第1章离散信号与系统时域分析2

• R4(m)的非零值区间为：0≤m≤3， R4(n-m)的非 零值区间为：0≤n-m≤3，其乘积值的非零区间， 要求m同时满足下面两个不等式： 0m3 n3 m n
因此
当0 n 3时，y (n) 1 n 1
m 0 3 n
当4 n 6时，y(n)
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1.3.1 线性系统
• 满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和 x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用 y1(n)和y2(n)表示，即
y1 (n) T [ x1 (n)], y2 (n) T [ x2 (n)]
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1.3.3 线性时不变系统输入与输 出之间的关系——卷积
设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初 始状态为零，定义这种条件下系统输出称为 系统的单位脉冲响应，用h(n)表示。用公式 表示为
h(n) T [ (n)] (1.3.6)
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(1.3.8) (1.3.9) (1.3.10)
线性卷积的运算规则
x(n) (n)
m
x(m) (n m) x(n)

(1.3.11)
x(n) (n n0 ) x(n n0 )
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1.3.4系统的因果性和稳定性
判断线性时不变系统因果性的 充分必要条件：
h(n) 0, n 0
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(1.3.13)
1.3.4系统的因果性和稳定性
• 系统稳定性：
• 所谓 稳定 系统，是指系统有界输入，系统输出 也是有界的。
x(m) (n m)

那么系统输出为
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1.3.3 线性时不变系统输入输出
y (n) T [ x(m) ( n m)]
m
根据线性系统的叠加性质
y ( n)
m
x(m)T [ (n m)] x ( m) h( n m)
(1.3.2) (1.3.3)
满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3) 式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。
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1.3.1 线性系统
• 将以上两个公式结合起来，可表示成：
T [ax1 (n) bx2 (n)] ay1 (n) by2 (n) (1.3.4)
1.典型的序列 2.序列的运算规则
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• 设系统的输入用x(n)表示，按照(1.2.12)式 表示成单位脉冲序列移位加权和为
x ( n)
m
x(m) (n m)

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(1.3.12)
1.3.4 系统的因果性和稳定性
因果性：
• 如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时 刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列 无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为 因果系统。 • 例题：判断是否是因果系统
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又根据时不变性质
y ( n)
(1.3.7)
m
x ( n) h( n)
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1.3.3 线性时不变系统输入输出
y(n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)

(1.3.7)
• 式中的符号""代表卷积运算，(1.3.7)式表示线性 时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单 位脉冲响应的卷积。
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1.3.1 线性系统
y1 (n) T[ x1 (n)], y2 (n) T [ x2 (n)]
• 那么线性系统一定满足下面两个公式：
T [ x1 (n) x2 (n)] y1 (n) y2 (n) T [ax1 (n)] ay1 (n)
例题： p29, 5(2) (8) 时变还是时不变
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线性时不变系统的重要性
x(n)
y(n)
T []
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 线性时不变系统——输出怎么求
y(n) T [ x(n)]
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
• 1.2 时域离散信号 • 1.3 时域离散系统 • 1.4 时域离散系统的输入输出描述法 ——线性常系数差分方程 • 1.5 模拟信号数字处理方法
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
• 时域离散信号
信号与系统
• 信号： • 系统：是指由若干相互关联、互相作用的事物按一定规律组合而成 的具有特定功能的整体。任务是传输消息。
• 信号在系统中按一定规律运动、变化，系统在输入信号的 驱动下对它进行“加工”、“处理”并发送输出信号。
输入信号称为激励，输出信号称为响应。
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线性时不变系统——输出怎么求
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1.3.3 线性时不变系统输入输出
• 设系统的输入用x(n)表示，按照(1.2.12)式 表示成单位脉冲序列移位加权和为
x ( n)
m
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y(n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)

(1.3.7)
例题：请看版书
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1.3.3 线性时不变系统输入输出
例1.3.4 设 x(n) R4 (n), h(n) R4 (n), 求
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y(n) T [ x(n)]
x(n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
y(n)

(1.3.7)
T []
激励
响应
只要知道系统的单位脉冲响应，按照(1.3.7)式，对 于任意输入x(n)都可以求出系统的输出。
y(n) x(n) h(n)。
解 按照(1.3.7)式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4

• 上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据 矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限。
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1.3.3 线性时不变系统输入输出
1.3.4 系统的因果性和稳定性
h(n) 0, n 0
n
(1.3.13) (1.3.14)
| h ( n) |
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例题：判断是否是因果稳定系统
1. 线性时不变系统 2. 系统的因果稳定性 3. 线性时不变系统因果稳定性 的充要条件
例题：p29, 5(2)判断是否是线性系统
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1.3.2 时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系 T [] 在整个运算过 程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的 响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称 为时不变系统，用公式表示如下：
y(n) T [ x(n)]
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y(n n0 ) T [ x(n n0 )]
(1.3.5)
1.3.2 时不变系统
y(n) T [ x(n)] y(n n0 ) T [ x(n n0 )] (1.3.5)
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线性时不变系统——输出怎么求
y(n) T [ x(n)]
x(n) y(n)
T []
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1.4 时域离散系统的输入输出描述 法——线性常系数差分方程
• 描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何， 将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统 输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输 出描述法。对于线性时不变系统，经常用的是 线性常系数差分方程，本节主要介绍这类差分 方程及其解法。 • 差分方程均指线性常系数差分方程。
y(n) T [ x(n)]
其框图如图1.3.1所示。
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(1.3.1)
1.3 时域离散系统
x(n)
y(n)
T []
图1.3.1 时域离散系统
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1.3 时域离散系统
线性时不变系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
• 1.2时域离散信号
• 1.3时域离散系统
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1.3 时域离散系统
• 设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定 的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运 算关系用T［· ］表示，输出与输入之间关 系用下式表示：
例题：判断是否是稳定系统
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1.3.4系统的因果性和稳定性
系统稳定的充分必要条件是系统的单 位取样响应绝对可和，用公式表示为
n
| h(n) |

(1.3.14)
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• 上式中，a和b均是常数。
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线性=可加性+齐次性
T [ x1 (n) x2 (n)] T [ x1 (n)] T [ x2 (n)] (1.3.2) y (n) y1 (n) y2 (n) T [ax1 (n)] ay1 (n) (1.3.3)
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R4 (n) 1 n
1.3.3 线性时不变系统输入输出
R4 (m) 1
0 1 2 3 R4 (n)
0 1 2 3 R4 (－ m) 1
n m
m －3 －2 －1 0 R4 (1 － m) 1 m －2 －1 0 1 2 3 R4 (2 － m) 1 m －1 0 1 2 3 y(n) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
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m n 3
1 7 n
1.3.3 线性时不变系统输入输出
• 卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示，y(n)用公 式表示为
n 1, 0 n 3 y (n) 7 n, 4 n 6 0, 其他
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线性卷积的运算规则
• 线性卷积服从交换律、结合律和分配律。 它们分别用公式表示如下：
x(n) h(n) h(n) x(n) x(n) [h1 (n) h2 (n)] ( x(n) h1 (n)) h2 (n) x(n) [h1 (n) h2 (n)] x(n) h1 (n) x(n) h2 (n)
图1.3.2 例1.3.4线性卷积 数字信号处理
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n
1.3.3 线性时不变系统输入输出
y(n) x(n) h(n)
m
x(m)h(n m)

(1.3.7)
• 卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加， 这类卷积称为序列的线性卷积。 • 设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序 列长度为(N+M-1)。