2023年中考数学复习难点突破专题21 二次函数与实际问题：喷水问题(含答案)

专题21 二次函数与实际问题：喷水问题
一、单选题
1．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（ ）
A ．0.5米
B ．2米
C ．米
D ．0.85米
2．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度()h m 与水流时间()t s 之间的解析式为2305h t t =-，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A ．8s
B ．6s
C ．4s
D ．2s
3．如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm ，如果在离水面竖直距离为h （单位：cm ）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s （单位：cm ）与h
的关系式为s =
10cm ，则小孔离水面的距
离是（ ）
A ．14cm
B ．15cm
C ．16cm
D ．18cm
4．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管QA喷出，0A长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到0的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2＋x＋c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（）
A．1米B．3
2
米C．2米D．
13
8
米
5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是( )
A．2.5米B．3米C．3.5米D．4米
6．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()
A．4米B．3米C．2米D．1米
7．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）
A．3s B．4s C．5s D．10s
8．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为2
305
h t t
=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是()
A．6s B．4s C．3s D．2s
9．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）
A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m
二、解答题
10．某幢建筑物从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M
离墙1米，离地面40
3
米．问：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离
11．某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系. (1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由.
(2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）.
【答案】（1）10
3
；（2）
143
24
12．如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平
距离x (m )之间的关系式可以用2y x bx c =-++表示，且抛物线经过点B 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 72,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度；
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
13．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是：236(04)2
y x x x =-+≤≤，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？
14．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．
（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；
（2）求水管AB 的长．
15．如图是某公园一喷水池(示意图)，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式为y ＝－(x －1)2＋2.25．
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？
16．绣山公园入口处的喷水池造型如下图，水池正中心垂直于水面处安装一个出水管OC，OC高1米，水从水管OC顶端C处向四周喷洒，水流向各个方向沿形状相同的抛物线落下，为庆祝国庆，公园将喷泉设计成水流在离OC为1米处达到距水面最大高度2米的造型，
（1）求喷洒的半径，
（2）若水流喷出的水形状与（1）相同，喷洒的半径为3米，求此时水流达到的最大高度，
17．(1) 抛物线y＝ax2＋c经过点A (2，3)，点B (－1，－3)两点，求该抛物线的解析式．
(2) 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？
18．如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用5y =+表示，点A ，B 分别在x 轴和y 轴上．在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛线可用213
y x bx c =-++表示．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
19．某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA （如图）喷水能力最强，水流从A 处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度()y
m 与水平距离()x m 之间符合二次函数关系式2734
y x x =-++()0x >．
（1）求水流喷出的最大高度是多少米？此时最高处离喷水装置OA 的水平距离为多少米？
（2）现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其他因素，花盆需至少离喷水装置OA 多少米外，才不会被喷出的水流击中？
20．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H （单位：m ），如果在离水面竖直距离为h （单校：cm ）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s
（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
21．为庆祝新中国成立70周年，国庆期间，北京举办“普天同庆•共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为
3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．
22．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式2
=-
h t t
205 ()1经过多少秒后足球回到地面?
()2经过多少秒时足球距离地面的高度为10米
23． 如图1，已知水龙头喷水的初始速度v 0可以分解为横向初始速度v x 和纵向初始速度v y ，θ是水龙头的仰角，且v 02=v x 2+v y 2．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A 在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA 为15米，山坡的坡比为13
．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v 0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M 是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M 与A 的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为d=v y t-5t 2；M 与A 的水平距离为v x t 米．已知该水流的初始速度v 0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°．
（1）求水流的横向初始速度v x 和纵向初始速度v y ；
（2）用含t 的代数式表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围）； （3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B 处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动多少米？（参考数据：sin53°≈
45，cos53°≈35，tan53°≈43
）
24．如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用5y =+表示，点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛物线可用213
y x bx c =-
++表示． （1）求抛物线的函数关系式；
（2）求水柱离坡岗AB 的最大高度．
三、填空题
25．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直
（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面20
3
米，则水流下落点B离墙距离OB是
_____m．
26．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为_____m．
27．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为
9m，则水管的长度OA是_____m．
28．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图1).如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流(如
图2)，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是29
y x4x(x0)
4
=-++>，那么圆形水池的半径至少为______米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
29．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面土有一瓶洗手液(如图，)，于是好奇的小王同学进行了实地测量研究，当小王用一定的力按住顶部A下压如图，位置时，洗手液
从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a=
1
18
-．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同
学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线，小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Ｑ到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是________cm．
30．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．
31．某广场有一个半径8米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，水柱离中心O 点3米处达最高5米，如图所示建立平面直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8的他站立时必须在离水池中心O 点______米以内．
32．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一根水管AB ，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线的表达式为
()()2313034
y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，其中自变量的取值范围是______，水管AB 的长为______m ．
专题21 二次函数与实际问题：喷水问题
一、单选题
1．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（）
A．0.5米B．
米C．米D．0.85米
2
【答案】A
【分析】
根据题意建立直角坐标系，点（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）都在抛物线上，设抛物线解析式，列方程组，求解析式，根据解析式很容易就可求出抛物线的顶点坐标，纵坐标的绝对值即为绳子的最低点距地面的距离．
【详解】
以A为原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．
设抛物线的函数关系式为：2
y ax bx c =++．
将（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）代入2y ax bx c =++得： 2.542 2.50.250.51c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
，
解得：242.5a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
，
，抛物线的表达式为：224 2.5y x x =-+；
，2224 2.52(1)0.5y x x x =-+=-+，
，抛物线的顶点坐标为（1，0.5），
，绳子的最低点距地面的距离为0.5米．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，本题关键在于正确选择原点建立直角坐标系，正确确定有关点的坐标，求出抛物线解析式．
2．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度()h m 与水流时间()t s 之间的解析式为2305h t t =-，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A．8s B．6s C．4s D．2s
【答案】B
【分析】
求出解析中h＝0时t的值即可得．
【详解】
在h＝30t−5t2中，令h＝0可得30t−5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0．
3．如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm，如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h
的关系式为s=10cm，则小孔离水面的距离是（）
A．14cm B．15cm C．16cm D．18cm
【答案】B
【分析】
设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．【详解】
解：设垫高的高度为m，则s=
变形得：s2=4h（20+m-h）=-4(h−20
2
m
+
)2+（20+m）2，
，当h=20
2
m
+
cm时，s max=20+m=20+10，
，m=10cm，此时h=20
2
m
+
=15cm，
，垫高的高度为10cm，小孔离水面的竖直距离为15cm，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．4．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管QA喷出，0A长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到0的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2＋x＋c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（）
A．1米B．3
2
米C．2米D．
13
8
米
【答案】C 【分析】
由题意可得，抛物线经过()0,1.5和3,0，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a 和c 的值，则抛物线解析式化为顶点式，即可求出结果；
【详解】
由题意可得，抛物线经过()
0,1.5和3,0，把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： 1.5930
c a c ⎧=⎨++=⎩， 解得：123
2a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
，函数表达式()2213112222y x x x =-
++=--+， ，0a ＜，故函数有最大值，
，当1x =时，y 取最大值，此时2y =．
故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．
5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )
A．2.5米B．3米C．3.5米D．4米
【答案】B
【分析】
由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【详解】
解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，
把A（0，2.25）代入，得
2.25=a+3，
a=-0.75．
，抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．
当y=0时，
0=-0.75（x-1）2+3，
解得：x1=-1（舍去），x2=3．
OB=3米．
故选：B．
【点睛】
本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．
6．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()
A ．4米
B ．3米
C ．2米
D ．1米
【答案】A
【解析】 ），y=－x 2＋4x=2x-24-+（），
，当x=2时，y 有最大值4，
，最大高度为4m
7．烟花厂某种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h ＝﹣2t 2+20t +1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A ．3s
B ．4s
C ．5s
D ．10s 【答案】C
【分析】
将h 关于t 的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．
【详解】
解：，h ＝﹣2t 2+20t +1＝﹣2（t ﹣5）2+51，
，当t ＝5时，礼炮升到最高点．
故选：C ．
【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不
大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．
8．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为2
=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是()
h t t
305
A．6s B．4s C．3s D．2s
【答案】A
【解析】
由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t−5t2得：5t2−30t=0，
解得：t1=0(舍去),t2=6.
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.
故选A.
9．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）
A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m
【答案】D
【分析】
设抛物线的解析式为y= a(x-1)2+3(0≤x≤3)，将(3，0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．【详解】
解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，
代入(3，0)得，
0=a×(3-1)2+3，
求得：a=3
4
．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y=-3
4
(x-1)2+3(0≤x≤3)，
令x=0，则y=9
4
=2.25．
则水管长为2.25m，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
二、解答题
10．某幢建筑物从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M
离墙1米，离地面40
3
米．问：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B 离墙的距离
【答案】（1）210201033
y x x =-
++；（2）3米． 【分析】 （1）先建立平面直角坐标系（图见解析），从而可得点A 、M 的坐标，再根据点M 的坐标可得抛物线解析式的顶点式，然后将点A 的坐标代入即可得；
（2）令0y =可得一个关于x 的一元二次方程，解方程即可得．
【详解】
（1）由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则40(0,10),(1,)3
A M ， 设抛物线解析式的顶点式为240(1)3
y a x =-+， 将点(0,10)A 代入得：40103a +=，解得103
a =-， 则抛物线解析式的顶点式为21040(1)33y x =-
-+，
即抛物线的解析式为210201033
y x x =-++；
（2）令0y =得：2102010033
x x -++=， 即21040(1)033
x --+=， 解得3x =或10x =-<（不符题意，舍去），
则3OB =，
故水流落地点B 离墙的距离3米．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
11．某游乐园要建造一个直径为20m 的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m 处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由.
(2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）.
【答案】（1）10
3
；（2）
143
24
【分析】
（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）根据对称轴为x=4，可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，代入即可求解．【详解】
（1）由题意可得：当x＞0时，抛物线解析式为：y＝a（x−4）2＋6，
把(10,0)代入得0＝a（10−4）2＋6
解得：a＝−1
6
，
故抛物线解析式为：y＝−1
6
（x−4）2＋6；
令x=0，解得y=10 3
故这个装饰物的高度为10
3
m；
（2），当x＞0时，抛物线的对称轴为x=4
由题意可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，
当x＝4.5时，y=143 24
答：直线型喷水头最高喷射高度为14324
米． 【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键．
12．如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系式可以用2y x bx c =-++表示，且抛物线经过点B 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 72,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度；
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【答案】（1）2724y x x =-++，74米；（2）114米；（3）至少要12⎛+ ⎝
⎭米． 【分析】
（1）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法即可得抛物线的解析式，再求出0x =时y 的值即可得OA 的高度；
（2）将抛物线的解析式化成顶点式，求出y 的最大值即可得；
（3）求出抛物线与x 轴的交点坐标即可得．
【详解】
（1）由题意，将点157,,2,224B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入得：1154227424b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩
， 解得274b c =⎧⎪⎨=⎪⎩
， 则抛物线的函数关系式为2724
y x x =-++， 当0x =时，74
y =， 故喷水装置OA 的高度74
米； （2）将2724y x x =-++化成顶点式为211(1)4
y x =--+， 则当1x =时，y 取得最大值，最大值为
114， 故喷出的水流距水面的最大高度是114
米； （3）当0y =时，211(1)04
x --+=，
解得12x =+
或102
x =-<（不符题意，舍去），
故水池的半径至少要12⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
13．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是：236(04)2
y x x x =-
+≤≤，请求出当水珠的高度达到最大
时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？
【答案】2米；6米．
【分析】
根据题目所给的函数解析式，用配方法求出当x 等于何值时函数有最大值以及最大值是多少．
【详解】 解：由题意得，()
()2223336=4=2+6222y x x x x x =-
+----， 又因为04x ≤≤，
所以当=2x 时，max =6y ，
答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数最值的方法．
14．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．
（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；
（2）求水管AB 的长．
【答案】（1）y ＝﹣34
（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）；（2）2.25m
【分析】
（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋3，将（3，0）代入求得a值；
（2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长．
【详解】
解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
代入（3，0）求得：a＝﹣3
4
（x﹣1）2+3．
将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣3
4
（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；
（2）令x＝0，则y＝9
4
＝2.25．
故水管AB的长为2.25m．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．。