2020-2021年高一第一学期数学期末复习题及答案【完整版】

2020-2021年高一数学期末复习（含答案）
班级：座号：姓名：成绩：
一、选择题（本大题共8小题，共40分）
1．集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A∩B＝（）
A．[0，2]B．（1，2]
C．[1，2]D．（1，+∞）
【解答】解：∵集合＝{x|0≤x≤2}．
B＝{y|y＝2x，x＞0}＝{y|y＞1}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．
故选：B．
2．如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．或
【解答】解：根据题意，不等式|x﹣a|＜1的解集是a﹣1＜x＜a+1，设此命题为p，
命题，为q；
则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；
则有，（等号不同时成立）；解可得；故选：B．
3．在下列函数中，最小值是2的是（）
A．（x∈R且x≠0）B．
C．y＝3x+3﹣x（x∈R）D．）
【解答】解：当x＜0时，y＝＜0，排除A，
∵lgx＝在1＜x＜10无解，∴大于2，但不能等于2，排除B
∵sin x＝在0＜x＜上无解，∴）大于2，但不能等于2，排除D 对于函数y＝3x+3﹣x，令3x＝t，则t＞0，y＝t+≥2＝2，（当且仅当t＝1，即x＝0时取等号）∴y＝3x+3﹣x的最小值为2 故选：C．
4．下列选项中，与sin（﹣）的值不相等的是（）
A．2sin15°sin75°B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42°
C．2cos215°﹣1D．
【解答】解：sin（﹣）＝sin（﹣2π+）＝sin＝．
对于A，2sin15°sin75°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝；
对于B，cos18°cos42°﹣sin18°sin42°＝cos（18°+42°）＝cos60°＝；
对于C，2cos215o﹣1＝cos30°＝；
对于D，因为tan45°＝＝1，可得＝．
∴与sin（﹣）的值不相等的是C,故选：C
5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）
A．1B．C．D．
【解答】解：f（x）是R上的偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增；
∴f（32a﹣1）＝f（﹣32a﹣1）；
∴由得；
∴；∴；∴；解得；∴a的最大值为．
故选：D．
6．函数f（x）＝，则函数h（x）＝f（x）﹣log4x的零点个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：函数h（x）＝f（x）﹣log4x的零点个数⇔函数f（x）与函数y＝log4x的图象交点个数．画出函数f（x）与函数y＝log4x的图象（如图），
根据图象可得函数f（x）与函数y＝log4x的图象交点为5个．
∴函数h（x）＝f（x）﹣log4x的零点个数为5个．
故选：D ．
7．已知函数
，则f （x ）是（ ）
A ．周期为π，且图象关于点对称
B ．最大值为2，且图象关于点对称
C ．周期为2π，且图象关于点对称
D ．最大值为2，且图象关于对称
【解答】解： ＝sin[π﹣（x +）]﹣cos （x +）＝sin （x +）﹣cos （x +
）
＝2[sin （x +）﹣
cos （x +
）]＝2sin[（x +）﹣
]＝2sin （x ﹣
），
∵x ∈R ，∴x ﹣
∈R ，∴﹣1≤sin （x ﹣
）≤1，则f （x ）的最大值为2；
∵ω＝1，∴周期T ＝＝2π；
当x ﹣
＝k π（k ∈Z ）时，f （x ）图象关于某一点对称，
∴当k ＝0，求出x ＝
，即f （x ）图象关于x ＝
对称，故选：B ．
8．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +1）＝2f （x ），当x ∈[0，2）时，f （x ）＝，
若x ∈[﹣2，0）时，对任意的t ∈[1，2]都有f （x ）≥t
a
8
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，3）
B ．[3，+∞）
C ．（﹣∞，3]
D ．（﹣∞，3]
【解答】解：由题意得f （x ）＝f （x +2），当x ∈[﹣2，﹣1）时，x +2∈[0，1），f （x ）＝f （x +2）＝
＞f （﹣）＝
，当x ∈[﹣1，0）时，
x +2∈[1，2），f （x ）＝f （x +2）＝
≥f （1）＝1，所以当x ∈[﹣2，0）时，f （x ）的最
小值是﹣，所以对任意的t ∈[1，2]都有﹣≥
t
a
8
成立，所以2a ≥t 2+t 即t ∈[1，2]时g （t ）单
调递增，所以g （t ）最大值是g （2）＝6，所以2a ≥6，所以a ≥3， 故选：B ．
二、多项选择题（本大题共4小题，共20分） 9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A ．﹣＝ B ．＝
C ．
＝
（x ≠0）
D ．
＝
（x ＞0）
【解答】解：对于A ：﹣＝﹣，故A 错误； 对于B ：
＝﹣，故B 错误； 对于C ：
＝
，故C 正确； 对于D ：原式＝＝
，故D 正确；
故选：CD ． 10．已知函数的最大值为
，其图象相邻的两条对
称轴之间的距离为
，且f （x ）的图象关于点
对称，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数f （x ）的图象关于直线对称
B ．当时，函数f （x ）的最小值为
C ．若f （
﹣α）＝
，则sin 4α﹣cos 4α的值为﹣
D ．要得到函数f （x ）的图象，只需要将的图象向右平移
个单位 【解答】解：∵函数的最大值为
，其图象相邻
的两条对称轴之间的距离为，
∴
，•
＝
，∴ω＝2，f （x ）＝
sin （2x +φ）．
又因为f（x）的图象关于点对称，
所以．
所以．因为，所以．即．
对选项，故A错误．
对选项B，，
当取得最小值，故B正确．
对选项，得到．
因为，
故C错误．
对选项D，把的图象向右平移个单位得到
的图象，故D正确，故选：BD．
11．如图是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，下列选项正确的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由图象可得f（0）＝sinφ＝﹣，又|φ|＜，所以φ＝﹣，
又f（﹣）＝sin（﹣ω﹣）＝0，所以﹣ω﹣＝π+2kπ（k∈Z），
故ω＝﹣6k﹣4（k∈Z），又＝＞，则0＜ω＜3，所以k＝﹣1，ω＝2，
所以f（x）＝sin（2x﹣），所以f（）＝sin（2×﹣）＝0，
f （﹣）＝sin （﹣2×﹣）＝sin ＝，所以A ，C 正确．故选：AC ．
12．定义在实数集R 上的奇函数f （x ）满足f （x +2）＝﹣f （x ），且当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x ，则下列正确的是（ ）
A ．f （2018）＝0
B ．函数f （x ）的最小正周期为2
C ．当x ∈[﹣2018，2018]时，方程f （x ）＝有2018个根
D ．方程f （x ）＝log 5|x |有5个根
【解答】解：定义在实数集R 上的奇函数f （x ）满足f （x +2）＝﹣f （x ）， 故f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），可得f （x ）的最小正周期为4， 且当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x ，
f （2018）＝f （504×4+2）＝f （2）＝﹣f （0）＝0；
由f （x +2）＝f （﹣x ），可得f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 作出y ＝f （x ）与y ＝的图象，
可得在[﹣2016，﹣2014]，[﹣2012，﹣2010]，…，[﹣4，﹣2]，
[0，2]，[4，6]，…，[2016，2018]上，y ＝f （x ）和y ＝的图象各有2个交点， 共有2×1009＝2018个根；
作出y ＝log 5|x |的图象，可得共有5个交点，
可得方程f （x ）＝log 5|x |有5个根，则B 错误；ACD 正确．故选：ACD ．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．函数2
()
f x =
+的定义域是 ． 14．已知函数
，若f （2﹣t 2）＞f （t ），则实数t 的取值范围是
【解答】解：∵x ≥0，f （x ）＝x 2+2x ，其对称轴为：x ＝﹣1＜0，
∴f（x）＝x2+2x在[0，+∞）上单调增且y≥0，
又f（x）＝x﹣x2为开口向下的抛物线，其对称轴为x＝，
∴f（x）＝x﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，又y＜0，
∴在R上单调递增，
又f（2﹣t2）＞f（t），∴2﹣t2＞t，解得：﹣2＜t＜﹣1．故答案为：（﹣2，﹣1）．
15．函数f（x）＝cos（x+）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为，函数h（x）＝sin2x+g（x）的值域是．
【解答】解：函数f（x）＝cos（x+）的图象向右平移个单位长度，
得到函数g（x）＝cos x的图象，
∴函数h（x）＝sin2x+g（x）＝1﹣cos2x+cos x＝﹣．
∵cos x∈[﹣1，1]，故当cos x＝时，h（x）取得最大值为；
当cos x＝﹣1时，h（x）取得最小值为﹣，故h（x）的值域为[﹣，]，
故答案为：g（x）＝cos x；[﹣，]．
16．给出下列命题：
①函数是偶函数；
②方程x＝是函数y＝sin（2x+）的图象的一条对称轴方程；
③在锐角△ABC中，sin A sin B＞cos A cos B；
④函数的最小正周期为π；
⑤函数的对称中心是．
其中正确命题的序号是①②③．
【分析】利用诱导公式化简函数解析式判断①，求出函数对称轴判断②，利用和角公式及A+B的范围判断③，比较f（0）和f（π）的值判断④，求出函数的对称中心判断⑤．
【解答】解：对于①，y＝sin（﹣2x）＝sin（﹣2x）＝cos2x，故y＝sin（﹣2x）是偶函数，故①正确；
对于②，令2x+＝+kπ，可得x＝﹣+，k∈Z，
即函数y＝sin（2x+）的对称轴为x＝﹣+，k∈Z，
显然当k＝1时，x＝是函数的一条对称轴，故②正确；
对于③，sin A sin B﹣cos A cos B＝﹣cos（A+B），若△ABC是锐角三角形，则＜A+B＜π，
∴﹣cos（A+B）＞0，即sin A sin B＞cos A cos B，故③正确；
对于④，f（0）＝|+|，f（π）＝|﹣+|，故f（0）≠f（π），故π不是f（x）的周期，故④错误；
对于⑤，令2x+＝，解得x＝﹣+，k∈Z，
∴的对称中心是（﹣+，1），k∈Z，故⑤错误．
故答案为：①②③．
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题每题各12分，共计70分）
17.(10分)设全集为R，集合P＝{x|3＜x≤13}，非空集合Q＝{x|a＋1≤x＜2a－5}，
C P Q； (2)若Q⊆(P∩Q)，求实数a的取值范围
(1)若a=10，求P∩Q；()
R
18．已知函数f（x）＝log4（2x+3﹣x2）．
（1）求f（x）的定义域及单调区间；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
（3）设函数g（x）＝log4[（a+2）x+4]，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）令2x+3﹣x2＞0，
解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），
令t＝2x+3﹣x2，则y＝log4t，∵y＝log4t为增函数，
x∈（﹣1，1]时，t＝2x+3﹣x2为增函数；
x∈[1，3）时，t＝2x+3﹣x2为减函数；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）
（2）由（1）知当x＝1时，t＝2x+3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
则2x+3﹣x2≤（a+2）x+4在x∈（0，3）上恒成立，
即x2+ax+1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x+）在x∈（0，3）上恒成立，
当x∈（0，3）时，x+≥2，则﹣（x+）≤﹣2，故a≥﹣2．
19．已知函数f（x）＝+cos2x﹣sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在所给坐标系中画出函数在区间[π，π]的图象（只作图不写过程）．
【解答】解：f（x）＝+cos 2x＝sin 2x+cos 2x＝sin（2x+）．
（1）∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
当2kπ+≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，时，即2kπ+≤2x≤2kπ+π，k∈Z，故kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+π]（k∈Z）．
（2）图象如下：
20.已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．
（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出a、b的值；
（2）不等式化为（ax﹣1）（x﹣4）＞0，讨论a的取值，从而求出不等式的解集．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R），
不等式f（x）≥b化为ax2﹣（4a+1）x+4﹣b≥0，
由该不等式的解集为{x|1≤x≤2}，
所以a＜0，且1和2是方程ax2﹣（4a+1）x+4﹣b＝0的两根，
所以，
解得a＝﹣1，b＝6；
（2）不等式f（x）＞0，即（ax﹣1）（x﹣4）＞0．①当a＝0时，不等式为﹣x+4＞0，解得x＜4；
②当a＜0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＜0，此时＜4，解得＜x＜4；
③当a＞0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＞0，若0＜a＜，则＞4，解得x＜4或x＞；
若a＝，则＝4，不等式为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；
若a＞，则＜4，解得x＜或x＞4；
综上知，a＝0时，不等式的解集为{x|x＜4}；
a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜4}；
0＜a＜时，不等式的解集为{x|x＜4或x＞}；
a＝时，不等式的解集为{x|x≠4}；
a＞时，不等式的解集为{x|x＜或x＞4}．
21．已知函数f（x）＝cos x sin（x+）﹣cos2x+（x∈R）．
（1）求f（x）在闭区间[﹣，]的最大值和最小值．
（2）设函数g（x）对任意x∈R，有，且当x∈[0，]时，．求g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式．
【解答】解：（1）f（x）＝cos x sin（x+）﹣cos2x+
＝cos x（sin x+cos x）﹣cos2x+
＝sin2x﹣＝sin2x﹣cos2x＝，
因为x∈[﹣，]，所以2x﹣∈[﹣，]，
所以sin（2x﹣）∈[﹣1，]，所以∈[﹣，]，
所以f（x）的最大值为，f（x）的最小值为．
（2）当时，，
时，，
时，．综上：g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式为g（x）＝．
22．已知OPQ是半径为1，圆心角为2θ（θ为定值）的扇形，A是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形内的内接矩形，记∠AOP＝α（0＜α＜θ）．
（1）用α表示矩形ABCD的面积S；
（2）若θ＝，求当α取何值时，矩形面积S最大？并求出这个最大面积．
【解答】解：（1）由题意可得AD∥OE∥CB，
∴∠POE＝∠PDA＝θ，∴∠ODC＝＝∠DCO，∠BOA＝2θ﹣2α，△COD为等腰三角形．故AB ＝2sin（θ﹣α），再由∠ADO＝＝π﹣θ，
△OAD中，利用正弦定理可得，化简可得AD＝．
故矩形ABCD的面积S＝f（α）＝AB•AD＝（0＜α＜θ）．
（2）θ＝，由（1）可得S＝f（α）＝＝2sinαcosα﹣2sin2α＝sin2α+cos2α﹣＝2（sin2α+cos2α）﹣＝2sin（2α+）﹣．
再由0＜α＜可得＜2α+＜，
故当2α+＝，即当α＝时，S＝f（α）取得最大值为2﹣．。