《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第二节 向量组的线性相关性

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,
有 3 = 21 - 2 , 4 = 1 + 22 , 所以向量组 1,
2 , 3 , 4 线性相关, 其几何意义为: 该向量组所
对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的
四个平面交于同一条直线. 如图 4.3 .
2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6
x
O M1
图 4.2
M3 a3 RM3 (0,2,2) ,
3y
向量组 a1 , a2 , a3
线性相关,因为
2a1 - a2 - a3 = 0.
(3) 4 维向量组线性相关的几何意义 设有 4 维向量组
2
1
3
4
1T
3
1 4
, 2T
2
45
,
T 3
8
132
, 4T
1
在直线 y =2x 上取三点M1, M2 , M3 , 作三个向量:
6y
5
M3(3,6)
4 3
M2(2,4)
2 1
M1(1,2)
O 123456 x
图 4.1
a1 OM1 (1,2) ,
a2 OM2 (2,4) ,
a3 OM3 (3,6) ,
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
证明 向量证组明A 线向性量相组关A, 线等性价相于关齐,次等线价性于齐次线
方程组 方程组 x1a1 + x2a2 x+1a··1·+ x2maa2m+=··0·,+即xmAaxm = 0, 即 Ax = 0
有非零解. 有由非上零章解定.理由上4 章n定即元可理齐得次4证线.n性即元方可齐程得次组证线.A性m方n x程=
2
1
1
3
(1)
a1
0
14
,
a2
2
7 6
,
a3
4 5 2
,
a4
1 2 8
;
3
5
6
4
(2)
b1
1 4 3
,
b2
2
5 8
,
b3
4
2 16

,
b4
3
317
.
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例例 66 已已知知向向量量组组 aa11 ,, aa22 ,, aa33 线线性性无无关关,, bb11==
证明 必要证性明设必向要量性组 A设: a向1 ,量a2组, ·A··:, a1m,线a2 , ···, a
性相关, 则有性相m 关个,不则全有为m零个的不实全数为k零1 ,的k2实, ··数·, km1 , k2 , ···,
使
使
k1a1 + k2a2 +k1·a··1 ++ kkm2a2m+=·0··.+ kmam = 0 .
有非零解的有充非要零条解件的是充系要数条矩件阵是的系秩数矩阵
例 4 n 维向量组
1
0
0
e1
0
,
e2
1
,
, en
0
0
0
1
称为 n 维单位坐标向量组 , 试讨论它的线性相关 性.
解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵
E = (e1 , e2 , ···, en)
例 5 讨论下列向量组的线性相关性:
aababab1121212++++,,,aaaabbb222例 例233证3,,,,线 线线bbbb法222662性 性性====一aaaa无 无已 已无2222 +++关 关+知 知关直aaaa..向 向.3333 ,,,接,量 量bbbb3333用组 组====定aaaaaa333113 义+++,,+aaaaaa221111,,,,,,aa试 试 试试33 线 线证 证 证证性 性向 向 向向无 无量 量 量量关 关组 组 组组,,
因 k1 , k2 , ··因·, km1 不, k2全, 为···,0km, 不不妨全设为 k01,不0妨, 于设是k便1 0 , 于是
向量组的线性相关与线性无关的概念也可移 用于线性方程组. 当方程组中有某个方程是其余 方程的线性组合时, 这个方程就是多余的, 这时称 方程组(各个方程)是线性相关的; 当方程组中没有 多余的方程, 就称该方程组(各个方程)线性无关 (或线性独立).
(2) 由三个 3 维向量构成的向量组线性相关的
几何意义是这三个向量共面. 如给定平面 : x+y+z
=3. 在 上取三点: M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) ,
作三个向量: z
R3
a1 RM1 (1,1,2) ,
a2 RM2 (2,0,2) ,
M2 3
1
3
a1 1 , a2 3 ,
2
6
1 3 3 3 因为 -3a1 + a2 = 3 1 3 3 3 0,
2 6 6 6
所以线性相关. 而这两个向量的对应分量的比 都是 1/3.
3. 向量组线性相关的几何意义
(1) 由两个 2 维向量构成的向量组 A: a1 , a2 线性相关的几何意义是 a1 , a2 共线.
定理 4 向定量理组4a1 ,向a2量, ·组···,,aaa1mm,线线a2性性, ·相·相·,关关am的的线充性相关
要 充条件是它要所条构件成是的它矩所阵构A成=的(a矩1 ,阵a2A, ·=···(,,aaa1mm,))a的的2 ,秩秩···, am) 小于向量的小个于数向m量;的向个量数组m线; 性向无量关组的线充性要无条关件的充要条 是 R(A) = m是. R(A) = m.
图 4.3
从几何上讲, 若 4 维向量组所对应的平面组 中至少有三个平面共线, 即至少有三个平面交于 同一直线则该向量组一定线性相关.
二 、向量组线性相关的充要条件
定定理理 向向量量定组组理线线性性向相相量关关组的的线充充性要要相条条关件件的是是充该该要向向条量量件是该向
组组中中至至少少有组有一中一个至个向少向量有量可一可由个由其向其余量余向可向量由量线其线性余性表向表示量示. 线. 性表示.
第 二 节 向量组的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
一 、线性相关与线性无关的定义
1. 定义 定义 4 给定向量组 A: a1 , a2 , ···, am , 如果存
在不全为零的实数 k1 , k2 , ···, km , 使 k1a1 + k2a2 + ···+ kmam = 0,
则称向量组 A 是线性相关的, 否则称它线性无 关.
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
(1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是 a = 0.
(2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是 a1 , a2 的分量对应成比例. 如
向量组 A: