备战2023年北京市中考数学全真模拟试卷一(含解析)

黄金卷1
（满分100分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列立体图形中，从正面看得到的图形是圆的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【详解】解：从正面看选项A 中的图形是两个长方形， 从正面看选项B 中的图形是长方形， 从正面看选项C 中的图形是三角形， 从正面看选项D 中的图形是圆， 故选D
2．2022年12月28日，第26届长春冰雪节开幕．长春市重点打造的世界级冰雪主题乐园-“长春冰雪新天地”流光溢彩，该园占地超1560000平方米．数字1560000用科学记数法可以表示为（ ） A ．51.5610⨯ B ．61.5610⨯
C ．415610⨯
D ．515.610⨯
【答案】B
【详解】解：61560000 1.5610=⨯， 故选：B ．
3．如图，AB CD P ，若165∠=︒，则2∠的度数是（ ）
A ．65︒
B ．105︒
C ．115︒
D ．125︒
【答案】C
【详解】解：如图，AB CD ∥Q ，
23180∴∠+∠=︒，
1365∠=∠=︒Q ， 265180∴∠+︒=︒，
218065115∴∠=︒−︒=︒，
故选：C ．
4．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A ．a b <
B ．0a b +<
C ．0a b −>
D ．0ab >
【答案】A
【详解】解：根据题意，得21a −<<−，23b <<， ∴12a <<，23b <<，
∴a b <，0a b +>，0a b −<，0ab <， ∴选项A 正确，选项B 、C 、D 错误． 故选：A ．
5．学校新开设了航模、彩绘两个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为（ ） A ．23
B ．1
2
C ．13
D ．14
【答案】B
【详解】解：由题意，画树状图如图所示：
由图可知，征征和舟舟选择社团共有4种等可能的结果，其中，征征和舟舟选到同一社团的有2种情况，
则征征和舟舟选到同一社团的概率是2142
P ==． 故选：B ．
6．若关于x 的方程20x mx n ++=有两个相等的实数根，则方程21x mx n ++=−的根的情况是（ ） A ．只有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根
【答案】D
【详解】Q 20x mx n ++=有两个相等的实数根， 24=0m n ∴−，
一元二次方程21x mx n ++=−，即2+10x mx n ++=，
()222=4=4+1=44=04=40b ac m n m n ∆−−⨯−−−−<，
使用方程21x mx n ++=−没有实数根． 故选：D ．
7．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形，且对称轴条数最多的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【详解】解：A .既是中心对称图形又是轴对称图形，有2条对称轴； B .既是中心对称图形又是轴对称图像，有2条对称轴； C .既是中心对称图形又是轴对称图形，有4条对称轴； D .不是中心对称图形，是轴对称图形，有3条对称轴 故选：C
8．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）
A ．圆的面积y 与它的半径x ；
B ．正方形的周长y 与它的边长x ；
C ．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ；
D ．小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y 与平均速度x ； 【答案】C
【详解】解：A 、圆的面积y 与它的半径x 的关系式为2y x π=，变量y 与变量x 之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；
B 、正方形的周长y 与它的边长x 的关系式为4y x =，变量y 与变量x 之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；
C 、设铁丝的长度为a ，则矩形的面积221
22
a x
y x x ax −=⋅=−+，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如
图所示的图像表示，故此选项符合题意；
D 、设路程为s ，则所用时间y 与平均速度x 的关系式为s
y x
=，变量y 与变量x 之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意， 故选：C ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9
x 的取值范围是___________． 【答案】2x ≤
【详解】解：根据题意，得20x −≥， 解得2x ≤． 故答案为：2x ≤．
10．把多项式22369a b ab b −+分解因式的结果是________． 【答案】2(3)b a b −
【详解】解：22369a b ab b −+ ()2269b a ab b =−+
2(3)b a b =−．
故答案为：2(3)b a b −． 11．分式方程
3122x x
x x
−+=−−的解是_____． 【答案】x 5
3
=
【详解】解：
3122x x
x x
−+=−−， 去分母得：3﹣x ﹣x ＝x ﹣2， 解得：x 5
3
=，
经检验x 5
3=是分式方程的解．
故答案为：x 5
3
=．
12．如图，平面直角坐标系中，若反比例函数()0k
y k x
=
≠的图象过点A 和点B ，则a 的值为______．
【答案】3
2
##1.5
【详解】解：依题意，将点()1,3A −代入k
y x
=
，得出3k =−， ∴反比例数解析式为3
y x =−，
当2x =−时，32
y =， 即32
a =
， 故答案为：3
2
．
13．为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是____________分钟．
【答案】70
【详解】解：由表可知： ∵6＞4＞2＞2＞1，
∴这组数据的众数是70分钟．
故答案为：70．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是________．
【答案】5
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
△DAE和△DAC中，
AD平分∠BAC，则∠DAE=∠DAC，
∠DEA=∠DCA=90°，DA=DA，
∴△DAE≌△DAC（AAS），
∴DE=DC=2，
∴△ABD的面积=1
2×AB×DE=1
2
×5×2=5，
故答案为：5；
15．如图，ABCD中，连接BD，E是BD上一点，连接AE并延长交CD于F，交BC延长线于点G，若2,3
EF FG
==，则AE=________．
【详解】解：如图，过点E作EH AD
∥，
∴EFH AFD ∽V V ， ∴
EH EF AD AF =，即2
2
EH AD AE =+， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AD BC =， ∴EH BC ∥， ∴DEH DBC ∽V V ， ∴
EH DE
BC BD
=， ∵AD BC ∥，
∴ADE GBE ∽V V
， ∴AE AD DE EG BG BE
==， ∴DE AE
BD AG
=， ∴AE EH AG BC =，即23AE EH
AE AD
=++， ∴
2
232
AE AE AE =+++，
解得：AE =
，
16．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：
（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为_____元；
（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为_____元．
【答案】160180
【详解】解：(1)由统计表可知:如果该快递员一天工作8小时只送甲类件，则他的收入是
1×145=145(元)
如果该快递员一天工作8小时只送乙类件，则他的收入是
2 × 80= 160 (元)
∴他一天的最大收入是160元;
(2)依题意可知：x和y均正整数，且x+y= 8
①当x=1时，则y=7
∴该快递员一天的收入是1 ×30+2×70=30+ 140= 170 (元)；
②当x=2时，则y=6
∴该快递员-天的收入是1×55+2×60=55+120=175(元)；
③当x=3时，则y=5
∴该快递员一天的收入是1× 80+2×50= 80+ 100= 180 (元)；
④当x=4时，则y=4
∴该快递员一天的收入是1×100+2×40= 100+80 = 180 (元)；
⑤当x=5时，则y=3
∴该快递员一天的收入是1×115+2×30=115十60 = 175 (元)；
⑥当x=6时，则y=2
∴该快递员一天的收入是1 × 125+ 2× 20= 125+40 = 165 (元)；
⑦当x=7时，则y=1
∴该快递员一天的收入是1×135+2×10=135+20= 155 (元)
综上讨论可知：他一天的最大收入为180元.
故填：160；180.
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第
25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．（5分）计算：()2023
3tan 4512sin 60−+︒+−−︒．
【答案】3
【详解】解：()
2023
3tan 4512sin 60−+︒+−−︒
31122
=+−−⨯
3=
18．（5分）解不等式组()815171062x x x x ⎧+>−⎪
⎨−−≤⎪⎩
．
【答案】25
23
x −
≤＜ 【详解】8(1)51710
62x x x x +−⎧⎪
⎨−−≤⎪⎩
＞①②， 由①式得：25
3
x ≥−
； 由②式得：2x ≤； ∴不等式组的解集为：25
23
x −
≤＜ 19．（5分）先化简，再求值：()()()2
12323x x x +−+−，其中x 满足23220320x x −−=． 【答案】23210x x −++，2022− 【详解】解：()()()2
12323x x x +−+−
222149x x x =++−+ 23210x x =−++， ∵23220320x x −−=，
∴2322032x x −=，即2322032x x −+=−， ∴当23220320x x −−=时， 原式2032102022=−+=−．
20．（5分）（1）如图1，三角形ABC 中，试用平行线的知识证明180A B C ∠+∠+∠=︒；
（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明D A B C
∠=∠+∠+∠．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）证明：如图，延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∵BA∥CE，
∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等），
∠A=∠2（两直线平行，内错角相等），
又∵∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
（2）证明：连接AD并延长，如图1，
∵∠2=∠1+∠B，∠4=∠3+∠C，
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C．
即∠D=∠A+∠B+∠C.
∠=∠，21．（6分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE DF
=，A D =．
AB DC
(1)求证：四边形BFCE 是平行四边形；
(2)如果7AD =，2DC =，60EBD ∠=︒，那么当四边形BFCE 为菱形时BE 的长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)3
【详解】（1）证明：AB DC =Q ，
AC DB ∴=，
在AEC △和DFB △中，
AC DB A D AE DF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()SAS AEC DFB ∴V V ≌，
BF EC ACE DBF ∴=∠=∠，， EC BF ∴∥，
∴四边形BFCE 是平行四边形；
（2）当四边形BFCE 是菱形时，BE CE =，
722AD DC AB CD ====Q ，，， 7223BC ∴=−−=， 60EBD ∠=︒Q ，BE CE =， BEC ∴V 是等边三角形，
3BE BC ∴==，
∴当四边形BFCE 是菱形时，BE 的长是3．
22．（5分）如图，已知直线，5y x =+与x 轴交于点A ，直线y kx b =+与x 轴交于点()10B ,，且与直线5
y x =+交于第二象限点()C m n ，．若ABC V 的面积为12．
(1)求点A 、点C 的坐标；
(2)写出关于x 的不等式5x kx b +>+的解集． 【答案】(1)()5,0A −；点C 坐标为()1,4− (2)1x >−
【详解】（1）解：在直线5y x =+中，令0y =，则50x += 解得：5x =−，
()5,0A ∴−； ()1,0B Q ，
()156AB ∴=−−=， ()C m n Q ，，
11
631222
ABC C S AB y n n =
⋅=⨯==V Q ． 4n ∴=，
Q 点(),C m n 在直线AB 上，
54m n ∴+==，
1m ∴=−，
∴点C 坐标为()1,4−；
（2）解：由图象可知，不等式5x kx b +>+的解集为1x >−．
23．（6分）某校举办了一次 “成语知识竞赛”，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组各10名学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．
(1) =a _____，b =_____；
(2)小军同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上”观察表格试分析判断，小军是哪个组的学生；
(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意他的说法，认为乙组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 【答案】(1)6.8，7.5 (2)小军属于甲组学生
(3)①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定
【详解】（1）解：由题意，得()1
31657192101 6.810
a =
⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 把乙组成绩从低到高排在中间的两个数为7分，8分，故()7827.5b =+÷=． 故答案为：6.8，7.5；
（2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小军的成绩位于小组中上游 ∴小军属于甲组学生；
（3）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高； ②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．
24．（6分）如图，ABC V 是O e 的内接三角形，CD 是O e 的直径，AB CD ⊥于点E ，过点A 作O e 的切线交CD 的延长线于点F ，连接FB ．
(1)求证：FB 是O e 的切线．
(2)若AC =1
tan 2
ACD ∠=，求O e 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)O e 的半径为5．
【详解】（1）证明：连接OA OB 、，
∵在O e 中，OA OB =，AB CD ⊥于点E ， ∴AOF BOF =∠，
在OAF △和OBF V 中，OA OB AOF BOF OF OF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩，
∴()SAS OAF OBF ≌△△． ∴OAF OBF ∠=∠．
又∵AF 切O e 于点A ，OA 为O e 半径， ∴OA FA ⊥， ∴90OAF ∠=︒． ∴90OBF ∠=︒． ∴OB FB ⊥于点B ． ∴FB 是O e 的切线；
（2）解：∵AB CD ⊥，1tan 2
ACD ∠=， ∴1
tan 2
AE ACD CE ∠=
=， ∴2CE AE =，
∵AC =
∴2
2
2
AE CE AC +=，即(
)(2
2
2
2AE AE +=，
∴4AE =，8CE =，
设O e 的半径为r ，则OA OC r ==，8OE r =−， 在Rt AOE △中，222AE EO AO +=，即()2
2248r r +−=， 解得=5r ， ∴O e 的半径为5．
25．（5分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2
116
y x bx c =−
++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．
(1)点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______； (2)求满足的函数关系2
116
y x bx c =−
++； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 【答案】(1)()0,70A ，()40,30P ； (2)213
70162
y x x =−++； (3)18m
【详解】（1）解：70m OA =Q ，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ， ()0,70A ∴，()40,30P ；
（2）解：把()0,70A ，()40,30P 代入2
116
y x bx c =−++ 得，2
70130404016c b c =⎧⎪⎨=−⨯++⎪⎩， 解得，3270
b c ⎧=
⎪⎨⎪=⎩， 213
70162
y x x ∴=−
++； （3）解：60m OC =Q ，
∴设直线BC 的表达式为()600y kx k =+≠，
把()40,30P 代入，得304060k =+，
解得，3
4
k =−，
3
604
y x ∴=−+，
设213,70162M m m m ⎛⎫
−++ ⎪⎝⎭
到BC 竖直方向上的距离最大，作MN y ∥轴交抛物线和直线BC 于点M 、N ，
∴3,604N m m ⎛⎫
−+ ⎪⎝⎭，
213370601624MN m m m ⎛⎫
∴=−++−−+ ⎪⎝⎭
219
10164
m m =−++ ()2221
3618181016
m m =−
−+−+ ()2
1811810164m =−−++ ()2
112118164
m =−
−+ ()2
118016
m −
−≤Q ， ∴当18m =时，MN 最大，即水平距离为18m 时，运动员与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)m −，(4,)n −在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为x t =．
(1)当2c =，m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；
(2)点()()00,1x m x ≠−在抛物线上．若m n c <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围． 【答案】(1)抛物线与y 轴的交点坐标为：()0,2， 52
x t ==−．
(2)5
22
t −<<−，0x 的取值范围043x −<<−．
【详解】（1）解：∵2c =，
∴抛物线为：22(0)y ax bx a =++>， ∴当0x =，则2y =，
∴抛物线与y 轴的交点坐标为：()0,2，
∵m n =，
∴点(1,)m −，(4,)n −关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线145
22
x t −−===−． （2）∵m n c <<，
∴164a b c a b c c −+<−+<， 解得45a b a <<，
∴54a b a −<−<−， 而2>0a ， ∴5222b a −<−
<−，即5
22
t −<<−， ∵点(1,)m −，()()00,1x m x ≠−在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线01
2
x x −=， ∴0
1
5222
x −−<<−， 解得：043x −<<−， ∴0x 的取值范围043x −<<−．
27．（7分）在Rt ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，P 是直线AC 上的一点，连接BP ，过点C 作CD BP ⊥，交直线BP 于点D ．
(1)当点P 在线段AC 上时，如图①，求证：BD CD −=；
(2)当点P 在直线AC 上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD ，BD 与AD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)见解析
(2)如图②CD BD −=，如图③CD BD += 【详解】（1）证明：如图1，在BD 上截取BE CD =，
90BAC BDC ∠︒∠==Q ，
90ABP APB ∴∠+∠=︒，90ACD DPC ∠+∠=︒．
APB DPC ∠=∠Q ，
ABP ACD ∴∠=∠．
又AB AC =，
(SAS)ABE ACD ∴V V ≌，
AE AD ∴=，BAE CAD ∠=∠．
90EAD EAP CAD EAP BAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒．
在Rt AED V 中，22222DE AE AD AD =+=，
∴
DE =∴BD CD BD BE ED −=−==；
（2）解：如图2，CD BD −=． 在CD 上截取CE BD =，连接AE ，
由（1）可知△≌△ADB AEC ， AE AD ∴=，BAD CAE ∠=∠，
90EAD BAE BAD BAE CAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，
在Rt AED V 中，22222DE AE AD AD =+=，
DE ∴=，
CD BD CD CE DE ∴−=−==，
CD BD ∴−=．
如图3，CD BD +=．
延长DC 至点E ，使得CE BD =，连接AE ，
90BAC BDC ∠︒∠==Q ，
180ABD ACD ∴∠+∠=︒，180ACD ACE ∠+∠=︒， ABD ACE ∴∠=∠，
在ABD △和ACE △中，
AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， (SAS)ADB AEC ∴V V ≌，
AE AD ∴=，BAD CAE ∠=∠，
90EAD CAE CAD BAD CAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，
在Rt AED V 中，22222DE AE AD AD =+=，
DE ∴=，
CD BD CD CE DE ∴+=+==．
28．（7分）在平面直角坐标系中，对点(),P a b 作如下变换：若a b ≥，作点P 关于y 轴的对称点；若a b <，作点P 关于x 轴的对称点，我们称这种变换为“YS 变换”．
(1)点()1,0作“YS 变换”后的坐标为___________；点()3,4−作“YS 变换”后的坐标为___________；
(2)已知点()1,2A m m ++，(),1B m ，()1,1C m +，其中01m <<，且点A ，B 作“YS 变换”后对应的点分为M ，N 两点，7
4
MNC S =
△，求m 的值． (3)已知点()1,5E ，()5,5F ，在EF 即所在直线上方作等腰直角三角形EFG ，若点1,2P a b ⎛
⎫− ⎪⎝⎭，()1,Q a b −作
“YS 变换”后对应的点分别为P '，Q '，其中a b <，若点G 在线段P Q ''上，求a 的取值范围． 【答案】(1)()1,0−，()3,4−− (2)1
2
m =
(3)
322a ≤≤或11
62
a ≤≤或742a ≤≤
【详解】（1）解：∵10> ∴作点关于y 轴轴的对称点
∴点()1,0作“YS 变换”后的坐标为()1,0− ∵34−<
∴作点关于x 轴轴的对称点
∴点()3,4−作“YS 变换”后的坐标为()3,4−−； 故填：()1,0−，()3,4−−． （2）解：∵01m <<，
∴()1,2A m m ++作YS -变换后的点为()1,2M m m +−−，
(),1B m 作YS -变换后的点为(),1N m − ∴()17
3124
MNC S m =+⨯=△ ∴12
m =
； （3）解：∵a b <，
∴点1,2P a b ⎛⎫− ⎪⎝⎭作YS 变换后的点为1,2P a b ⎛⎫
'−− ⎪⎝⎭，
点()1,Q a b −作YS 变换后的点为()1,Q a b '−−， ∵在EF 上方作等腰直角三角形EFG V ∴()1,8G 或()5,8G 或()3,7G ， 分类讨论如下：
①当()1,8G 在线段P Q ''上时，则11
1
12a a −≤⎧⎪
⎨−≥⎪⎩
， ∴
3
22
a ≤≤， ②当()5,8G 在线段P Q ''上时，则15152a a −≤⎧⎪
⎨−≥⎪⎩
，
∴
11
62
a ≤≤，
②当()3,7G ，在线段P Q ''上时，则13132a a −≤⎧⎪⎨−≥⎪⎩
， ∴
742a ≤≤ ∴
322a ≤≤或1162
a ≤≤或742a ≤≤．。