBC S△OCA S△OAB S△ABC ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＝1，那么在空间 BB′ CC′ S△ABC S△ABC S△ABC S△ABC 四面体 A－BCD 中存在怎样的结论？并证明．
图 2－1
【解析】 设 OAn＝x(n≥3)，OB1＝y，∠O＝θ， 1 记 S△OA1B1＝2×1×ysin θ＝S， 1 那么 S△OA2B2＝2×2×2ysin θ＝4S， S△OA3B3＝4S＋(4S－S)＝7S， …… 1 S△OAnBn＝ x· xysin θ＝(3n－2)S， 2 1 S△OAnBn 2×x×xysin θ 3n－2S ∴ ＝ ＝ ， 4S S△OA2B2 1 2×2×2ysin θ
综合法与分析法
1.综合法证明的逻辑关系 综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推 证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性， 用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A 为 已知条件或数学定义、定理、公理等，B 为要证结论)，它的 常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与 三棱锥表面积的乘积的三分之一． 【答案】 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表
面积的乘积的三分之一
(1)(2013· 安徽高考)如图 2－1， 互不相同的点 A1， A2， …， An，…和 B1，B2，…，Bn，…分别在角 O 的两条边上，所有 AnBn 相互平行，且所有梯形 AnBnBn＋1An＋1 的面积均相等，设 OAn＝an.若 a1＝1， a2＝2， 则数列{an}的通项公式是________．
1 1 1 设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： ＋ ＋ ≥8. a b ab 试用综合法和分析法分别证明．
1 1 【思路点拨】 (1)综合法： 根据 a＋b＝1， 分别求 ＋ 与 a b 1 的最小值． ab a＋b 1 1 1 (2)分析法：把 变形为 ＝ ＋ 求证： ab ab a b
【规范解答】
n2＋3n＋2 【答案】 2ห้องสมุดไป่ตู้
(2)本题由已知前两组类比可得到如下信息：①平面中的 三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长 与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三 棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积 是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“ 二分之一”，与三 棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象． 由以上分析可知：
OA′ OB′ OC′ OD′ ∴ ＋ ＋ ＋ AA′ BB′ CC′ DD′ VO－BCD VO－ACD VO－ABD VO－ABC ＝ ＋ ＋ ＋ VA－BCD VB－ACD VC－ABD VD－ABC VO－BCD＋VO－ACD＋VO－ ABD＋VO－ ABC ＝ ＝1， VA－BCD OA′ OB′ OC′ OD′ 即 ＋ ＋ ＋ ＝1. AA′ BB′ CC′ DD′
合情推理
1.归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
(1)观察下列图形中小正方形的个数，则第 n 个 图形中有________个小正方形．
(2)(2013· 青岛高二检测)请用类比推理完成下表：
平面 三角形两边之和大于第三 边
空间 三棱锥任意三个面的面积 之和大于第四个面的面积
【解】 在四面体 A－BCD 内，任取一点 O，连接 AO、 BO、CO、DO，并延长交对面于 A′、B′、C′、D′， OA′ OB′ OC′ OD′ 则有 ＋ ＋ ＋ ＝1. AA′ BB′ CC′ DD′ 在四面体 O－BCD 与四面体 A－BCD 中， OA′ VO－BCD ＝ ， AA′ VA－BCD OB′ VO－ACD OC′ VO－ABD OD′ VO－ABC 同理有 ＝ ， ＝ ， ＝ ， BB′ VB－ACD CC′ VC－ABD DD′ VD－ABC