专题3导数及其应用两大考点与真题训练 -2022年高考数学考前30天提分方案(新高考专用)

2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）
专题1.3导数及其应用两大考点与真题训练
考点一：导数的几何意义
一、单选题
1．（2022·河南焦作·二模（文））函数()()2e cos x
f x x x =-⋅的图象在0x =处的切线方
程为（ ） A ．210x y -+= B ．20x y -+= C ．20x +=
D ．210x y -+=
2．（2022·贵州·模拟预测（理））若存在两条过点(1,1)-的直线与曲线2a
y x x
=-相
切，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4)(1,)∞∞--⋃+ B ．(,1)(4,)-∞-+∞ C ．(,0)(3,)-∞⋃+∞
D ．(,3)(0,)∞∞--⋃+
3．（2020·四川·模拟预测（理））曲线()ln f x x x x =-在(,0)a 处的切线方程为（ ） A ．0y = B ．y x = C ．e y x =-+
D ．e y x =-
4．（2022·福建·三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，且函数(1)1y f x =+-是奇函数，当1
2
x <
时，()ln(12)f x x =-，则曲线()y f x =在2x =处的切线方程是（ ） A ．4y x =-
B ．y x =
C ．22y x =-+
D ．26y x =-+
5．（2022·全国·模拟预测）曲线()cos 2
f x x π
π=+在1
2
x =
处的切线方程为（ ） A ．10x y +-= B ．0x y ππ+-= C ．10x y π+-=
D ．0x y π+-=
二、多选题
6．（2022·重庆·二模）已知曲线()e x
f x x
=及点(),0P s ，则过点P 且与曲线()y f x =相
切的直线可能有（ ）
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
7．（2022·福建漳州·二模）已知函数()x
f x e =，则下列结论正确的是（ ）
A ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1
B ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1-
C ．过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条
D ．过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数()e x
f x x =，则（ ）
A ．曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为y x =
B ．函数()f x 的极小值为e -
C ．当
2213e 2e
a ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解 D ．当2
2
3e 2e 2
a <≤时，()()1f x a x <-仅有一个整数解
9．（2022·全国·模拟预测）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x (12x x <)，则( ) A ．()10f x >
B ．()10<f x
C ．()21
2f x >-
D ．()21
2
f x <-
三、填空题
10．（2022·江西·二模（理））已知函数()sin cos f x x x x =+，则函数()f x 在点(,())f ππ处的切线方程是____．
11．（2022·河北保定·一模）若函数()ln f x x m x
=在()()1,1f 处的切线过点()0,2，则实数m =______．
12．（2022·陕西陕西·二模（文））已知函数()y f x =的图象过原点，且()y f x =在原点的切线为第一、三象限的平分线，试写出一个满足条件的函数______.
13．（2022·全国·模拟预测）曲线()()1ln x
f x x e x =++在()1,a 处的切线与直线
20bx y -+=平行，则b a -=___________.
14．（2022·四川宜宾·二模（理））已知21()2()3
f x x xf '
=+-，则曲线()f x 在点13x =-
处的切线方程为___________.
四、解答题
15．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数()()e 2ax
f x x =-.
(1)若1a =，()f x 的一个零点为()000x x ≠，求曲线()y f x =在0x x =处的切线方程； (2)若当0x >时，不等式()132ln f x a x x x x ⎡⎤⎛
⎫+≥+⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭恒成立，求实数a 的取值范围.
16．（2022·陕西西安·二模（理））已知函数()ln x
f x x
=
． (1)求曲线()y f x =在点1
1,e
e f
⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程； (2)设()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，求证：2
12e x x >．
17．（2022·四川达州·二模（文））已知()()e 1x
f x mx m =+<-.
(1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程；
(2)当0x ≥时，()2213
222
m f x x ≥+
-恒成立，求实数m 的范围.
18．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()2
1si cos n 2
f x x x a x x =
-++． (1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．
19．（2022·全国·模拟预测（文））设函数()()()ln 12
a
f x x a x x =+-
+． (1)若2a =，过点()2,8A --作曲线()y f x =的切线，求切点的坐标； (2)若()f x 在区间()2,+∞上单调递增，求整数a 的最大值．
20．（2022·四川达州·二模（理））已知：()e x
f x mx =+.
(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；
(2)当0x ≥时，()2213
222
m f x x ≥+
-成立，求实数m 的范围
21．（2022·北京西城·一模）已知函数()1e x ax
f x a
=-+，0a ≠. (1)当1a =时，
①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围.
22．（2022·陕西陕西·二模（文））已知()()2
1ln R 2
x ax a f x x a =-+∈.
(1)求1a =时，()f x 在()()1,1f 处的切线方程；
(2)若()f x 存在两个极值点1x ，2x 且()()12f x f x m +≤，求实数m 的取值范围.
23．（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数e ()(1)1x
f x b x a
=+-+
(1)当114
a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当1a =时，()2f x ≥恒成立，求b 的值．
考点二：导数的应用
一、单选题
1．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()e ln x f x x x x =--，若不等式()f x a ≥恒成立，则a 的最大值为（ ）
A ．1
B ．e 1-
C ．2
D ．e
2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知实数x ，y ，R z ∈，且满足
ln e e e
x y z x y z
==-，1y >，则x ，y ，z 大小关系为（ ） A ．y x z >> B ．x z y >> C ．y z x >> D ．x y z >>
3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知函数()|ln(1)|f x x ax a =--+有3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,e)
B ．(0,1)
C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．2
10,
e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
二、多选题
4．（2022·重庆·模拟预测）已知函数()e 1
x
a
f x x =-
-有唯一零点，则实数a 的值可以是（ ） A ．1-
B ．12
-
C ．0
D ．1
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()e 1x
f x x =+，()()1ln
g x x x =+，则
（ ） A ．函数()f x 在R 上无极值点
B ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点
C ．若对任意0x >，不等式()()2
ln f ax f x >恒成立，则实数a 的最大值为2e
D ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12
ln 1t x x +的最大值为1
e
6．（2022·江苏江苏·一模）已知函数()e ()ln R x
f x a x x a x
=⋅-+∈，若对于定义域内的任
意实数s ，总存在实数t 使得()()f t f s <，则满足条件的实数a 的可能值有（ ） A ．-1
B ．0
C ．1e
D ．1
7．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知1201x x ，下列不等式恒成立的是（ ）
A ．1
2
21e e x x
x x >
B ．2112ln ln x x x x <
C ．1122ln ln x x x x <
D ．1
2
21ln e l e n x x
x x +<+
三、填空题
8．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数()()e 1x
f x a x b x
=+-+（a ，b ∈R ）在区间[]
1,3上总存在零点，则22a b +的最小值为________．
9．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，圆O ：224x y +=交x 轴的正半轴于点A ．B 是圆上一点，M 是弧AmB 的中点，设∠AOM=θ（0θπ<<），函数()f θ表示弦AB 长与劣弧AM 长之和．当函数()f θ取得最大值时，点M 的坐标是________．
10．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））若过定点(1,e)P 恰好可作曲线
e (0)x y a a =>的两条切线，则实数a 的取值范围是__________．
11．（2022·浙江浙江·二模）已知函数()||(0,1,2,3)k f x x ka a k =->=，函数
123()()()()g x f x f x f x =．若对任意[0,3]x a ∈，()12()()2g f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范
围是________．
四、解答题
12．（2022·陕西·模拟预测（文））已知函数()ln 2=-f x ax x x ．
(1)若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间； (2)若函数2()
()2=-+f x h x x x
有1个零点，求a 的取值范围．
13．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知函数()e x
f x =，()1
g x ax =+．
(1)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的值；
(2)若()0,1x ∈，求证：()1ln 1
1x x f x x
-+-<．
14．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数()e 1x
f x x x =--.
(1)求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值；
(2)不等式()1ln 2a f x x x x ⎡⎤++>+-⎣⎦对于()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
【真题训练】
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知函数2
1(),()sin 4
f x x
g x x =+=，则图象为如图的函数可
能是（ ）
A ．1()()4
y f x g x =+- B ．1()()4
y f x g x =-- C ．()()y f x g x =
D ．()
()
g x y f x =
2．（2021·全国·高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =．则（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
3．（2021·全国·高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2
f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b <
B ．a b >
C ．2ab a <
D ．2ab a >
4．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<
D ．0e a b <<
二、填空题
5．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0x
f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点
()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则
||
||
AM BN 取值范围是_______．
6．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数． 8．（2021·全国·高考真题（理））曲线21
2
x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．
三、解答题
9．（2021·天津·高考真题）已知0a >，函数()x f x ax xe =-． （I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程： （II ）证明()f x 存在唯一的极值点
（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．
10．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．
（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；
（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：
230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，
1p <；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
11．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点
①2
1,222
e a b a <≤>； ②1
0,22
a b a <<≤．
12．（2021·北京·高考真题）已知函数()232x
f x x a
-=
+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．
13．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2
R ()x f x a bx e x =-+∈
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；
（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足
2
212ln 2b b e x x e b
>+.
(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)
14．（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线()2
:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与
圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4． （1）求p ；
（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．
15．（2021·全国·高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()
()()
x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．
16．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.
17．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a
x x f x x a
=>．
（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
18．（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．
19．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：
112e a b <
+<.。